高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)

1、中数学必修4平面向量测试试卷典型例题（含详细答案）高中数学平面向量组卷3.选择题（共18小题）1.已知向量a与匕的夹角为0,定义三名为；与E的向量积”，且；心是一个向量，它的长度旧人尸旧|b |sin 0,若=A.(2, 0),4 ；u- v= (1,近)，则 |uX (u+v|) |=(B.伊C.D.2.；2.已知A. - 1B. 0C.D.3.已知向量工（1, V3）,斗（3, m）一，一 r t*7T .,若向量a, b的夹角为一，则实数m= 6C.D.-Vs4.向量a=(飞 tan ) , b二(com口， 1)，且君 / b,A.B.C.TT贝 u -=1.送3D.,b为单位向量，其

2、夹角为60,则（2”口）?b=5 .如图，在4ABC中，BD=2DC.若知二a,AC二b,则AD=（）C. _13D.6 .若向量3=(2cosa,1),b=(V-2,tana),且W/b,则sina=()A.返B.C.D.7T7 .已知点A(3,0),B(0,3),C(cosa,sina),O(0,0),若|而十而|川工余a(口，爪)，则而与标的夹角为（A.b. 2L4C.JUyD.8 .设向量0A=a,0B=b不共线，且|己+b|=1,但-匕|=3,则AOAB的形状是（A.等边三角形B .直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形9.已知点 G是4ABC的重心，若 A=,ab?ac=3,则向身

3、的最小值为（D. 2C.2V(!|10.如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，混=而，正=2而，则向量应回=（）A.DEC.11.已知函数f （x） =sin （20+（）的部分图象如图所示，点B, C是该图象与x轴的交点，过点 C的直线与该图象38交于D,E两点，则（BD+BE）?BC的值为（C.D. 212.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(PB-百)? (PB+PA -2PC)=0,则 4abc 的形状一定为（）A.等边三角形B .直角三角形C.钝三角形D.等腰三角形13.如图所示，设 P为4ABC所在平面内的一点，并且点标必正, 则4ABP与4ABC的面积之比等于

4、S 5A.垂心B.夕卜心C.重心D.内心D.14.在4ABC中，|AB|=3,|AC|=2,皿=与得，则直线AD通过ABC的（）15.在4ABC中，/BAC=60,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点，贝U柩施=(B.C,也D.16.已知空间向量S3a,b的夹角为,。为空间直角坐标系的原点，点A、B满足0A-2a+b,QEW己b，则OAB的面积为（C.D.11417.已知点P为4ABC内一点，且PA+2PB+3PC=U,贝UMPB,AAPC,BPC的面积之比等于（A.9:4:1B.1:4:9C.3:2:1D.1:2:318.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中

5、点，则|pa|，|pb|2A.2B.4C.5|FC|2D.10二.解答题（共6小题）19.如图示，在ABC中，若A,B两点坐标分别为（2,0）,（-3,4）点C在AB上，且OC平分/BOA.（1）求/AOB的余弦值;（2）求点C的坐标.20.已知向量父（cos。，sin0）和b=（我一嘘口6,cos9）（1）若a/b,求角。的集合;5兀13Kcos-乌）的值.2o21.如图所示，若D是4ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2.求证：ADXBC.I)ft22 .已知向量彳二(sin,C无丝工一之匹)，三二(5台立苏生，C口日上上任四)，其中A、BAABC12244224的内角，,.(1

6、)求tanA?tanB的值；(2)若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求上的值.23 .已知向量近(sinx,e内),b二(/chm,coss)且b#。，函数f(x)=2右味1(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(II)若:二E,分另IJ求tanx及口52K的值.f(x)+1j24 .已知：二(/scosk,er)b=(sinif,2匕口内)，函数f(x)=a*bH-|b|.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调减区间；I7T-一IT(3)当了一时，求函数f(x)的值域.高中数学平面向量组卷（2014年09月24日）参考答案与试题解析一.选择题（

7、共18小题）1 .已知向量二;与匕的夹角为0,定义3名为二与b的向量积”，且三利是一个向量，它的长度扃|书面sin。，若U=（2,0）,u-乐（1,-木），则|uX（口|）|=（）A.4aB.3C.6D.2/3考点：平面向量数量积的运算.专题：平面向量及应用.利用数量积运算和向量的夹角公式可得心心三三Y丫.再利用平方关系可得lullu+vl总in二2x二,故选：D.点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题.2.已知.，,h为单位向量，其夹角为60,则（2a-h）?b=A. - 1B. 0C, 1D. 2考点：平面向量数量积的运算.专题：

