第7章潮流计算的数学模型及基本解法

1、2022-3-201第七章第七章潮流计算的数学模型及基本解法潮流计算的数学模型及基本解法潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型以高斯迭代法为基础的潮流计算方法以高斯迭代法为基础的潮流计算方法牛顿牛顿拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算2022-3-2027.1 7.1 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型一、一、 潮流方程潮流方程 对于对于N N个节点的电力网络（地作为参考节点不包括个节点的电力网络（地作为参考节点不包括在内），如果网络结构和元件参数已知，则网络方在内），如果网络结构和元件参数已知，则网络方程可表示为程可表示为 （7-17-1） 式中，式中，Y Y为为 阶节点导纳矩阵

2、；阶节点导纳矩阵； 为为 维节点电压维节点电压列矢量；列矢量； 为为 维节点注入电流列矢量。如果不计网维节点注入电流列矢量。如果不计网络元件非线性，也不考虑移相变压器，则络元件非线性，也不考虑移相变压器，则Y Y为对称矩阵。为对称矩阵。 电力系统计算中，一般给定的运行变量是节点注入电力系统计算中，一般给定的运行变量是节点注入功率，而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系：功率，而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系： （7-27-2） IVYNNV1NI1NSIE2022-3-203式中，式中， 为节点的注入复功率，是为节点的注入复功率，是 维列向量；维列向量； 为为 的的共轭共轭;是节点电

3、压的共轭组成的是节点电压的共轭组成的 阶对角线矩阵。阶对角线矩阵。由式（由式（7-1）和式（）和式（7-2），可得），可得 S1NSSNNVYES上式就是潮流方程的复数形式，是上式就是潮流方程的复数形式，是N维的非线性附属代数方程维的非线性附属代数方程组。将其展开，有组。将其展开，有 N,1,2,j YVjPijiijiVQ（7-3）式中，式中， 表示所有和表示所有和 相连的节点相连的节点 ，包括，包括 。ijijij 如果节点电压用直角坐标表示，即令如果节点电压用直角坐标表示，即令 ，代入，代入式（式（7-3）中有）中有iiijfeV N,1,2,i )jb(a )jf(e )jf(e)jB

4、(G)jf -(ejPiiiiiiijijijiiiiQ2022-3-204式中式中ijijijijijij)B(G)B(Gijijiiefbfea故有故有iiiiiiiiiibeafQbfaeP（7-4）（7-5） N,1,2,i 式（式（7-4）和式（）和式（7-5）是直角坐标系表示的潮流方程。）是直角坐标系表示的潮流方程。 如果节点电压用极坐标表示，即令如果节点电压用极坐标表示，即令iiVV 2022-3-205故有故有ijijijijijjiiijijijijijjiiBGQBG)cossin(VV)sincos(VVP（7-6） N，2，1i 式（式（7-6）是极坐标表示的潮流方程。

5、）是极坐标表示的潮流方程。2022-3-206二、二、 潮流方程的讨论和节点类型的划分潮流方程的讨论和节点类型的划分 对于对于N N个节点的电力系统，每个节点有四个运行变量个节点的电力系统，每个节点有四个运行变量（例如，对于节（例如，对于节 点点 有有 ， ， 和和 ）故全系统共有）故全系统共有4N4N个变量。对于式（个变量。对于式（7-37-3）所描述的复数潮流方程，共有）所描述的复数潮流方程，共有2N2N个实数方程。要给定个实数方程。要给定2N2N个变量，另外个变量，另外2N2N个变量才可以求个变量才可以求解。但这绝不是说任意给定解。但这绝不是说任意给定2N2N个变量潮流方程都是可以个变量

6、潮流方程都是可以解的。一般来说，每个节点的四个变量中给定两个，另解的。一般来说，每个节点的四个变量中给定两个，另外两个待求。哪两个作为给定量由该节点的类型决定。外两个待求。哪两个作为给定量由该节点的类型决定。 对于负荷节点，该节点的对于负荷节点，该节点的P P，Q Q是由负荷需求决定的，是由负荷需求决定的，一般是不可控的。该类节点的特点是一般是不可控的。该类节点的特点是P P，Q Q是给定的，则是给定的，则该节点该节点 ， 待求。这类节点称为待求。这类节点称为PQPQ节点。无注入的联节点。无注入的联络节点也可以看作络节点也可以看作P P，Q Q给定节点，其给定节点，其P P，Q Q值都是零。值

7、都是零。 全系统还应满足功率平衡条件，即全网注入功率之全系统还应满足功率平衡条件，即全网注入功率之和应等于网络损耗，由式（和应等于网络损耗，由式（7-67-6）并考虑到）并考虑到 是奇函是奇函数数iPiQiViiVijsin2022-3-207ijijijjilossiijijijjilossiBQGcosVVQcosVVPPN1iN1iN1iN1i（7-7）则有则有可见，系统有功网损可见，系统有功网损 和无功网损和无功网损 都是节点电压幅值和角都是节点电压幅值和角度的函数，只有在度的函数，只有在 和和 都计算出来之后，都计算出来之后， 和和 才能确才能确定，所以定，所以N个节点中至少有一个节

