第一单元考研真题解ppt课件

1、第一单元历年真题解第一单元历年真题解1.1.（19911991下列各式正确的是下列各式正确的是 (A) (A) (D) (D) (C) (C) (B) (B) 1)x11(limx0 x e)x11(limx0 x e)x11(limxx e)x11(limxx 解：解：)D()C 、（显然不对显然不对xox)x11(lim )x11ln(xoxelim 1eo )x11ln(xlimox（因为（因为t) t1ln(limx 0t11limt ）2 219911991，5 5分求分求 x1nxx2x0 x)neee(lim 其中其中n n是给定的自然数。是给定的自然数。 解：原式解：原式 nl

2、n)eeln(x1explimnxxoxnxxnxx22oxeenee2elimexp nn21exp 21ne 3 319921992） xa2,dt) t ( faxx)x(F那么那么 其中其中f(x)f(x)为连续函数，为连续函数，_)x(Flimax )a( fa2（同四）（同四） 解：解： )x(Flimaxaxdt) t ( fxlimxa2ax 1)x( fxdt)x( fx2limxa2ax )a( fa2 4 419921992当当 0 x时，下列四个无穷小量中，时，下列四个无穷小量中， 哪个是比其它三个更高阶的无穷小量？哪个是比其它三个更高阶的无穷小量？ （同四）（同四）

3、(A) (A) 2x (B) 1-cosx (B) 1-cosx (C) (C) 1x12 (D) x(D) xtanx tanx 解：解：2x21xcos1 22x211x1 应选应选x-tanx x-tanx ( (三阶三阶) )5 519921992，5 5分设函数分设函数 1112sin1)1cos(ln)(xxxxxf 问函数问函数f(x)f(x)在在x=1x=1处是否连续？若不连续，处是否连续？若不连续， 修改函数修改函数 在在x=1x=1处的定义使之连续。处的定义使之连续。 数四：求数四：求 x2sin1)1xcos(lnlim1x 解：解：x2sin1)1xcos(lnlim1

4、x x2cos2)1xcos()1xsin(lim1x xxx2cos)1sin(2lim1 xxx2sin2)1cos(2lim1 24 处处不不连连续续，在在1x)x( f .4)1( f2则则连连续续若若令令 6.6.（19931993求求 _x2sin3x55x3lim2x 解：原式解：原式x23x55x3lim2x 56 7.7.（19931993，7 7分知分知 ax22xxdxex4)axax(lim求常数求常数a a的值。的值。 （同四）（同四）解：左解：左a2a2axxa2ax11lim aaax )211(a2e 右右 ax22dex4)21( ax2x22xdx2eaex

5、2dxxe4ea2ax2a22 ax2a22xde2ea2 ax2x2a22dxe2axe2ea2aeae2ea2x2a2a22 a2a2a22eae2ea2 a22e )1a2a2( 11a2a22 1a0a 或或8.8.（19931993，四），四） _ )1n(21n21limx 22解：原式解：原式)1n(21n21nlimn 2n)1n(2)1n(nnlimn 22 9.9.（19941994，四），四） )x11ln(xxlim2x 求求解：原式解：原式 )x11ln(x1xlimxx1)x11ln(x1limx t) t1ln(t11lim0t 20tt) t1ln(tlim t

6、2t111lim0t ) t1( t2tlim0t 21 10.10.（1994.51994.5分设函数分设函数f(x)f(x)可导，且可导，且f(0)=0, f(0)=0, dt)tx( ft)x(Fnnx01n , 求求 n20 xx)x(Flim（同四）（同四） xonn1ndt)tx( ft)x(F解解：,txunn 令令,uxtnn dudtnt1n oxndun1)u( f)x(F nxodu)u( fn1 )x(F1nnnx)x( fn1 )x( fxn1n 原式原式n20 xx)x(Flim1n2n1noxnx2)x( fxlim nn0 xx)x( fn21lim （再用法则