8、平面向量及应用.分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，求得;吊、,2的值，可得（2-b）加的值.解答：解：由题意可得，。工=1MCos60。，芯。，.（源-E）元=/用-铲=0,故选：B.点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题.3.已知向量3=（1,V3）,匕=（3,m）,若向量a,b的夹角为二，则实数m=（）6A.2百B.VIC.0D.-近考点:数量积表示两个向量的夹角.平面向量及应用.分析:由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值.解答:解：由题意可得cos-L=-解得m=/3，故选：B-点评:本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用

9、，属于基础题.4.向量A.1考点:分析:解答:点评:a=(gtan篁)，b=,1),且:/b,则JB.1：C.一运3平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用.计算题；三角函数的求值.根据向量平行的条件建立关于a的等式，利用同角三角函数的基本关系与诱导公式,解:D.化简即可得到,a-,b=(cosCl,1),且白/b,ktandXcusCt,41sinO-二二FTC0S3cosaa,得sina=,由此可得3本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求coe2十口）的值.着重考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式和向量平行的条件等知识，属于基础题.5.如图，在AB

10、C中，BD=2DC,若杷二1AC=b,贝(JAD=()B.2_r-3bC.13D.考点：向量的加法及其几何意义.专题:分析:解答:点评:平面向量及应用.由题意可得AD=AB+BD,而BD=1BC，正三菽-藤，代入化简可得答案.解:由题意可得j=n而=、：nr=；_；“一广二,；一二产二二本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题.6.若向量a=(2cosa,1),b=(V-2,tana),且；a/b,则sina=()A. 72B.2返C.工D._-4a考点：平面向量共线(平行)的坐标表示.专题：平面向量及应用.分析：直接由向量共线的坐标表示列式计算.解答：解：,向量；9=(2

11、cosa,1),b=tana),且1/吊，贝U2cosalana-(1)2=0,即2sino=-V2，find二一送.故选：B.2点评：共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若=(ai,a2),b=(bi,b2),则i，b?aia2+bib2=0,a/b?aib2-a2b1=0.是基础题.7 .已知点A(3,0),B(0,3),C(cosa,sina),O(0,0),若|OA+OC0WCO,r),则而与玩的夹角为()A.兀B.兀C.兀D.n24361考点:专题:分析:解答:平面向量数量积的坐标表不、模、夹角.计算题

12、.0E-根据题意求出2+而的坐标，再由它的模求出角E,进而求出点C的坐标，利用数量积的坐标表示求出和夹角的余弦值，再求出夹角的度数.解：.A(3,0),C(cosa,sina),O(0,0),，ClA+OC=(3+cosa,sina),UV3一=:；|OB|OC| 3X1211lOA+OC|=713QCo,贝),(3+cosa)2+sin2o=13,解得，cos=l,则a=工，即C(i”)，瓦和6?夹角的余弦值是上3上，2.同辰的夹角是等故选：D.点评：本题考查向量线性运算的坐标运算，以及数量积坐标表示的应用，利用向量坐标形式进行运算求出对应向量的模，以及它们的夹角的余弦值，进而结合夹角的范围

13、求出夹角的大小.8 .设向量OA=a,OB=fb不共线，且|己+目|=1,目-b|=3,则4OAB的形状是()A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形考点：平面向量数量积的运算.专题：计算题；平面向量及应用.分析：G+E|=1,昌-愤1=3分别平方并作差可得三1二由其符号可判断/AOB为钝角，得到答案.解答：解：由春普=1,得U+E）2=1,即:。铲;，由|W-即3,得3一芯）2=9,即铲+铲-2；小9，-得,4彳f=-8,解得:用二20,./AOB为钝角，4OAB为钝角三角形，故选：D.点评：本题考查平面向量数量积运算，属基础题.9 .已知点G是4ABC的重心，若A=工，AB

14、?AC=3,则|AG|的最小值为（）3A.近B.V2C.2Vji|D.2考点：平面向量数量积的运算.专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用.分析：由A=,IS?正=3,可求得|漉|AC|=6,由点G是4ABC的重心，立得上（族十筋），利用不等式则前2.（正+版，瓦正）日（凝*十正*+6）为（2|就晟|十6）,代入数值可得.解答：解：“=，靛?菽=3,，|京I|正18郎二3,即|位II菽1=6,点G是4ABC的重心，G=5（屈斗前）,.二筋|2=看（/十正十2元正）=日（屈，京+6）i（2应II诂+6）4C2XG+6）=2,|AG|X3498考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算.专题

