高中数学常用公式及定理

1、高中数学常用公式及定理1 .熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到很大的作用。2 .所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。1 .兀素与集合的关系：xA仁xCuA,xWCuAux吏A.2 .德摩根公式：Cu(AC|B)=CuAUCuB；Cu(AUB)=CuACCuB.3 .包含关系4 .容斥原理-card(A0|B)-card(BP1C)-card(CflA)card(A0|Bf")C).5 .集合ai,a2,|,an的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n-1个;非空的真子集有2n

2、2个.6 .二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式f(x)=ax2+bx+c(a00);(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a00);(3)两根式f(x)=a(xx1)(xx2)(a#0).7 .解连不等式N<f(x)<M常有以下转化形式：N<f(x)<Muf(x)-Mf(x)-N<0;8 .方程f(x)=0在(k1,k2)上有且只有一个实根，与f出)f(k2)<0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程ax2+bx+c=0(a¥0)有且只有一个实根在(k1,k2)内，等价于«f(k10"或一(3=

3、76;且k，T<安k1k2b、，:二：二k222ax =一2处及区间的2a9 .闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)=ax2+bx+c(a*0)在闭区间1p,q上的最值只能在两端点处取得，具体如下：当a>0时，若x=一p,q,则”.(一聂&,""若x=_；b皂bq,f(x)max=maxf(p),f(q),f(X)min=minf(P),f(q).2a当a<0时，若x=-wP,q】，则f(x)min=minf(p),f(q);2a若x=二正P,q】，贝Ufx)询mx()p)fq,f(x)min=minf(p),f(q).2a10 .一元二次方程

4、的实根分布依据：若f(m)f(n)<0,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一个实根.设f(x)=x2+px+q,贝U；2-p _4q _0f(m)<0 或！>fm2f (m) ,0(2)方程f(x)=0在区间(m,n)内有根的充要条件为工f(m) 0f(m)f(n)<0 或 |f(n)>0或p2 -4q :二0 pm ：二 一万：二 nf(m) =0f(n) 0pm <<n2f (n) =0f (m) 0pm < <n2(1)方程f(x)=0在区间(m,i)内有根的充要条件为p24q:二0(3)方程f(x)=0在区间(q,n)内有根

5、的充要条件为f(n)<0或|pn2f(n)-011 .定区间上含参数的二次不等式包成立的条件依据:(1)在给定区间(q,F)的子区间L(形如k,p,(-笛,日，k")不同)上含参数的二次不等式f(x,t)20(t为参数)包成立的充要条件是f(x,t)min>0(xL).在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)E0(t为参数)何成立的c 0lb2 -4ac ： 0充要条件是f(x,t)man<0(xL).f(x)=ax4+bx2+c>0(a>0)恒成立的充要条件是12 .真值表Pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13

6、 .常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个不大于至少有n个至多有（n-1）个小于不小于至多有n个至少有（n+1）个对所有x,成立存在某X,不成立p或qp且q对任何X,不成立存在某x,成立p且qp或q14.四种命题的相互关系若非p贝非q若非q则非p互逆15 .充要条件（1）充分条件：若p=q,则p是q充分条件.(2)必要条件：若qnp,则p是q必要条件.(3)充要条件：若p=q,且q=p,则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16 .函数的单调性(1)设x1，x2wa,b】,x1丰x2那么(XiX2)

7、f(Xi)f(X2)】A0Uf(x1)f(x2)A0Uf(x)在kb】上是增函数；X-x2(xix2)f(xi)-f仇)I<0=f(x1)f(x2)<0f(x)在Q,b上是减函数.x1-x2(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f<x)>0,则f(x)为增函数；如果f<x)<0,则f(x)为减函数.17 .如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=fg(x)是增函数.18 .奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数

