高中数学必修2第1、2章知识点及习题

1、第一章空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图34球体的体积V=_4R3第一章空间几何体一、选择题1.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个（）.1三视图:正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1） .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2） .平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线长度不变；（3） .画法要写好。5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图左视图A.棱台B.棱锥C.棱柱D.正八面体2.如果一个水平放置

2、的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45。，腰和上底均为1的等1.3空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和那么原平面图形的面积是（）.-1+Y22+v''2A.2+2B.C.223.棱长都是1的三棱锥的表面积为（）.A.V3B.2，3C.3<3D.4<32圆柱的表面积S=2ri+2所23圆锥的表面积S=%+*r24圆台的表面积S=%2+%l评5球的表面积S=4R2（二）空间几何体的体积1柱体的体积V=S底乂h12锥体的体积V=一$底乂八313台体的体积V=yS上+、：S上S下+S下产h34 .长方体的一个顶点上三条棱长分

3、别是的表面积是（）.A.25兀B.50兀5 .正方体的棱长和外接球的半径之比为A.3：1B.、13:23,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上，则这个C.125兀().C.2：«3D.都不对6.在4ABC中,AB=2,BC=1.5,ABC=120°,若使ABC绕直线BC旋转一周，则成的几何体的体积是（9A.一九27B一九27.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和第18页共15页这个棱柱的侧面积是12.若三个球的表面积之比是1：2：3,则它们的体积之比是A.130B.140C.15013.正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是上底面AB

4、CD的中心，若正方体的棱长为a,则三8.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF/AB,EF=3,且EF与平面ABCD的距离为2,2则该多面体的体积为（）.9A.B.5215C.6D.29.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误.的是AB1D1的体积为.14 .如图，E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是.15 .已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、2、J3、66,则这个长方体的对角线长是,它的体积为A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形16.一个直径为32厘米的圆柱形

5、水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同此球的半径为厘米.C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形三、解答题D.水平放置的圆的直观图是椭圆17.有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和10.如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是（）.求它的深度.（第10题）体的对角面作截面提示：18*,已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比.、填空题11.一个棱柱至少有个面，面数最少的一个棱锥有个顶点，顶点最少的一个棱台有条侧棱.19.如图，在四边形ABCD中，/DAB=90

6、°,/ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,第二章直线与平面的位置关系求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.(第19题)20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12m,高4m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？2.1空间点、2.1.1宜线、平面之间的位置关系1平面含义：平面

7、是无限延展的2平面的画法及表示(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°,且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理:Dar/A/B(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为AGLBGL=>La一aAGa/UaBGa工一/':公理1作用：判断直线富否在平面内/J1'(2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB符号表示为：A

8、、B、C三点不共线=>有且只有一个平面民、aC,使AH、BGa、CGa。公理2作用：确定一个平面的依据。/(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过五点的公共直线。Jr符号表示为：PGanB=>aAB=L，且PGL公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：4K士小相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；北面直线八n平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a/b.=>

9、;aIIc,c/b强调：公理.4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。b /民2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义；3等角定理：空间中如果两个角的两边分别呼应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：;a'与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2.3.1直线与平面垂直的判定在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角。G(0,)；2 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a±b; 两条直线互相垂直，有共面垂直与

10、异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.32.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点.指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a*a来表示2.2 .直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aabB=>a/aa/b2.2.2

11、平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一不平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。(2)判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aiia>aBa./baCB=b2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：a门丫=aa./bB门丫=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质1、定义如果直线L与平面a内的任意一条直线都

12、垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L直线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公叫做垂足。LPaJri|Jf2、判定定理：一条直线与一个平面内以两条相交直线都垂端则该直线与此平面垂直。jfJf注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一1件不可忽视；-l- B 或 a -AB- B3、两个平面互相垂直的判定定理:b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.1 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2.3.2 2.3.4直线与平面、

13、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直EF±AA1；EFIIAC；EF与AC异面；EFII平面ABCD.其中一定正确的有（）A.B.C.D.8. 设a,b为两条不重合的直线，a,B为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是A.若a,b与a所成的角相等，则allbB.若aIIa,bIIB,aIIB,贝Ua/bC.若a?a,b?B,a/b,贝Ua/BD.若a±a,b，B,a±B,则a±b9. 已知平面a，平面B,anB=l,点ACa,A?l,直线AB/l,直线AC&

14、#177;l,直线m/a,n则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A.AB/mB.AC±mC.AB/BD.AC±p10. （2012纲版数学大（文科）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1代那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（）43A-5B.533一、选择题第二章综合检测题1 .若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2 .平行六面体ABCDAiBiCiD1中，既与AB共面也与CCi共面的棱的条数为（）A.3B.4C.5D.63 .已知平面5和直线l,则a内至少有一条直线与1（）A.平行B.相交C