15、：计算题.分析：先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出凝，正向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案.解答：解：在4ABC中，/BAC=60,AB=2,AC=1,，根据余弦定理可知BC=J1由AB=2,AC=1,BC=6满足勾股定理可知/BCA=90以C为坐标原点，CA、CB方向为x,y轴正方向建立坐标系AC=1,BC=M,贝UC（0,0）,A（1,0）,B（0,心）又TE,F分别是RtAABC中BC上的两个三等分点，则E（0,织3）,F（0,叵）33则菽二（-1,标二（-1,虫）.AE*A?=1+故选A.3333点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，

16、将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程.A、B满足16 .已知空间向量Z满足|g|二|b|二1,且二，1的夹角为1二，。为空间直角坐标系的原点，点0A=2a+b,而则OAB的面积为（）考点:专题:分析:解答:平面向量数量积的运算；三角形的面积公式.平面向量及应用._ . 11故 cos/ BOA= 一/：，.=.=一10A | | 0B |14可得 sin / BOA= J -(A! )= =，由向量的运算可得|瓦|,|0B|,以及赢应，代入夹角公式可得cos/BOA,由平方关系可得sin/BOA，代入三角形的面积公式S=|而|凝|sin/BOA,计算可得.解：由题意可得3I=7（2a

17、+b）2=74；2+21E+%214M1乂1义1+11研，同理可得2力9彳-6；大+铲=小乂上一8）1乂17+2工行,而 0A，丽=(2 a+b)(3、b)=6+a，b-bi=612-1x14-12=77,所以0AB的面积s=二国|屈图口/隙人4乂听*祈x笔等至故选B乙J.t!三点评:本题考查平面向量的数量积和三角形面积的求解，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题.17 .已知点P为4ABC内一点，且PA+|2PB+3PC=O,则APB,AAPC,BPC的面积之比等于（）考点：向量在几何中的应用.专题：计算题；压轴题.分析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘

18、运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比解答：解：.司+2而+3丽=石，应+而=-2飞至+无），如图：.瓦+豆而二2而，PB+PC-PE=2PGW-2Ks|xpcX%卜PK，F、P、G三点共线，且PF=2PG,GF为三角形ABC的中位线c7J=2SABPCXPCXhgh2FGWSaapb=iSaabcAPB,AAPC,ABPC的面积之比等于3:2:1故选C2点评：本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键18.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则叵卓1二二（）I|PC|2IA.2B.4C

19、.5D.10考点：向量在几何中的应用.专题：计算题；综合题.分析：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r,ZCDB=a,得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出F&I?11；引的值.|FC|2解答：解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系,AB是RtAABC的斜边，以AB为直径的圆必定经过C点设AB=2r,ZCDB=a,则A(r,0),B(r,0),C(rcosa,rsina),一点 P 为线段 CD 的中点，P (Arcos a, 7:rsin a)24r+r2c

20、osa,|PB|2=(-ireasCL-r)J-K一cos a, |PC2=亭) uar2所以:4|PC|25 2 2r1 2 wr=10故选D点评： 本题给出直角三角形 ABC斜边AB上中线AD的中点P,求P到A、B距离的平方和与 PC平方的比值,可得|PA2+|PB|2=r2又.点P为线段CD的中点，CD=r着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题.二.解答题（共6小题）19.如图示，在 ABC中，若A, B两点坐标分别为（2, 0） , （- 3, 4）点C在AB上，且OC平分/ BOA .(1)求/ AOB的余弦值;（2）求点C的坐标.考点:向量在几何中的应用.综合题.分

21、析:（1）由题意可得cosZAlOB=k-|0A| |0B|,把已知代入可求解答:(2)设点 C (x, y),由 OC 平分/BOA 可得 cos/AOC=cos / BOC点C在AB即AC,既共线，建立关于x, y的关系，可求解：（1）由题意可得，0A=（2, Q） ，0B=（-3, 4）,OA-OC .lOAlIOCl1 OB 1-|0C|；再由cosXA0B=OA-OB2乂 ( - 3) +0X4|0A| |0B|2X5(2)设点C(x,y),由OC平分/BOA可得cos/AOC=cos/BOC|OA|-|OC|,eosZBOC-OA-OCOB*OC| OB |-|0C I 0A |

