正态分布大数定律与中心极限定理

1、一、正态分布的概率密度函数与分布函数一、正态分布的概率密度函数与分布函数1.1.背景：背景：正态分布是现代统计学的基础。正态分布是现代统计学的基础。1818世纪科学家发现测世纪科学家发现测量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊的的“中间大，两头小中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种的特征，现实中众多的问题都具有这种特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正

2、态分布。2.2.一般正态分布的概率密度函数与分布函数一般正态分布的概率密度函数与分布函数 21)()()()()()()()()()(1221xxxdxxfxFxFxXxPxFxfdxxfxFxFxXPX，或或且且的的密密度度与与分分布布关关系系如如下下我我们们已已知知连连续续随随机机变变量量 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理.,2 N记作记作 其中其中 及及 0 0都为常数，这种分布叫做都为常数，这种分布叫做正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布。设连续型随机变量设连续型随机变量 X X 的概率密度为的概率密度为 xexfx,21)(222)( d

3、xxfdxex22221 xtdtet2221 1)21(1 02222dtet ,21,02212dssdtst 则则令令dsesdtest 212212 dsesdtedxxfst 021022122222 1.正态变量的密度函数正态变量的密度函数 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理特别地，当特别地，当 时，正态分布时，正态分布 叫做叫做标准正态分布标准正态分布。 其概率密度为其概率密度为 xexx,2122 1,0N1, 0 2.2.正态分布正态分布 的密度曲线的密度曲线 2, NO 21 xfx 22221 xexf若固定若固定=0 O xf

4、x ）（21 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理O1 xFx0.5 的的表表达达式式为为：因因此此，正正态态分分布布2, N dtexFxt222 21 3.3.正态变量的分布函数正态变量的分布函数 xdxxfxFxFxf)()(),()(的的关关系系式式是是首首先先：分分布布函函数数与与密密度度的关系式为：与其密度，则数则表示为标准正态变量的分布函来表示，的密度函数用符号一般地，标准正态分布)()()()(xxxxdtedxxxxxtxx2221)()(),()( 4.4.标准正态分布的密度函数与分布函数标准正态分布的密度函数与分布函数表示。分布用

5、符号。一般地，将标准正态正态分布，记作服从标准的正态分布，则称，服从若随机变量)() 1 , 0(102xNXX 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理4.4.正态密度函数的性质正态密度函数的性质 积积分分的的特特殊殊性性函函数数，还还具具有有对对称称区区间间标标准准正正态态密密度度由由于于是是偶偶，数数的的非非负负规规范范性性，另另外外首首先先都都具具有有一一般般密密度度函函和和标标准准正正态态密密度度的的密密度度正正态态密密度度22222221)(21)(),(xxexexfN 12122212221)(1)()(02022222 dxedxedxe

6、xdxxdxxfxxx 是是偶偶函函数数且且.21)()(100dxxdxx）（ 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理（3 3） xx 1)()(xXPxXPy 轴轴对对称称，即即标标准准正正态态分分布布密密度度关关于于)1)(1)()()xxXPxXPxXPx（即即 212121020222 dxedxexx ）。）容易得到（由（；）（2121)0(2 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理dxexFxFxXxPNXxxx2122 21221221)()(),(有对于一般正态变量)(). 5xFx 求（用 12

7、22 2 22121xtxtdtedte)()()()()()()(12121221 xxttxFxFxXxP xt 212221xxtdte)()()()(,22221xxxXPxx也可求单侧概率：).()(xxx值求出据态分布函数表，可以根统计教材后都有标准正一般概率的数值已经编制成表，标准正态分布函数 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理, 3, 2, 1k 若若 , 求求X 落在区间落在区间 内的概率，内的概率， kk,其中其中例题例题4.1.2 2, NX例题例题4.1.1，试求已知) 1 , 0( NX(3)PX 1.5P x , (3)(