8、的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.19 .若函数y=f(x)是偶函数,则f(x+a)=f(-x-a);若函数y=f(x+a)是偶函数，则f(x+a)=f(-x+a),并且y=f(x)关于x=2对称.20 .对于函数y=f(x)(xWR),f(x+a)=f(b-x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x=ab；两个函数y=f(x+a)与y=f(b-x)的图象关于直线x=-a对称.2221 .若f(x)=-f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称；若f(x)=-f(x+a),则函

9、数y=f(x)为周期为2a的周期函数.22 .多项式函数P(x)=anxn+an工xn'+HI+a。的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数uP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数uP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23 .函数y=f(x)的图象的对称性(1)函数y=f(x)的图象关于直线*=2对称仁f(a+x)=f(ax)仁f(2ax)=f(x)(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b对称仁f(a+mx)=f(bmx)uf(a+bmx)=f(mx)2m24 .两个函数图象的对称性(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y

10、轴)对称.(2)函数y=f(mxa)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=a+b对称.2m(3)函数y=f和y=f(x)的图象关于直线y=x对称.25 .若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f(x-a)+b的图象；若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x-a,y-b)=0的图象.26 .互为反函数的两个函数的关系：f(a)=buf(b)=a.27 .若函数y=f(kx+b)存在反函数，则其反函数为y=-fX(x)-b,并不是y=f(kx+b),k而函数y=f(kx+b)是y=-f(x)-b的反函数.k28 .几个常见的函数方程(1) 正比例

11、函数f(x)=cx,具有性质：f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=c.(2)指数函数f(x)=ax,具有性质:f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=a#0.(3)对数函数f(x)=logax,具有性质：f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1(a>0,a¥1).(4)幕函数f(x)=xa,具有性质：f(xy)=f(x)f(y),f'(1)=".(5)余弦函数f(x*cox正弦函数g(x>six具有性质：f(xy)=f(x)f(y)+g(x)g(y),f(0)=1,limg(X=1.x0x29 .几个函数方程的周期(约定a>0)(1)

12、 f(x)=f(x+a),则f(x)的周期T=a；11(2) f(x+a)=f(x)或f(x+a)=(f(x)#0)或f(x+a)=-(f(x)0),Mf(x)的f(x)''f(x)周期T=2a；(3) f(x+a)=,(f(x)#1),则f(x)的周期T=3a；1-f(x)(4) f(x1"2)=f(x1)*f(x2)且f(a)=1(f(x)f(x2)#1,04x1xz|<2a),1-f(x1)f(x2)则f(x)的周期T=4a；(5) f(x+a)=f(x)-f(x-a),则f(x)的周期T=6a.30 .分数指数幕mm(1) an=n/Om(a>0,

13、m,nwN冲，且n>1)；(2)an=m(a>0,m,nWN卅，且n>1).a不31 .根式的性质aa0(1) (%y=a.(2)当n为奇数时，J7=a；当n为偶数时，疗=|a|=4'.a,a二032 .有理指数幕的运算性质(1) aras=ar+(a>0,r,seQ);(2)(ar)s=ars(a>0,r,seQ);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,rQ)33 .指数式与对数式的互化式logaN=b=ab=N(a0,a=1,N0).34 .对数的换底公式logaN=10gmN(a>0,且a#1,m>0,且m#1,N>

14、;0).logma推论1ogambn=n1ogab(a>0,且a>1,m,n>0,且m=1,n=1,N>0).m35 .对数的四则运算法则若a>0,aw1,M>0,N>0,贝U(1) 1oga(MN)=1ogaM1ogaN;(2)10ga=1ogaM-1ogaN；(3)logaMnnlogaM(nR).N36 .设函数f(x)=1ogm(ax2+bx+c)(a*0),记=b2-4ac.若f(x)的定义域为R,则aa0,且<0;若f(x)的值域为R,则a：>0,且之0.【对于a=0的情形，需要单独检验.37.平均增长率的问题如果原来产值的基础

