高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

1、对数与对数1.对数(1)对数的定义:如果ab=N(a>0,a乎1),那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.(2)指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b(a>0,a手1,N>0).两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.(3)对数运算性质：loga(MN)=lOgaM+lOgaN.logaM_=logaMlOgaN.NlogaMn=nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a才1)对数换底公式：logbN=logaN(a>0,a手1,b>0,b手1,N>0)logab2.对数函数(1)对数函数的定义函数y

2、=logax(a>0,a手1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+OO).注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义：logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)第二，根据定义运算公式：logaMAn=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log（-2）4人（-2）就不等于（-2）*

3、log（-2）4;一个等于1/16,另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.（3）对数函数的性质定义域：（0,+x）值域：R.过点（1,0）,即当x=1时,y=0.当a>1时，在（0,+x）上是增函数；当0vav1时，在（0,+°0）基础例题上是减函数题型1（对数的计算）1.求下列各式的值.1(1)lOg35+2lOg172-l0g5°-l0g54；2(2)log2xlog253Xlog5.89练习题1.计算：lg1-lg5+lg12.5-log89-log278;282.log535+2log172-log5-log5

4、14;2503.log2xlog3xlog5.1 22"4.log3-log9410g93.5.lg5lg2lg42(6),log224lg1log3',27lg2log237.2例2.已知实数x、v、z满足3x=4y=6z>1.21g2lg3111lg0.3623lg8(1)求证：2+1=2；xyz（2）试比较3x、4y、6z的大小.练习题.已知log189=a,18b=5,用a、b表示log3645.题型二：(对数函数定义域值域问题)一.一2x例1.已知函数fxlog2的定义域为集合A,关于x的不等式2a2ax的解集为B,若x1AB,求实数a的取值范围.2.设函数y

5、log2(ax22x2)定义域为A.(1)若AR,求实数a的取值范围；(2)若log2(ax22x2)2在x1,2上恒成立，求实数a的取值范围.练习题1.已知函数fxlgax22x1(1)若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；(2)若fx的值域是R,求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg(x-2)-lg(x3)的最小值.题型三(奇偶性及其单调性)例题1.已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x+2)=f(x),当x0,1时，f(x)=2x-1.(1)求f(x)在1,0)上的解析式；(2)求出log124)的值.22 .已知f(x)=log13(x1)勺，求f

6、(x)的值域及单调区间.33 .已知y=loga(3ax)在0,2上是x的减函数，求a的取值范围.4 .已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).(i)求函数yf(x)的定义域；(n)判断函数yf(x)的奇偶性；(出)若f(m2)f(m),求m的取值范围.练习题1.已知函数f(x)=loga(x+1)loga(1x)(a>0,aw1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围2 .函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0,当x0时，f(x)10glx.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x21)

7、2;3 .已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，f(x)log1(x1).2(I)求f(0),f(1)；(n)求函数f(x)的表达式；(出)若f(a1)1,求a的取值范围.题型4(函数图像问题)例题1.函数f(x)=|log2x|的图象是4 .求函数y=log21x1的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.5 .设f(x)=|lgx|,a,b为实数，且0vavb.求方程f(x)=1的解；(2)若a,b满足f(a)=f(b)=2fa上，2求证：a-b=1,a-b>1.2练习题：11 .已知a0且a1,函数f(x)loga(x1),g(x)loga，记F(x)2f(x)g(x)1x

8、(1)求函数F(x)的定义域及其零点；(2)若关于x的方程F(x)2m23m50在区间0,1)内仅有一解，求实数m的取值范围.2 .已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(kCR)是偶函数.(1)求k的值；4(2)设g(x)=log4a?2a,右函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求头数a的取值氾3围.3.函数y=log2|ax-1|(a0)的对称轴方程是x=-2,那么a等于题型五：函数方程1 方程lgx+lg(x+3)=1的解x=.一(1)xx42 .已知函数f(x)=(2),则f(2+log23)的值为f(x1),x4,4.已知函数f(x)loga(axJX)(a0,a1为常数).(i)求函数f(x)的定义域；(n)若a2,x1,9,求函数f(x)的值域；(出)若函数yaf(x)的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围1xx5 .已知函数ylog2-log2-