8、 3)1(3)10.99870.0013PX 解：查表可得：解：查表可得：(3)0.9987(1.5)0.9332故1.5( 1.51.5)(1.5)( 1.5)(1.5)1(1.5)2(1.5) 12 0.9332 10.8664P xPX 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理解解 kXkP kXP k 12k 查表得查表得 6826. 0112 XP 9544. 01222 XP 9973. 01323 XP 99994. 01424 XP kk k 9999994. 01)5(25 XP 9973. 01323 XP注注意意到到：003. 000

9、2. 09973. 013 XP 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理O 21 xfx 2 3 2 3 拐点拐点 拐点拐点 随机变量随机变量 X 落在落在 3,3之外的概率小于之外的概率小于3。 通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性 原理，我们常把区间原理，我们常把区间 3,3看作是随机变量看作是随机变量 X 的的 实际可能的取值区间这一原理叫做实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理三倍标准差原理（或（或3 法则法则）。）。 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大

10、数定律与中心极限定理 例例4.1.3 把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，调节器的设定温度 为d 度,已知液体的温度T是随机变量，且)5 . 0 ,(2dNX90d 89T （1）若度的概率；度，求（2）若要求保持液体的温度至少为80度的概率不少于0.99，问d至少为多少度？解解 （1）由已知，所求的概率为899089( 2)1( 3)1 0.97720.0228.0.5P T （2）据题意，需求d,使得800.99P T 因为808018010.990.5dP TP X 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理800.010.5d利用0.9901正态

11、分布表，有所以(2.33)0.9901( 2.33)0.01 即故设定温度d至少为81.165度.u一般地，给定实数) 10(存在实数)(uXP使得为随机变量X上的u则称百分位点.百分位点的解释和应用在数理统计部分还要详细说明 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理二、正态分布的数字特征二、正态分布的数字特征1.1.数学期望数学期望 dxxxfXE)()(义义：根根据据数数学学期期望望即即均均值值定定代代入入公公式式的的密密度度函函数数将将正正态态分分布布021)(),(222)(2 xexfNxdxxeXEx222)(21)( xtdtett22)(2

12、1 dttedtett 2222221分分，后者为奇函数对称积，后者为奇函数对称积）（前者为前者为区间积分加倍且区间积分加倍且分为零，而偶函数对称分为零，而偶函数对称注意奇函数对称区间积注意奇函数对称区间积 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理1.1.方差方差 将将正正态态分分布布密密度度代代入入由由方方差差定定义义 dxxfXExXD)()()(2 dxexXDx222)(2)(21)( xtdtett22222 ),(2 NX021)(222)( xexfx )(XE3.3.中心矩中心矩 dxxfXExXkk)()( 由中心矩公式由中心矩公式是偶函

13、数是偶函数dtett 0222222 stesdtest 2,221222则则令令22202120212)21(212)23(222222)( dsesdsessXDss 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理dxexXxkk222)()(21)( xtdtettkk222 若若 k 为偶数，为偶数，2122kkk , 6, 4, 2!)!1( kkk 22tz dzzekkzk02122 若若 k 为奇数，奇函数对称积分为奇数，奇函数对称积分, 5, 3, 10 kk 则：则：dtettkkk02222 的的一一切切奇奇数数的的阶阶乘乘到到表表示示从从

14、注注意意1!)!1( kk1 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理例题例题4.1.4._)(_,)(,1)(122 xDxEexfXxx则则的的概概率率密密度度为为已已知知 度度恒恒等等变变形形为为正正态态分分布布密密解解：将将X222)(21)( xexf222)212(121221211)(xxxxeexf 21)(, 1)(),21, 1(2 xDxENX其中：其中：则则22)212()1(2121 xe 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理例题4.1.5（2009，4分）._)()(),21(7 . 0