15、数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有y=n(ipf.38 .数列的通项公式an与前n项的和&的关系=IS1'""1.S-Sn_1,n_239 .等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(nwN);其前n项和Sn公式为：Sn=n-(a1-an=na1+n(n-1d=dn2+(a1-d)n.222240 .等比数列的通项公式：an=a1qn，=曳qn(nwN);qai(Jqn)q=1qq=1其前n项的和公式为：Sn=<1-q，q或Sn=<1-q.,Ina1,q=1na1,q=141 .等比差数列丁上an书=qan+d

16、,&=b(q#0)的通项公式为【用待定系数法来求】b(n-1)d,q=1an=bqn(d-b)qn-d_1q-1,q一42 .常见三角不等式(1)若x(0;)，则sinx<x<tanx；(2)若x0:)，则1<sinx+cosxE我.22(3) |sinx11cosx|_1.43 .同角三角函数的基本关系式：sin28+cos28=1,tan8=§g，tancot日=1.cos二一产二 sin(万n(-1)2 sin ： , n为偶数) 上(-1)2 cos ：, rc奇数44 .正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。工n二(-1)2cos-：<

17、;宓偶数cos(户'2n_1(-1)2sin也n为奇数45 .和角与差角公式sin(二I)=sin一：cosL二cos-：sin:;cos(二)=cos：cos：+sin二：sin:;tan二_tantan（：-1+tan：.tan<asina+bcosa=Ja S =1absinC ='bcsin A ='casin B ; (3) S/OAB = 2220252.三角形内角和定理在 ABC中，有 A B C =:=C =二-(A B) = C =_ _A_B= 2c = 2二-2(A B).22253.简单的三角方程的通解+b2sin（a+中）（辅助角邛所在象

18、限由点（a,b）的象限决定，tan:b-）.a46 .二倍角公式2.222sin2ct=2sin久cosa;cos2a=cosCtsina22cosa-1=1-2sina；tan 2：=2 tan ;2-1 -tan :47.三倍角公式sin30=3sin日4sinsinx=a= x = k二(-1)k arcsin a(k Z,| a |< 1).cosx=a ：= x = 2k 二arccosa(k Z,| a |-1).日=4sin0sin(-0)sin(+8);333Tcos3日=4cos39-3cos0=4cos日cos(-日)cos(二十8)；333.tan31=a”-r=t

19、an【tan(-i)tan(-i).1-3tan3348.三角函数的周期公式函数y=sin（cox+中）及函数y=cos（cox+呼）的周期T=空；同函数y=tan®x+中）的周期T=工.49 .正弦定理：-a-=-b-=-=2R（R为AABC的外接圆半径）sinAsinBsinC50 .余弦定理a2=b2+c22bccosA；b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosC.51 .面积定理111(|OA| |OB|)2-(OA OB)2 .(1) S=-aha=bR=chc(ha、hb、hc分别表小a、b、c边上的局).222tanx=a=x=k?u+arctana

20、(kZ,aR).特别地,有sin二=sin:u=k-+(1)k：(kZ).cos：=cos=;=2k：二l,(k三Z).tan：=tan-=:-k：；二(kZ).54 .实数与向量的积的运算律：设入、a为实数,那么(1)结合律：入(na)=(入n)a;(2)第一分配律：(入+6)a=入a+-a；(3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b.55 .向量的数量积的运算律：(三个向量的数量积不满足结合律)(1) a-b=b-a(交换律)；(2) (£a)b=九(ab)=£ab=a(九b)；(3)(a+b)c=ac+bc.56 .平面向量基本定理？如果e1、e2是同一平面内的两个不

21、共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1、入2,使得a-入e+入2e2.不共线的向量e1、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.57 .向量平行的坐标表示？设a=(X1,y)，b=(x2,y2),则a/bttxy?x?%=0.53. a与b的数量积(或内积)a-b=|a|b|cos0.58 .a-b的几何意义：数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.59 .平面向量的坐标运算(1)设a=(x,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x+x2,y十丫2).(2)设a=(。y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1一x2,y1-y2).TT