15、.垂直D.异面C.4D.11.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（）311A.3B.3C.0D.212.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外,的角是（）AB=ACJ3,BC=2,则以BC号PAL平面ABCD,PA=AB,贝UPB与AC4.长方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB,A1D1所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°5 .对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a,使得（）A.a?a,b?aB.a?a,b/aC.a，a,b，aD.a?a,b，a6 .下面四个命题：若直

16、线a,b异面，b,c异面，则a,c异面；若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交；若a/b,则a,b与c所成的角相等；若a±b,b±c,则aIIc.其中真命题的个数为（）C.2D.17.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是线段A1B1，BC1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F,有下面四个结论:C.45二、填空题（本大题共5小题，每小题5分.把答案填在题中的横线上）13.下列图形可用符号表示为.14.正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角C的平面角等于.15 .设平面5 II平面B , A, CG a , B, D G 3 ,直线 AB与CD交于点点S

17、位于平面a , I之间，AS= 8, BS= 6, CS = 12,则 SD = .16 .将正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二面角 A- BD C,有如下四个结论: AC ±BD;"ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60 °的角；AB与CD所成的角是60。.其中正确结论的序号是 .S,且P18.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA，平面ABCD,AB=4,BC=3,5,/DAB=/ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明：CDPAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成J的角相等，求四棱锥P-AB

18、CD的体积.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)如下图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与4A1B1C1都为正三角形且AA1，面ABC,F、F1分别是AC,A1C1的中点.求证：(1)平面AB1F1II平面C1BF;(2)平面AB1F1，平面ACC1A1.19.(12分)如图所示，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=22,M为BC的中八、(1)证明：AM±PM;(2)求二面角PAM-D的大小.(本小题满分12分)(2010辽宁文，19)如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC iBi是菱形

19、，BiC± A1B.的值1的正方形，平面ABED，底面证明：平面ABC平面A1BC1;设D是A1C1上的点，且 A1B/平面B1CD,求A1D DC 1221.(12分)如图，ABC中，AC=BC=2AB,ABED是边长为若G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:(2)求证:/GFII底面ABC;AC，平面EBC;转化为证明 AC垂直于平面(3)求几何体ADEBC的体积V.分析(1)转化为证明GF平行于的两条相交直线BC和BE;(3)几何体,ADEBC是四挪22.(12分)如下图所示，在直三棱柱的中点.ABCA1B1C1中，AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB(1)

20、求证:求证:(3)求异面直线ACi与BiC所成角的余弦彳ACXBCi;ACiII平面CDB1；第一章空间几何体13.参考答案：1a3.解析：画出正方体，平面6ABiDi与对角线AiC的交点是对角线的三参考答案三棱锥OABD1的高h=3a,V=1Sh=33、选择题另法：三棱锥O-AB1D1也可以看成三棱锥3A-4OB1D133a=1a36,它的高为AO,等腰三角形OB，A解析:从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台.面.2.A解析:原图形为一直角梯形，其面积1b(1+2+1)X2=2+2.214.参考答案:平行四边形或线段.3.A解析:因为四个面是全等的正三角形，

21、则15.参考答案:解析：设ab=bc=3,ac=4.B解析:长方体的对角线是球的直径,=.3+2+1=32+42c2S=4兀R=50兀.16.参考答案：12.解析:V=Sh=兀r2h=兀R3,R=364X27=12.5.C解析:2正方体的对角线是外接球的直径.三、解答题6.D解析:V=V大一V小1兀r2(1+1.51)=317.参考答案:7.D解析:设底面边长是a,底面的两条对角线分别为I2，而l12=15252,l22=9252,而1(S+SS+S)h3V3X190000l1+l22=4a2,即152-52+8X5=160.18.参考答国：S+SS+S3600+2400+16008.D解析：

22、1V=2Xx过点E,F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,3X3X2+1X3X2X3=15如图是过正方体对角面作的截面.设半球的半径为R,正方体的棱长为a,则CC'=a,OC39.B解析:斜二测画法的规则中,22已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变;OC'=R.平行于y轴的线段，长度为原来的一半.平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.A'C'10.D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选二、填空题D.11.参考答案：53.解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台.12.参考答案：1：（第18题）r1：2：3=1：2

23、3,13：23：r33=13：(3)3=1：22：3在Rtyco中，由勾股定理，得CC,2+OC2=OC/2,2222即a2+(Ja)2=R2.(3)参考答案：VV2>V1,S2VS1,，方案二比方案一更加经济些.2R=、6a,2V半球=三,兀a3,V-a3.V半球：V正方体=6兀：2.19.参考答案：S表面=S下底面+S台侧面+S锥侧面=XX52+%x(2+5)X5+兀x2X?2详解答案1答案D2答案C解析AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类:=(60+46兀.V=V台一V锥=冗(12+12+22)h-兀r2hi33148二一兀.320.解：(1)参考