7、行吗？（再用法则行吗？)x(fn21limn0 x )o(fn21 )nn0 xx)o( f)x( fn21lim )o(fn21 11.11.（20192019，6 6分）分） 0 xdttcosx10 x10 x)xcos1(x2)x( fx022讨论在讨论在x=0 x=0处处 f(x)f(x)的连续性与可导性。的连续性与可导性。 （同四）（同四） 解：解： 20 xx)xcos1(2lim, 1xdttcoslimx020 x 20 xxcoslim 1 .连连续续 )0(f3ohh)0( f)h0( flim h1cosh)1(h2lim2oh 320hhhcosh22lim 20hh

8、3h2sinh2lim h62cosh2lim0h 0 )0(fh1dttcosh1limh020h 2h020hhhdttcoslim h21coshlim20h 0 可导可导121220192019，四），四） _adtte)xx1(limataxx ，则则解：左解：左axx)x11(lim ae attde右右 atatdteteaaeae aaaeaee 2a 131320192019，三），三） 设设 6x5x)x(g ,dttsin)x( f65xcos102 , ,则当则当 0 x时，时，f(x)f(x)是是g(x)g(x)的（的（ ）（A A低阶无穷小低阶无穷小 （B B高阶无

9、穷小高阶无穷小 （C C等价无穷小等价无穷小 （D D同阶但不等价无穷小同阶但不等价无穷小 解：解： )x(g)x( flim0 x6x5xdttsinlim65xcos1020 x 5420 xxxxsin.)xcos1sin(lim 5440 xxxxx41lim 0 )B选（选（14142019,2019,四）四） 0 x)x(),x( f的的某某邻邻域域内内连连续续在在点点设设 的的高高阶阶是是时时，且且当当)x()x( f0 x 无无穷穷小小。则当则当） （dt) t (tdt) tsin() t ( f0 xx0 x0的的是是时时， )B( )A(高阶无穷小高阶无穷小低阶无穷小低阶

10、无穷小 )D( )C(等等价价无无穷穷小小同同阶阶但但不不等等价价无无穷穷小小解：解： x0 x00 x) t (ttdtsin)x( flimx)x(xsin)x( flim0 x )x()x( flim0 x 0 )B(选选151520192019，6 6分，四）分，四） )0a( )ax1ln()ax1(xalim220 x ，求求解：原式解：原式)ax1ln(ax)ax1ln(xalim22ox 2oxx)ax1ln(xalim ax)2x(1xalimx2ax1aalim2oxox 2a2 16.16.（20192019，6 6分，四求极限分，四求极限 。为为自自然然数数)n( ,)

11、n1tann(lim2nn 解：原式解：原式 2nnn1n1tanlim2x10 xxxtanlim )xxtanln(x1lim20 x而而 )1xxtan1ln(x1lim20 x xlnxtanlnx1lim20 x x2x1xtanxseclim20 x xtanx2xtanxsecxlim220 x )1xxtan(x1lim20 x 30 xxxxtanlim 220 xx31xseclim 31x3xtanlim220 x 另解另解320 xx2xtanxsecxlim xcosx2xcosxsinxlim230 x 30 xx2x2sin21xlim 20 xx6x2cos1l

12、im 31 原式原式31e17.17.（20192019设设 n2nx1x1lim)x( f 其结论为（其结论为（ ）讨论讨论f(x)f(x)的间断点，的间断点， (A) (A) 不存在间断点不存在间断点 （B B存在间断点存在间断点x=1 x=1 （C C存在间断点存在间断点x=0 x=0 （D D存在间断点存在间断点x=-1 x=-1 （同四）（同四）解解,1x时时当当 x1)x( f ,1x时时当当 0)x( f ,1x当时时 2x1)x( f )x( f0 x1 011x 1x1 1x 1x .1x1x时时间间断断时时连连续续， 选选 B B18.18.（20192019，四），四）

13、),1a, 0a(a)x( fx 设设_)n( f)2( f )1( flnn1lim2n 则则解：原式解：原式 n22naa . alnn1lim 2)1n(n2nalnn1lim aln21 aln2119.19.（20002000设对任意的设对任意的x x，总有，总有 )x(g)x( f)x （且且 0)x()x(glimx , , 那么那么 )x( flimx ( )( )(A) (A) 存在且等于零存在且等于零 （B B存在但不一定等于零存在但不一定等于零 （C C一定不存在一定不存在 （D D不一定存在不一定存在 （同四）（同四）解：解： 选选D D） 夹逼定理夹逼定理 0)x()