15、)(3 . 0)( XExxxxFX函函数数，则则为为标标准准正正态态分分布布的的分分布布其其中中的的分分布布函函数数为为设设随随机机变变量量2121)21(7 . 0)(3 . 0)()(),(的的复复合合函函数数是是注注意意由由密密度度与与分分布布的的关关系系：的的密密度度为为分分析析：设设xxxxxFxfxfX dxxxdxxxdxxxfEX)21(35. 0)(3 . 0)( 故只要积第二个即可故只要积第二个即可，为为为奇函数对称区间积分为奇函数对称区间积分是偶函数，是偶函数，注意到注意到0)()(xxx dttdtttdtttEX)(7 . 0)(4 . 12)()12(35. 0

16、7 . 0)(7 . 0)(700 dtt . 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理二维随机变量二维随机变量( ( X X, ,Y Y ) ) 的正态分布概率密度表示如下：的正态分布概率密度表示如下： 22 22 22121 2121,yyyxyxxxyyxrxryxeryxf 其中，参数其中，参数 及及 分别是随机变量分别是随机变量 X X 及及 Y Y 的数的数学期望，学期望， x y 及及 分别是它们的标准差，分别是它们的标准差，x y 参数参数参数参数 r r 是它们的相关系数。是它们的相关系数。三、二维正态分布三、二维正态分布1.1.二维正态

17、分布的密度二维正态分布的密度 yxdudvvufyxFyx,),(),(),().,(,2222YXYXYXYXNrrNYX，即记成经常地，将）记作（ 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理2.2.二维正态分布的边缘密度二维正态分布的边缘密度，可以计算出由dyyxfxxFxfX),(),()(定理定理4.2.1 ),(),(),(,222211222121NYNXNYX，则）若（( , )2121( )21t x yXfxedy 2212122211()()1( , )22(1)xyxt x y 其中 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分

18、布、大数定律与中心极限定理dyexfyxtX,221121)(21212)(121xe22222)(221),()(xYedxyxfyf同理),(222NY).,(),(),(222211222121NNN，分别为分布都是一维正态分布的两个边缘因此，二维正态分布置换积分变量21221()11yxu但是，一定注意，反过来，两个一维正态分布未必能确定二维正态分布. 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理3.3.二维正态分布的独立性与相关系数二维正态分布的独立性与相关系数.)(,)(,)(,)(),(),(222121222121YDXDYExENYX则我们已

19、经知道，若;),cov(.),(21YXYXR代入协方差计算公式得)0 ,(,20),(10222121222121NYXYXYXYXYXN）（不相关且、，则独立且都服从正态分布与）若（。独立且都服从正态分布与），则不相关（、变量的）若二维正态分布定理：（()( )(, )()( )EXE XYE YR X YD X D Y应用相关系数公式能够计算出： 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理.21)()(222221212121yxYXeyfxf另外另外, 若设相关系数为零，则若设相关系数为零，则 22222121212121,yxeyxf2222212

20、1222 12121xyee yfxfYX 如果随机变量如果随机变量X与与 Y 独立独立, 并且都服从正态分布并且都服从正态分布,则则 ，代入密度函数yfxfyxfYX,0)0 ,(,222121，即）得（NYX在二维正态分布中，独立性与不相关是一致的，在二维正态分布中，独立性与不相关是一致的，这是二维正态分布的一个重要特征. 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理例例4.2.2 设随机变量设随机变量X 与与Y 独立独立, 并且都服从正态分布并且都服从正态分布 N (0, 1) ,求求22YXZ 的的概率密度概率密度. 解解 ,21),(2 22yxey

21、xf , 0 时时当当 zzyxyxZdxdyezF22222 21)( zrrdred02 20221 2 1ze)()( zFdzdzfZZ 0 , 00 ,2121 zzezzxyo22YXZ ) 2(2 . 0, 0 zZPzFz时时当当 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理例题例题4.2.3.)()()();()()();()();()()()/()(),(/yfxfDyfxfCyfBxfAyxfXyYYXyfxfYXYXYXYXYXYXYX 密密度度的的条条件件概概率率的的条条件件下下，的的概概率率密密度度，则则在在、分分别别表表示示不不相