24、答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16m,则仓库的体积V1=1sh=1义兀416)2X4=25-Mm3).3323如果按方案二，仓库的高变成8m,则仓库的体积V2ShX兀x(12)2x8=28K(m3).3323(2)参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16m,半径为8m.棱锥的母线长为l=<82+42=4%，第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C11D与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1,第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3答案C解析10直线l与平面a斜交时，在平面a内不存在与l平行的直线，二.A错;2I?a时，在a内不存在直线与l异面，二.D错；3

25、76;l/a时，在民内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与l垂直.仓库的表面积S1=兀X8义45=32*5兀(m2).4答案D解析由于ADAD5答案B1111,则/BAD是异面直线AB,A1D1所成的角，很明显/BAD=90如果按方案二，仓库的高变成8m.棱锥的母线长为l="82+62=10,仓库的表面积S2=兀x6X10=60兀(m2).解析对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误；对于选项B，若a,b不相交，则平行或异面，都存在*使a?a,b/a,B正确；对于选项C,a±a,b±a,一定有a/b,于选项D,a?a,bXa,一定有a

26、7;b,D错误.6答案D解析异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于,在平面内，aIIc,而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故错误.第20页共 15页7答案D5=DF=DiF,DDi=2,结合余弦定理得到结论.一i，平面Aiiii,EF?平面Aiiii,则EF±AAi,所以正确；解析如图所示.由于AABCDBCD当E,F分别是线段Aii,Bii的中点时，EFIIAii,又AC/Aii,则EF/AC,所以不正确；当E,BCCCii,Bii的中点时，EF与AC异面，所以不正确；由于平面Aiiii/平面ABCD,F分别不是线段ABCBCDii答案解

27、析取BC中点E,连AE、DE,可证BCXAE,BCXDE,./AED为二面角A-E又AE=ED=2,AD=2,i2答案B./AED=90°,故选C.A是假命题；选项B中，a,b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，a,B还可能相交，所以C是假命题；选项，B,则a/B或a?B,则B内存在直线9答案C解析如图所示：l/a,又b，B,则b±l,所以a±b.i3答案anb=abi4答案45°解析将其还原成正方体解析如图所示，正方体AB-C的平面角.又BCCABCDJfQRS,显见PBSC,AACSABCD-ABCDi是4腰直角三角形、则/I)角形，./AC

28、S=60中，由于BC±B,BCiXAB,则/CiBC是二iCiBC“W45第ii页共 i5页15答案9解析如下图所示，连接.ACD是等边三角形，故正确.由题意及知,AE，平面不正确.分别取BC,AC的中点为MN.1则MNAB,且MN=则直线AB,CD确定一个平面JCBD.;a/B,.ACIIBD,ASCS812则SB=SD，6=SD，解得SD=9.16答案解析如图所示，取BD中点，E连接AE,1则BD±AE,BD，CE,而AEACEE,，平面AEC,AC?平面AEC，故AC±BD,故正到MECD，且ME=2CD/EMN是异面直线在RtAEC中，AE设正方形的边长为

29、a,则AE由知/AEC=90°是直二面角=90°,.AC=a,BCD,故/ABE是AB与平面BCD所成的角，而/ABE=45°,M,N,12AB=2a,1=2a，AB,CD所成的角.2 .NE=2AC=2a.MEN是正三角形，./EMN=60°,故正确.17证明(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中， F、Fi分别是AC、iCi好中点, .B1F1IIBF,AF1IIC1F.又B1F1AAF1=Fi,CiFABF=F,Si 平面AB1F1II平面CiBF.(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA平面AiBiCi,B1FAAi.又B1F1±AiC

30、i,A1C1nAAi=Ai,.B1F1,平面ACC1A1,而BiFi?平面ABiFi,平面AB1F1,平面ACCiaF18解析第26页共 15页(1)如图所示，连接AC,/AB=4,七C3,-ABCr90°,得AC=5.PCD为正三角形,又AD=5,E是CD的中点，所以CD±AE.(.PA，平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PALCD.而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD，平面PAE.(2)过点B作BGIICD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.由(1)CD，平面PAE知，BG，平面PAE.于是/BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG1AE.由PA，平面ABCD知，/PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.AB=4,AG=2,BGXAF,由题意，知/PBA=/BPF,PABF因为sin/PBA=pb,sin/BPF=pb,所以PA=BF.由/DAB=/ABC=90°知，AD/BC,又BGIICD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3.于是AG=2.在RtABAG中，AB=4,AG=2,BGXAF,所以22AB2168585BG=AB+AG=25,BF=BG=25=5.于是PA=BF=5.1又梯丫ABCD的,积为S=2*(5+3)X4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为V=xSXPA=x16X5=12