22、T(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB=OBOA=(x2x，刈一小).(4)设a=(x,y),KER,则九a二(八x,，y).(5)设a=(x，y1),b=(x2,y)，贝Uab=(xx2+y1y2).60 .两向量的夹角公式cosx1x2y1y2(a=(x,y)，b=(x2,y2).x2y2、x2y261 .平面两点间的距离公式dA,B=|AB|=，AB短=J(X2x)2+(y2yi)2(A(Xi,yi),B(X2,y2).62 .向量的平行与垂直设a=(xi,yi),b=(x2,y2),则a/bub=Xaux1y2x2yl=0;a_Lbua,b=0ux1x2+y1y2=0.6

23、3 .线段的定比分公式？设Pi(xi,yi),P2(x2,y2),P(x,y)是线段P1P2的分点，儿是实数，且Pp=7uPF2,则xix2_t*i_Lj一1+九uOP=0PLii0PLyOP=tOPi+(1t)OB(t=-).y1y21,1,yi-64 .三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为A(xi，yi)、BLh)、C%>3),则ABC的重心的坐标是G(xix2%-y2y3)1 ,3.65 .点的平移公式x=xhlx=x-hOP=OPPP.''y=yky=y-k.、.4，一一.'.'II'».汪：图形F上的任意一点P(x,y

24、)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP的坐标为(h,k).66 .“按向量平移”的几个结论(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x+h,y+k).(2)函数y=f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的函数解析式为y=f(x-h)k.(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y=f(x)，则C的函数解析式为y=f(xh)-k.曲线C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的方程为f(x-h,y-k)=0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为

25、m=(x,y).67 .三角形四“心”向量形式的充要条件，设。为AABC所在平面上一点，则222(1)。为AABC的外心uOA=OB=OC.(2)O为AABC的重心=OA+OB+OC=0.(3)O为MBC的垂心uOA 彘=滞 OC = OCOA.(4)O为AABC的内心uaOA+bOB+cOC=0.( a,b,c 为角 A,B,C 所对边长)68 .常用不等式：(1) a,bwR=a2+b2之2ab(当且仅当a=b时取“二”号).(2) a,bwR+=廿,，茄(当且仅当a=b时取“=”号).2(3) a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).(4)柯西不等式

26、(a2+b2)(c2+d2)之(ac+bd)2,a,b,c,dwR.(5) a-bW|a+bWa+b69 .已知x,y都是正数，则有(1)若积xy是定值p,则当x=y时和x+y有最小值2布；(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积xy有最大值-s2.470 .一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a¥0,=b2-4ac>0),如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1<x<x2u(x-x1)(x-x2)<0(x1<x2)；x<x1,

27、或xx2a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2).71 .含有绝对值的不等式、/c门/I22II22【、.当a>0时，有x<a=x<a=-a<x<a；xa=x>aux>a或x<-a.72 .无理不等式f(x)_0f(x)_0有、t-f(x)_0.(1)Jf(x)AJg(x)U<g(x)之0，(2)Jf(x)Ag(x)u<g(x)。0或4/、c，2g(x)<0f(x)g(x)f(x)g(x)2f(x)-0(3) jf(x)<g(x)u<g(x)A0_2f(x)二g(x)73 .指数不等式与对数不等式f(

28、x)0(1)当aA1时，af(x)>ag(x)Uf(x)>g(x)；lOgaf(x)AlOgag(x)=«g(x)A0；f(x)g(x)f(x)0(2)当0<a<1时，af(x)Aag(x)Uf(x)<g(x)；logaf(x)Alogag(x)ug(x)0f(x):二g(x)74 .斜率公式：k=&_4(P(x1,y1)、BM,y2).x2-x175 .直线的五种方程(1)点斜式y-y1=k(x-x1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).(2)斜截式y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距).(3)两点式y-y1=x-X1(y1丰y2)