14、x(glimx )x(lim)x(glimxx 并并不不保保证证)x(x)x(g( 例例 20. (2000, 20. (2000,四四) ) 均均为为常常数数，若若0b, 0a 。则则_)2ba(limx3xx0 x 解：解： 2ln)baln(x3limxx0 x 1)blnbalna(ba13limxxxx0 x blnaln23 abln23 23)abln( 23)ab原原式式（21. (2019,621. (2019,6分分) )已知已知f(x)f(x)在在 ），（ 可导可导, ,且且 , e)x(flimx )1x( f)x( flim)cxcx(limxxx 求求c c的值的值

15、. . （同四）（同四）解：左解：左xxcxc2cxlim limx c2c2cxc2cx11 c)c2cx11( c2e 右右1)(flim e 微分中值定理）微分中值定理）(, 1c2 21c 22.22.（20192019） 设常数设常数 _)a21(n1na2nlnlim,21ann 则则（同四）（同四）解：原式解：原式 n)a21(n11lnlima211 a211 )a21(n a211 23. (2019,523. (2019,5分分) ) )xcos1(xdudt) t1arctan(limx0u00 x2 求求极极限限（同四）（同四） 解：原式解：原式 3x0uooxx21d

16、udt) t1arctan(lim2 2x0oxx23dt) t1arctan(lim2 x3x2)x1arctan(lim20 x 64.32 24.24.（20192019，4 4分，四）分，四） _x1ln1limx20 x 解：解： )x1ln(1lnx2lim0 x 1x11)x1ln(112lim0 x 2 2e原原式式2e25.25.（20192019，8 8分，四）分，四） 使使得得补补充充定定义义设设),0( f,21, 0(x )x1(1x1xsin1)x( f 上上，在在210)x( f连连续续。 解：解： xsinxxsinxlim1)x( flim0 x0 x 220

17、 xxxsinxlim1 .210)x( f1)o( f上连续上连续，在在可使可使补充定义补充定义 x2xcoslim120 x 220 x2xsinlim1 126.（2019，4分，三） 的的奇奇函函数数，为为不不恒恒为为设设0)x( f存在，存在，且且)0(f x)x( f)x(g 则则函函数数( )( ) 0 x )A(处左极限不存在处左极限不存在在在 0 x (B) 有跳跃间断点有跳跃间断点 0 x )C(处处右右极极限限不不存存在在在在 0 x )D( 有有可可去去间间断断点点解：解：)x( f)x( f 0)o( f )0(fx)0( f)x( flim0 x )x(glimx)

18、x( flim0 x0 x 的的可可去去间间断断点点是是)x(g0 x 选选D27.27.（20192019，8 8分，三）分，三） ),1 ,21x,)x1(1x1xsin1)x( f 设设),1( f补充补充上连续。上连续。在在使使1 ,21)x( f解：解： )x( flim1x 1)x1(1xsin1lim1x 1xsin)x1(xsin)x1(lim1x 1ysinyysinylimoy 1yysinylim22oy 1y2ycoslim2oy 12ysinlim22oy 1.1 ,21)x( f1)1( f上连续上连续在在可使可使补充定义补充定义 28 (2019) 28 (201

19、9) 假设假设 , 5)bx(cosaexsinlimx0 x 则_，b_a ( (同四同四) ) 解：因为解：因为0)bx(cosxsinlim0 x 所以所以 )ae (limx0 x, 0a1 1a 即即所以所以1e)bx(cosxsinlim5x0 x x)bx(cosxlim0 x b1)bx(coslim0 x 4b 所所以以29 (2019) 29 (2019) 函数函数 2)2x)(1x(x)2xsin(x)x( f 在下列哪个区间内有界。（同四）在下列哪个区间内有界。（同四） （A A）（）（-1-1，0 0） （B B）（）（0 0，1 1） （C C）（）（1 1，2 2