22、相关关，与与服服从从二二维维正正态态分分布布，且且和和设设随随机机变变量量独独立立。与与由由已已知知，于于独独立立，因因此此布布情情况况下下，不不相相关关等等效效分分析析：因因为为二二维维正正态态分分YX)()/()()/(),()/(/xfyxfBPABPAPBAPXYX 密度与分布同理：密度与分布同理：独立时的等价定义：独立时的等价定义：来来判判断断。并并求求出出及及等等效效独独立立性性代代入入注注：也也可可根根据据)(),()/()()(),(0/yfyxfyxfyfxfyxfrYYXYX 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理四、正态变量的线性函

23、数的分布四、正态变量的线性函数的分布定理定理4.3.1., ,222 bbaNbXaYNX则则设设的分布bXaY. 1证证 22221 xXexfX的的概概率率密密度度函函数数为为：的的分分布布函函数数为为（)0 bbXaY 222221)(1)()( bbayXYYebbayfbyFyf 由于由于 bxay是单调函数，且反函数为是单调函数，且反函数为 ,bayx,1bxy)()()()()(bayFbayXPybXaPyYPyFX 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理.1 , 0*,2NXXNX 则则设设推论推论则则得得：在在如如上上定定理理中中，若

24、若令令,1, ba bayfbyfbXY1)(0 时时的的密密度度为为同同理理求求22,yyxxNYNXYX ，独独立立，且且与与设设定理定理4.3.2.,22yxyxNYXZ 则则证证 ,21222xxxxXexf 的的概概率率密密度度函函数数为为与与YX .21222yyyyYeyf 的的概概率率密密度度函函数数为为YXZ .)(dxxzfxfzfYXZ 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理dxezfyyxxxzxyxZ22222121)( 经过计算可得结论如下)(2)(22222 21)(yxyxzyxZezf222)()()()()()()()

25、(YXZYXZYDXDYXDZDYEXEYXEZEYXZ 时时并并且且态态，随随机机变变量量的的和和仍仍服服从从正正定定理理表表明明，独独立立的的正正态态以上结论还可以推广到更一般的情况以上结论还可以推广到更一般的情况 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理例题例题4.3.1;21)1()(;21)0()(;21)1()(;21)0()(),1 , 1(),1 , 0( YXPDYXPCYXPBYXPANNYX则则：分分别别服服从从正正态态分分布布与与设设两两个个独独立立的的随随机机变变量量)2 , 1(),2 , 1(, NYXTNYXZYXTYXZ也

26、也服服从从正正态态分分布布，且且差差均均值值。因因此此分分析析：独独立立可可加加减减，方方21)0()()()(, ，考考虑虑到到即即由由题题要要求求，标标准准求求 zzFzZPPZniNXXXXiiin, 2 , 1,221，独独立立，且且设设 定理定理4.3.321211,iniiniiiniiiccNXc 则则 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理21)0()211()1()1()1( ZFZPYXPB故故选选例题例题4.3.2的的方方差差。量量的的正正态态分分布布，求求随随机机变变，方方差差为为值值为为相相互互独独立立，且且都都服服从从均均设设

27、两两个个随随机机变变量量YXYX 210,为为标标准准正正态态分分布布即即为为服服从从正正态态分分布布，且且均均值值也也，因因此此独独立立可可加加减减，方方差差均均值值解解：令令)1 , 0(. 1, 0,NZDYDXDZEYEXEZZYXZ ), 0(,2,2221)(,)()(220222 tzdzdtztdzzedzezZEdzzzZEzz令令偶偶偶偶的的偶偶： 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理 0202222)(2dtedzzeZEtz 222)1(22 101)()()(),(1, 02222 ZEDZZEZEZEDZEZ即即：求求由由已