29、(P1(x1,y1)、P2(x2,2(x1#x2).y2-y1x2-x1(4)截距式个+)=1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b=0)ab(5) 一般式Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).76 .两条直线的平行和垂直(1)若l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2111112ak1=k2,b1#b2；l1Ll2uk1k2=-1.(2)若1i:Ax+'y+Ci=0,l2:A2x+B?y+C2=0,且A、B2、G都不为零,111112y冬=且#5；11L2yAA2+BiB2=0；1 112A2B2C2一z八-k9-kz.、77 .夹角公式：tanct=|1.(li:y=k

30、1x+bi,I2:y=k2x+b2,k1k2丰1)1k2k1直线11_L12时，直线11与12的夹角是三.278 .11到12的角公式：tanot=-k2k.(11：y=kx+b,12:y=k?x+d,k1k2丰-1)1k2kl直线11_L12时，直线11到12的角是土.279 .四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-刈)(除直线x=x0),其中k是待定的系数；经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y°)=0，其中A,B是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线11:A1x+B1y+C1=0,1

31、2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为(Ax+By+C1)+MA2x+B2y+C2)=0(除12),其中人是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+九=0(九#C),人是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0(Aw0,Bw0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+九=0,人是参变量.80 .点到直线的距离：d=|Ax0+By0+C|(点P(x°,y°),直线1:Ax+By+C=0).a2b281 .Ax+By+CA0或0所表示的平面区域设直线1:A

32、x+By+C=0,则Ax+By+C0或0所表示的平面区域是：若B#0,当B与Ax+By+C同号时，表示直线1的上方的区域；当B与Ax+By+C异号时，表示直线1的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.若B=0,当A与Ax+By+C同号时，表示直线l的右方的区域;当A与Ax+By+C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.82 .圆的四种方程(1)圆的标准方程(xa)2+(yb)2=r2.(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0).圆的参数方程"a+rcose.y=brsin1(4)圆的直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y

33、1)(y-y2)=0【圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)l.83 .圆系方程(1)过直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+X(Ax+By+C)=0,人是待定的系数.(2)过圆Ci:x2+y2+Dx+E1y+Fi=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是x2+y2+D1x+E1y十冗十九(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,人是待定的系数.84.点与圆的位置关系，点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种:若 = (a -Xo)2 (b -Yo)2 ,

34、则d>ry点P在圆外； d=ru85.直线与圆的位置关系直线 Ax+By +C =0 与圆(x-a)2d > r u 相离 u < 0 ； d = r u点P在圆上；d <ru点P在圆内.+ (y-b)2 = r2的位置关系有三种：相切 u = 0 ； d m r u 相交 u a 0其中d 二Aa Bb C、.A B286 .两圆位置关系的判定方法，设两圆圆心分别为O,Q,半径分别为一,O1O2=ddAn+r2y外离之4条公切线；d=rI+r2y外切之舔公切线；ri _2<d <n +r2 y相交仁2条公切线；d =ri 2u内切=1条公切线；0<d

35、<|r1-r2|u内含u无公切线.87 .圆的切线方程(1)已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0.若已知切点(x°,y°)在圆上，则切线只有一条，具方程是D(xox)E(yoy)XoXy°y22F=0.当(x°,y°)圆外时，x°x+y0y+*+刈+E(y；+y)+F=0表示过两个切点的切点弦方程.过圆外一点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线.(2)已知圆x222(2)点P(x0,y&

36、#176;)在椭圆与+*=1(aAb>0)的外部u咨+专>1.a ba b91.椭圆的切线方程 22(1)椭圆xT十4=1(a >b >0)上一点P(x°,y°)处的切线方程是 笔+券=1.a ba b+y2=r2过圆上的F0(x°,y°)点的切线方程为x0x+y0y=r2；斜率为k的圆的切线方程为y=kx士rJi+k2.上以会x2y2x二acos188 .椭圆下+4=1包>b>0)的参数方程是.aby=bsin12289 .椭圆二十4=1(a>b>0)焦半径公式：PFi|=a+ex0,PF2I=a-ex)