20、） （D D）（）（2 2，3 3） 解：可能的间断点解：可能的间断点2x, 1x, 0 x )x( flim)x( flim0 x0 x 和和都存在，都存在，域域都都有有界界的的左左右右在在邻0 x )x( flim1x )1x(1sinlim1x, 的左右领域无界的左右领域无界在在1x 排排除除、所所以以)C()B( )x( flim2x 22x2x2xsinlim 2x1lim2x ,邻2x域无界域无界的左右的左右在在 排除排除)D()A(所以应选所以应选（同四）（同四） 303020192019设设 f(x)f(x)在在 ),( 内有定义，且内有定义，且 , a)x( flimx 0

21、x00 x)x1f(g(x) 那么那么 （A Ax=0 x=0必是必是g(x)g(x)的第一类间断点的第一类间断点 （B Bx=0 x=0必是必是g(x)g(x)的第二类间断点的第二类间断点 （C Cx=0 x=0必是必是g(x)g(x)的连续点的连续点 （D Dg(x)g(x)在点在点x=0 x=0处的连续性与处的连续性与a a无关无关 解：解：)x1( flim)x(glimox0 x )y( flimy a 时时，0a 处连续处连续在在0 x)x(g 时，时，oa 处间断处间断在在0 x)x(g )D(所以应选所以应选31.(2019) 31.(2019) 设设 , 0)b(f , 0)

22、a(f续，且 内连 b, a在)x(f 则下列结论错误的是（则下列结论错误的是（ ） （同四）（同四），使，使 （A A至少存在一点至少存在一点 )b, a(x0 )a( f)x( f0 ，使，使 （D D至少存在一点至少存在一点 )b, a(x0 0)x( f0 ，使，使 （B B至少存在一点至少存在一点 )b, a(x0 )b( f)x( f0 ，使，使 （C C至少存在一点至少存在一点 )b, a(x0 0)x(f0 解：解：上连续，上连续，在在因为因为ba,)x(f 排除排除由零值定理由零值定理)C(对对(A),(A),因为因为 ，且，且0)a(f 续 内连 b, a在)x(f , 0

23、)a(f)x(flimax 由极限的保号性，存在由极限的保号性，存在a a的某个右邻域的某个右邻域U(a)U(a)，使在，使在此邻域内此邻域内， f(x) , 0)x(f所以在此邻域内取一点所以在此邻域内取一点0 x有有)a( f)x( f0 ，所以排除，所以排除A A），同理排除），同理排除B B）应选应选D D）32. (2019,832. (2019,8分分) ) 求求 )xxcosxsin1(lim2220 x ( (同四同四) ) 解：原式解：原式xsinxxcosxsinxlim222220 x 4220 xxx2sin41xlim 30 xx42x2cosx2sin21x2lim

24、 20 xx12x4cos22lim 20 xx6x4cos1lim 220 xx6)x4(21lim 43 30 xx4x4sin21x2lim 33.33.（20192019，三、四），三、四）_1xx2sinxlim2x 解：原式解：原式21xx2xlim2x 2343420192019，8 8分，三、四求分，三、四求)x1e1x1(limx0 x 解：解： 原式原式232e2limx0 x )e1x(e1xxlimxx20 x 2x20 xxe1xxlim 2xex21limx0 x 353520192019，三、四），三、四）_)n1n(limn)1(n 1解解 对数列而言，数列极限

25、存在的充要条件是其对数列而言，数列极限存在的充要条件是其（n n是正整数）是正整数）奇数项子列与偶数项子列的极限存在并相等。奇数项子列与偶数项子列的极限存在并相等。因为此数列的奇数项子列的极限为因为此数列的奇数项子列的极限为1 1，偶数项，偶数项子列的极限也为子列的极限也为1 1，所以原式为，所以原式为1.1.363620192019，8 8分，三、四）分，三、四）设设0y, 0 x,xarctanyxsiny1xy1y)y, x( f 求求)y, x( flim)x(g1y ）（)x(glim20 x ）（解解 )y, x( flim)x(g1y ）（xarctanx1x1 xarctany

26、xsiny1xy1ylimy )x(glim20 x ）（ x21x11lim20 xxarctanx1x1lim0 x xarctanxxxxarctanlim20 x xxxxarctanlim220 x x2x21x11lim20 x )x1(x2xlim220 x 373720192019，四试确定常数，四试确定常数A A、B B、C C的值，使的值，使)x(oAx1)CxBx1(e32x )x(o3其中其中 是当是当 时比时比 高阶的无穷小。高阶的无穷小。0 x 3x解法一解法一 因为因为0 xAx1)cxBx1(elim32x0 x 型）型）（00所以所以0 x3A)Cx2B(e)