22、| OC | | OB |-|0C |y=2x (2,0)(x,y)又火C在抽即吃，EC共线，前二（y+3,y-4）,正二（h-2,芋）4x+5y - 8=0由 解得4 Q、, 点C的坐标为（斤斤）点评： 本题注意考查了向量的夹角公式的坐标表示的应用，向量共线的坐标表示在三角形中的应用，解题的关键是借助于已知图象中的条件，灵活的应用向量的基本知识.20.已知向量 a= (cos。，sin 0)和 b=cos 9 ).(1)若；/吊，求角。的集合；(2)若白 且L,四工)，且占%1=行,求g昌(且三)的值 4428考点:专题:分析:平面向量的坐标运算.计算题.(1)由题意和共线向量的等价条件，列

23、出关于角。的方程，求出。的一个三角函数值，再根据三角函数求解答:出角。的集合.(2)由题意先求出 d-匕的坐标，根据此向量的长度和向量长度的坐标表示，列出方程求出7T0 TT ,cos ( 0-,由余弦的二倍角公式和。的范围求出GQ5 (丁的值.解：(1)由题意知 a/ b,则 cos。COs 0- sin 0 sin 0) =0, .V2sin 9=1, sin 0=,一-一一 ITT ,、 NTT 一角 0 的集合= q 0=一+2k 兀或 0=+2k 兀，k CZ；44(2)由题意得， 二庆 (cos0-V2+sin 0, sin 0- cos 0),.I H=J(858+芸口日 - V

24、5)曰一is I)=j 22 (cos 9 -Ksin 9 )=2- cos ( 9 -=h/3,即cos (。-工)=工，由余弦的二倍角公式得, 44L4日71 由得 cos (-)*3点评:本题考查了共线向量的坐标表示和向量长度的坐标表示，利用两角正弦(余弦)和差公式和二倍角公式进行变形求解，注意由已知条件求出所求角的范围，来确定所求三角函数值的符号21.如图所示，若D是4ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2.求证：ADXBC.I)ft考点：向量在几何中的应用.专题：计算题；证明题；平面向量及应用.分析：设标二菽不，屈二口，瓦二，反=1，将；二+工、国森7代入了一E2的式子，化

25、简整理a2-籽=2+2702彳?d7,结合题意寸-52=82-X2化简，可得E?(c-d)=0,再结合向量的加减法法则得到AD?BC=0,由此结合数量积的性质即可得到ADBC.解答：解：设AB=白，AC=b,AD=e,DB=c,DC=d,则；|=e+c,b=e+d一_”2-2-2-一-一2a-b=(e+O-(e+d)=c+2ei?c|-2e?d-d.由已知AB2-AC2=DB2-DC2,得募工2二2-守，二2+2；花-元?33,2丁，即；？(c-d)=0.EOBD+DC=d-c,AD?BC=ej?(d-c)=0,因此，可得ADBC,即ADBC.点评：本题给出三角形ABC内满足平方关系的点D,求

26、证ADLBC.着重考查了平面向量的加减法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题.22.已知向量彳=Cmin上乎，?JB-Wp)，b-Jsin畔COSA-),其中A、BAABC2244224的内角，-(1)求tanA?tanB的值;(2)若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求W的值.考点：平面向量的综合题.计算题.分析:(1)根据W_L吊推断出= = b=0,利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得tanA?tanB ;(2)由于tanA?tanB=0,利用基本不等式得出当且仅当 g,c取得最大值，再利用同角公式求出sinC, sinA ,最后由正弦定理求 的值.a解答:解：

27、(I )由题意得a*b- t-smcos-J )=05 . A+RI铲嗔-，cosnn5.A+B即/in5cos (A+B ) +4cos(A B) =0cosAcosB=9sinAsinB1.tanA?tanB=.9(2)由于tanA?tanB=0,且A、B是4ABC的内角,1-tanA0,tanB0_ tan (A+B)二一个编夫E=-当且仅当tmA二十anB二三取_1.-3.c为取大边时，有tanAt,tanC=-,sinC=,sinA=-由正弦定理得:c_sinCa si nA点评:本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，正弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力的高低.23.已知向量a=(sins,coss),b=(芯cosk)且bH。，函数f(x)=29唯-1(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(II)若短E分另IJ求tanx及尸干，的值.f(耳)+1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单调性.专题:分析:平面向量及应用.(I)化简函数f (x) =2g.E _ l=2sin(2x+?)，可得函数的周期，令2k兀-当2xg 2k兀+ , k&,求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间.2 _ . 2(II)由 a=b,求得 tan