37、.ab90 .椭圆的的内外部2222(1)点P(x0,y°)在椭圆与+*=1(aAbA0)的内部u与+当<1.abab(2)过椭圆x°x2 a.型.1b2xyft=1(a>ba0)外一点P(X0,y0)所引两条切线的切点弦方程是ab2(3)椭圆x2+4=1(a>b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2.ab一一八、x2y2，八，、92 .双曲线_2_=i(a>0,b>0)的焦半径公式：PFi=|a+ex)|,PF2=|a-ex)|.ab93 .双曲线的方程与渐近线方程的关系2222(1)若双曲线方程为4=1=渐

38、近线方程：与与=0=y=±2x.a2b2a2b2a22(2)若渐近线方程为y=土bxu?±Y=0=双曲线可设为-k.aabab2222(3)若双曲线与冬-与=1有公共渐近线，可设为斗-鼻=人(儿A0,焦点在x轴上;abab九<0,焦点在y轴上)94.双曲线的切线方程22双曲线三1=1(aA0,bA0)上一点P(x°,y°)处的切线方程是粤-铝=1.abab22(2)过双曲线-4=1(a>0,b>0)外一点P(x°,y。)所引两条切线的切点弦方程是abx)x_y°y2,2-Iab22(3)双曲线-与=1(aA0,b&g

39、t;0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=c2.ab95 .抛物线y2=2px的焦半径公式抛物线y2=2px(p>0)焦半径CF|=x0十旦2过焦点弦长CD=x1+x2+=x1+x2+p.22296 .抛物线y2=2px上的动点可设为Py,y二)或P(2pt2,2pt)或P(x,y),其中y2=2px.2p'b94acb297 .一次函数y=ax+bx+c=a(x+)+(a#0)的图象是抛物线：(1)顶点坐标为2a4a22/b 4ac-bb 4ac-b 1(一,);(2)焦点的坐标为 (,);(3) 准线方程TH2a 4a2 a4a4ac-b2 - 1y =

40、.4a98 .抛物线的内外部(1)点P(X0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部=y2<2px(p>0).点P(X0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)的外部uy2>2px(p>0).点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部uy2<-2px(p>0).点P(x°,y°)在抛物线y2=2px(p>0)的外部uy2>-2px(p>0).(3)点P(x0,y°)在抛物线x2=2py(p>0)的内部ux2<2py(p>0).点P(x0,y0)在抛物线x2=2p

41、y(p>0)的外部ux2>2py(p>0).(4)点P(x0,y°)在抛物线x2=2py(p>0)的内部ux2<2py(p>0).点P(x°,y°)在抛物线x2=-2py(p>0)的外部ux2a-2py(p>0).99 .抛物线的切线方程(1)抛物线y2=2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0).(2)过抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y=p(x+x).(3)抛物线y2=2px(p>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.100 两个

42、常见的曲线系方程(1)过曲线"x,y)=0,f2(x,y)=0的交点的曲线系方程是f1(x,y)十九fz(x,y)=0(人为参数)22(2)共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程J+J=1,其中k<maxa2,b2;a-kb-k当kAmina2,b2时，表示椭圆；当mina2,b2<k<maxa2,b2时，表示双曲线.98.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB="(x-x2)2+(y1-y2)2或AB=J(1+k2)(x2为)2弓为一x2|Ji+tan2s=|yy?|<1+cot2a(弦端点A(x1，y1)，B(x2,y?),【a为直线AB的倾斜角,k为直线