27、cxBx1(elim2x2x0 x ）（1 0AB1 代入上式仍为代入上式仍为 ，继续用洛必达法则，继续用洛必达法则型型000 x6C2e)Cx2B(e2)cxBx1(elimxx2x0 x ）（2 0C22B1 代入上式仍为代入上式仍为 ，继续用洛必达法则，继续用洛必达法则型型00066Ce)Cx2B(e3)cxBx1(elimxx2x0 x ）（3 06C3B1 联立解三式可得联立解三式可得61C,32B,31A 解法二解法二 用泰勒展开用泰勒展开)x(ox! 31x! 21x1e332x Ax1)CxBx1(e2x )x(ox! 31x! 21x1332 Ax1)CxBx1(2 )x(o

28、x)61B21C(x)21BC(x)A1B(332 0A1B 021BC 061B21C 联立解三式可得联立解三式可得61C,32B,31A 38.(2019)38.(2019)当当 0 x时，与时，与x（ ） （同四）（同四）xe1 (B) (B)x1ln( (C) (C)1x1 (D) (D)xcos1 等价的无穷小量是等价的无穷小量是 (A) (A)解解xe1x x)x1ln( x211x1 x21xcos1 选选B B）39.(2019)39.(2019)设函数设函数)x( f在在0 x 错误的选项是（错误的选项是（ ）（同）（同四）四）x)x( flim0 x存在，那么存在，那么0)

29、0( f （B B假设假设x)x( f)x( flim0 x 存在，那么存在，那么0)0( f （C C假设假设x)x( flim0 x存在，那么存在，那么)0(f 存在存在x)x( f)x( flim0 x 存在，那么存在，那么)0(f 存在存在处连续，下列命题处连续，下列命题（A A假设假设（D D假设假设解解（A A）（）（B B）（）（C C都正确，应选都正确，应选D D）x)x( f)x( flim0 x 并不一定等于并不一定等于)0(f2x)x( flimx)x( flim0 x0 x 所以选所以选D D）40.40.（20192019）_)xcosx(sinx21xxlim3x2

30、3x （同四）（同四）解解0 x21xxlim3x23x 为无穷小量为无穷小量)xcosx(sin 而而为有界变量为有界变量所以原式极限为所以原式极限为0 041.(201941.(2019、四、四) )设设ba 0，那么，那么 nnnnba1)(lim（ ）a1 a. . b. .1 b（A）（B）（C）（D）解解 nnnnba1)(limnnnnnaba1)1(lim nnnbaa11)(1 lim a1 424220192019设函数在区间设函数在区间1 , 1 上连续，那么上连续，那么0 x是函数是函数xdttfxgx 0)()(（C C无穷间断点无穷间断点 （D D震荡间断点震荡间断

31、点的（的（ ）（A A跳跃间断点跳跃间断点 （B B可去间断点可去间断点解解xdttfxgxxx 000)(lim)(lim)0()(lim0fxfx 选选B可去间断点可去间断点434320192019、设函数、设函数 cxxcxxxf21)(2在在)( 内连续，那么内连续，那么_ c解解 )(lim)(limxfxfcxcx cc212 1 c444420192019、四已知函数、四已知函数)(xf连续且连续且, 2)(lim0 xxfx则曲线则曲线)(xfy 上对应上对应0 x处切线方程为处切线方程为_解解, 2)(lim0 xxfx)0(0)(lim0fxfx 且且 )0(f, 2)(lim0 xxfx所以切线方程为所以切线方程为xy2 454520192019、1010分求极限分求极限xxxxsinln1lim20解解xxxxsinln1lim20)1sin1ln(1lim20 xxxx)1sin(1lim20 xxxx30sinlimxxxx 3031coslimxxx 61 464620212021函数函数xxxxf sin)(3 （A A1 1 （ （无穷多个（无穷多个 的可去间断点的的可去间断点的个数为（个数为（ ）