28、已知知 21)()()()(2222 ZEZEZDYXDEXEXDX由方差的均值公式：由方差的均值公式： 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理四、切比雪夫定理四、切比雪夫定理 1.1.背景：背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级10001000名名学生线性代数课程成绩的均值为学生线性代数课程成绩的均值为8585分，我们关心的是，有多少分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？学生的成绩集中在均值附近

29、？2.2.切比雪夫定理（不等式）：切比雪夫定理（不等式）：。即即：内内的的概概率率不不小小于于（取取值值在在则则对对于于任任一一设设22211)(.11),0,)(,)(kkxPkkkxkXDXE 0 dxxfxxExD)()()()(222 证证：为为密密度度函函数数，且且非非负负。其其中中)(xf 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理 非非负负且且由由于于域域分分成成三三部部分分证证：将将积积分分按按照照积积分分区区 kkkkkkdxxfxdxxfxdxxfxdxxfxdxxfxx)()()()()()()()()()()(,22222222222

30、22)(,)(, kxkxkxkxkx 得得出出：同同理理，第第二二个个积积分分也也可可所所以以对对第第一一个个积积分分，由由于于 kkdxxfkdxxfk)()(22222 即即： kkdxxfdxxfk)()(12 21)()(21xxdxxfxXxP：由由区区间间概概率率和和密密度度关关系系 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理)()()()( xkPkxPdxxfdxxfkk 所所以以：)()()(12 kxPdxxfdxxfkkk 即：即：211)(1)(kkxPkxP )()()( kxPkxPkxP )(1112 kxPk 即：即：22)

31、(1)(;)()(, xDXExPxDxExPk ：则得到切比雪夫不等式则得到切比雪夫不等式在切比雪夫定理中，令在切比雪夫定理中，令 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理例题例题4.4.1_)2)(2 xExPx估估计计，根根据据切切比比雪雪夫夫不不等等式式的的方方差差为为设设变变量量2122)()2)(2)(222 xDxExPxD所所以以，由由已已知知中中，令令解解；在在切切比比雪雪夫夫不不等等式式设独立随机变量设独立随机变量 ,21nXXX并且方差是并且方差是一致有上界一致有上界的，即存在某的，即存在某, 2 , 1,)( niKXDi 则对于任

32、何正数则对于任何正数 ，恒有，恒有 定理定理2（切比雪夫大数定理）（切比雪夫大数定理）分别有数学期望分别有数学期望 ),(,),(),(21nXEXEXE,),(,),(2 nXDXD及方差及方差 D(X1),一常数一常数K，使得使得 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理1)(11lim11 niiniinXEnXnP证证)(1)1()()()(1)1()()(,1121111 niiniiniiniiniiXDnXnDXDzDXEnXnEXEzEXnXz对对随随机机变变量量)(1 11 )(11 ,1,)(1)(1221112 niiniiniini

33、iXDnXEnXnPXnXzzDzEzP 即：即：代入代入由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式， 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理2211nnK .12 nK 所所以以上上式式：因因为为,)(KXDi )(1 11 )(11 12211 niiniiniiXDnXEnXnP 1)1lim)(11lim211 nKXEnXnPnniiniin（1lim, 1 PPn即即又又由由概概率率性性质质1)(11lim11 niiniinXEnXnP推论推论视为切比雪夫不等式的视为切比雪夫不等式的该不等式可该不等式可)(1 11 )(11 12211 niini

34、iniiXDnXEnXnP 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理3.3.依概率收敛定义依概率收敛定义：时时趋趋于于的的概概率率当当事事件件若若对对任任何何正正数数1, naXn 1lim aXPnnanXn时依概率收敛于时依概率收敛于当当则称随机变量则称随机变量 推论：推论： 存在存在:;,2, 1,)(,)(2 niXDXEii 11lim1 niinXnP设独立随机变量设独立随机变量服从同一分布服从同一分布,期望及方差期望及方差nXXX,21 则对于任何正数则对于任何正数 ，有，有代代入入即即可可，在在切切比比雪雪夫夫大大数数定定理理中中 nnXE