43、的斜率】99 .圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线F(x,y)=0关于点PH.)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0-y)=0.(2)曲线F(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0成轴对称的曲线是2A(AxByC)2B(AxByC)、0F(X22，y22)0.A2B2A2B2100 .“四线”一方程对于一般的二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,用x0x代x2,用y0y代y2,用x°y+xy0代xy,用一代x,用y二代y即得方程222A/x+Bx0y+xy0+Cy°y+D,x上x+E±丫+F=0,曲线的切线，切点弦，中点弦，222弦中点方程均可由此

44、方程得到.101 .证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面两直线无交点；(2)转化为两条直线同时与第三条直线平行；(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.102 .证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.103 .证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定两平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.104 .证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为该线与另一线的射影垂直；(4)转化为该线与形成射影的斜线垂直.105 .证明直线与

45、平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.106 .证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直.107 .空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律：入(a+b尸入a+入b.108 .平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量

46、为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.109 .共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bw0),a/bu存在实数入使a=Xb.P、A、B三点共线仁AP|AB=AP=tABOP=(1-t)OA+tOB.TrtTAB|CDyAB、CD共线且ARCD不共线之AB=tCD且AB、CD不共线.110 .共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的已存在实数对x,y,使p=xa+yb.推论：空间一点P位于平面MA时的之存在有序实数对x,y,使MP=xMA+yMB,或对空间任一定点0,有序实数对x,y,使OP=OM+xMA+yMB.111 .对空间任一点。和不共线的三点AB、C,满足O

47、P=XOA+yOB+ZOC(x+y+z=k),则当k=1对，对于空间任一点O,总有P、A、B、C四点共面；当k#1时，若OW平面ABC则P、ABC四点共面；若O正平面ABC则P、ABC四点不共面.yACAB、C、D四点共面uAD与AB、£共面uAD=xABOD=(1-x-y)OA+xOB十yOC(O市平面ABC.112 .空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.推论：设QABC是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实TTT数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC.113 .射影

48、公式已知向量AB=a和轴l,e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A',作B'T点在l上的射影B,则AB=|AB|cosa,e>=a,e114 .向量的直角坐标运算设a=0包），b=（匕电也）则a+b=(a1+>,a2+b2,a3+b3)；(2)ab(a1bi,a2b2,a3b3)；(3)入a=(九比，Ka2,?-a3)(入CR)；(4)ab=aq+a2b2+a3b3；115 .设A(X1,y1，4),B(X2,y2,Z2),则AB=OB-OA=(x2x，y2y1，Z24).116 .空间的线线平行或垂直rrr r r r r ra Pb ：二 a = 1

49、 b(b = 0)匕设a=（%,丫1,4）,b=（x2,y2,Z2）,则rrrra_b：=ab=0：=x1x2yly2z1z2=0.117 .夹角公式设 a= (a1,a2,a3), b=(匕电也)，则 cosa,b>ah a2b2 , a3b3推论(a1bi+a2b2+a3b3)2E(a2+a2+a2)(b12+b；+虚),此即三维柯西不等式.118 .异面直线所成角rr,rr,cos.=|cos:二a,b|=3.：|x1x2_y1y2=ZZ2X-|a|b|x12,y；,Z12.x22V:-Z22rr(其中0(0o<9<90o)为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线

50、a,b的方向向量)abmT119 .直线AB与平面所成角P=arcsinTT(m为平面«的法向量).|AB|m|120 .二面角a-l -P的平面角8=a9cos邛 |m|向量）121 .三余弦定理7 3 7*一 arc cos 4n ( m , n为平面a , P的法 |m|n |设AC是a内的任一条直线，且BC±AG垂足为C,又设AO与AB所成的角为01,AB与AC所成的角为日2,AO与AC所成的角为日,则cos=cos91cos2.122 .空间两点间的距离公式若A(xi,yi,zi),B(X2,y2,Z2),贝1dA,B=|AB|=JaBaB=)区x1)2+(y2y

51、J2+(、一乙)2.123 .异面直线间的距离T一4d=|*5（11,12是两异面直线，其公垂向量为n,C、D分别是li,l2上任一点，d为li,l2|n|间的距离）.124 .点B到平面a的距离一d=An|（n为平面口的法向量，AB是经过面口的一条斜线，Awa）.|n|125 .异面直线上两点距离公式：d=Jh2+m2+n2-2mncos中（9为二面角E-AAF的大小）.（两条异面直线a、b所成的角为8,其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F,AE=m,AF=n,EF=d）.126 .三个向量和的平方公式：（a+b+c）2=a2+1?+c?+2ab+2bC+2ca127 .

52、长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为L、J、13,夹角分别为曰、*一,则有I2222222222,l=l1I2I3：=cos口cos*cos为=1=sin/sin口2sinM=2._S128 .面积射影定理：S=.cos?（平面多边形及其射影的面积分别是S、s',它们所在平面所成锐二面角的为0）.129 .的半径是R,则具体积v=4jiR3,其表面积S=4nR2.3130 .球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，（3） 球与正

53、四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为巡a,外接球的半径为-6a4131 .体、锥体的体积V柱体=Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高)V锥体=gsh(S是锥体的底面积、h是锥体的高)132 .分类加法原理(加法原理)N=mim2|Mmn.133 .分步计数原理(乘法原理)N=mim2|mn.134 .排列数公式n!.*一An=n(n-1)(nm+1)=.(n,mCN,且mMn).注：规止0=1.(n-m135 .排列恒等式(1) Am=nAm;；(2)nA；=A：可；(3)AmAnm+mAm；(4) 1!22!33!|nn!=(n1)!1.136 .组合数公式Amn(n-1)(n

54、-m+1)n!/八*-z口、Cn=-=(nCN,m=N,且mEn).Am12：mm!(n-m)!137 .组合数的两个性质(1) cm=c/；(2)cnm+cnmjcm+；注：规定cn=1.138 .组合恒等式n(1)cnm=cm：；(2)zcn=2n；(3)c；+c、+c；”-+c；=c；，mr=01 .c3.c5.0.c2.c4,n11.cc2.oc3n_cn(4)CnCnCn|l|-CnCncnI11-2；(5)Cn2Cn3Cn111nCn-n,2；(6)(cn0)2+(C：)2十(C2)2+(C：)2=c21n;139 .排列数与组合数的关系：Am=m!Cm.140 .“错位问题”及其

55、推广贝努利装错笺问题：信n封信与n个信封全部错位的组合数为一、1111f(n)=n!,2!3!4!141 .不定方程xi+x2+|+xn=m的解的个数(1)方程xi+x2+|+xn=m(n,mwN")的正整数解有C：。个.(2)方程x1+x2+|+xn=m(n,mwN*)的非负整数解有C：个.142 .二项式定理(a+b)n=C：an+C：an,b+C2an-b2+C；an,br+C：bn;二项展开式的通项公式Tt=Cnran,br(r=0,1,2-,n).143 .等可能性事件的概率P(A)=m.n144 .互斥事件A,B分别发生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B).145

56、.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1+A2+-+、尸P(A1)+P(A2)+十P(An).146 .独立事件A,B同时发生的概率P(A-B)=P(A)P(B).147 .n个独立事件同时发生的概率P(A1-A2An)=P(A1)-P(A2)P(An).148 .n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn(k)=C：Pk(1-P、”149 .离散型随机变量的分布列的两个性质：(1)P父0(i=1,2,川)；(2)+P2+|=1.150 .数学期望E上=XiR+x2P2+HI+xnPn+III151 .数学期望的性质(1) E(a-+b)=aE(-)+b.(2)若。B(n,p),则E：=np.(3) 若-服从几何分布，且P(士=k)=g(k,p)=qk'p，贝UE*=.P152 .方差D±=(x1E±fp1+(x2-E-)p2+Hl+(xn-E-)2pn+HI1