35、nniXDXEniiii1)(1;,2, 1,)(,)(12 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理在独立试验序列中在独立试验序列中,设事件设事件 A 的概率的概率P(A) = = p， . 1)(lim pAfPnn定理定理3(3(伯努利定理）伯努利定理）按概率收敛于事件按概率收敛于事件 A 的概率的概率p.即对于任何正数即对于任何正数则事件则事件 A在在 n 次独立试验中发生的频率次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数当试验次数时，时， n , 有有证证设随机变量设随机变量 Xi 表示事件表示事件A 在第在第 i 次试验中发生的次数次试验中发生

36、的次数(i=1,2, ,n, ),则这些随机变量相互独立，服从相同的则这些随机变量相互独立，服从相同的0-10-1分布，分布，且有数学期望与方差：且有数学期望与方差：, 2 , 1,)(,)(nipqXDpXEii 由切比雪夫定理的推论即得由切比雪夫定理的推论即得11lim1pXnPniin)(11AfnmXnnnii 而而 niiX1就是事件就是事件A在在n次试验中发生的次数次试验中发生的次数m，由此可知，由此可知 . 1)(lim pAfPnn 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理五、中心极限定理五、中心极限定理1.1.背景背景：大数定理告诉我们，

37、随机变量个数很大时，独立随大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。设随机变量之和为设随机变量之和为: ,1 niinXY且数学期望和方差都存在：且数学期望和方差都存在： , ,.2()()01,2,iiiiE X D Xin 设随机变量设随机变量 ,21nXXX相互独立相互独立, )

38、(nYE()nD Y则则,1nii=21 nii=.n2s1()1()()nnnniii=nnY - E YZX - sD Y则和的标准变量为：则和的标准变量为：2.2.中心极限定理变量的设定中心极限定理变量的设定 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理服从相同的分布，服从相同的分布，并且有数学期望和方差：并且有数学期望和方差： ., 2 , 1, 0)(,)(2 niXDXEii则当则当 时，时，n,21lim212ztniindteznnXP (z 为任意实数为任意实数) 设独立随机变量设独立随机变量 ,21nXXX它们和的极限分布是正态分布，即它们

39、和的极限分布是正态分布，即需要熟练地记住：所以，它的条件和结论经常出现在考试题中，中心极限定理行详细解说，但是列维该定理的证明我们不进1)(, 0)( nnZDZE即即正态分布时就会服从标准当个变量和的标准变量则定的条件，个独立随机变量满足一要中心极限定理指出，只nYYEYznnnnn)()( 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理112=nii=XnxnxnPnnn121()nii=P xXx) 1 , 0()()(,) 1 (121NnnXYYEYznXXXnniinnnn 即：量服从标准正态分布：时，它们的和的标准变存在，就说明，期望方差只要满足独

40、立，同分布个随机变量dtezZPzFzt 2221)()( 即即：)()()(12221212zzdtezZzPzzt )()()(1221zznnxZnnxP 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理各次实验中发生的概率为各次实验中发生的概率为，10 pp棣莫弗棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理n 次实验中发生的次数次实验中发生的次数, 则有则有ztnndteznpqnpYP，2221lim 其中其中z 是任何实数，是任何实数，. 1 qp设在独立实验序列中设在独立实验序列中,事件事件A 在在nY随机变量随机变量 表示事件表示事件A 在在.21xnxnnn ,12xx为任意实数为任意实数121()nii=P xXx),(),1 , 0()()()2(212 nnNXYnnYZNnnYYYEYZniinnnnnn 的正态分布，即：的正态分布，即：，方差为，方差为均值为均值为服从服从为标准变量，为标准变量， 第四章第四章 正态