8、点的个节点中至少有一个节点的P，Q不能预先给出，其值不能预先给出，其值要待潮流计算结束，要待潮流计算结束， 和和 确定之后才能确定，该节点称为确定之后才能确定，该节点称为松弛节点或平衡节点。松弛节点或平衡节点。 因为平衡节点的因为平衡节点的P，Q不能预先给出，所以该节点的不能预先给出，所以该节点的 ， 就应预先给出，该节点也称为就应预先给出，该节点也称为 节点，其节点，其P，Q值由潮流计算来值由潮流计算来确定。平衡节点的选取是一种计算上的需要，有多种选法。因为确定。平衡节点的选取是一种计算上的需要，有多种选法。因为平衡节点的平衡节点的P，Q事先无法确定，为使潮流计算结果符合实际，常事先无法确定

9、，为使潮流计算结果符合实际，常把平衡节点选在较大调节余量的发电机节点。潮流计算结束时若把平衡节点选在较大调节余量的发电机节点。潮流计算结束时若平衡节点的有功功率、无功功率和实际情况不符，就要调整其他平衡节点的有功功率、无功功率和实际情况不符，就要调整其他节点的边界条件以使平衡节点的功率在实际允许的范围之内。节点的边界条件以使平衡节点的功率在实际允许的范围之内。lossPlossQVlossPlossQlossPlossQVV2022-3-208 综上所述，若选第综上所述，若选第N个节点为平衡节点，剩下个节点为平衡节点，剩下n个节点（个节点（n=N-1）中有中有r个节点是个节点是PV节点，则有节

10、点，则有n-r个节点是个节点是PQ节点。因此除了平衡节点。因此除了平衡节点外，有节点外，有n个节点注入有功功率，个节点注入有功功率，n-r个节点注入无功功率以及个节点注入无功功率以及r个节点的电压幅值是已知量。个节点的电压幅值是已知量。 在直角坐标系，待求的状态变量共在直角坐标系，待求的状态变量共2n个，用个，用 以下表示，其潮流方程是以下表示，其潮流方程是式中，式中， 与与 是节点是节点i的有功和无功功率给定值。式（的有功和无功功率给定值。式（7-8）共有）共有2n个方程，个方程，2n个待求状态变量，两者个数相等。个待求状态变量，两者个数相等。 在极坐标系，由于在极坐标系，由于PV节点的电压

11、幅值已知，所以待求的状态变节点的电压幅值已知，所以待求的状态变量是量是Tn n TTT . fff . e ee fex2121,.,nrn ifeVV,.,n, ibeafQQ,.,n, ibfaePPiispiiiiiispiiiiiispii1012102102222（7-8）spiPspiQTrn n TTT . VVV . Vx21212022-3-209共共2n-r个待求量。其潮流方程是个待求量。其潮流方程是ijijijijijjiiijijijijijjiiBGQBG)cossin(VVQ )sincos(VVPPspispi,.,n,i21r,.,n,i 21（7-9）共共2n

12、-r个方程。待求量和方程个数相等。个方程。待求量和方程个数相等。 为了更清晰地表达潮流方程中给定量和待求量之间的关系，为了更清晰地表达潮流方程中给定量和待求量之间的关系，表表7.1中把每列中的两个给定量用阴影部分表示，另两个无阴影中把每列中的两个给定量用阴影部分表示，另两个无阴影字符表示待求量，平衡节点号为字符表示待求量，平衡节点号为s=N=n+1。可见每列都有两个量。可见每列都有两个量给定，另两个量待求。给定，另两个量待求。 表表7.1 潮流方程中的给定量和待求量潮流方程中的给定量和待求量节点PQ节点PV节点变量r-n21Q . Q Q节点Vr -n21P . P Pr -n21 . r -

13、n21V . V Vn1nP . P rn1n . rn1nQ . Q rn1nV . V r Ps s Vs Qs2022-3-20107.27.2以高斯迭代法为基础的以高斯迭代法为基础的潮流计算方法潮流计算方法一、一、 高斯迭代法高斯迭代法 首先考察基于节点导纳矩阵的高斯迭首先考察基于节点导纳矩阵的高斯迭 代代法。在网络方程（法。在网络方程（7-17-1）中，将平衡节点）中，将平衡节点s s排在最排在最后，并将导纳矩阵写成分块的形式，取出前后，并将导纳矩阵写成分块的形式，取出前n n个个方程有方程有 高斯迭代法是最早在计算机上实现的潮流计算高斯迭代法是最早在计算机上实现的潮流计算方法。这种

14、方法编程简单，在某些应用领域，如方法。这种方法编程简单，在某些应用领域，如配电网潮流计算中还有应用。另外，也用为牛顿配电网潮流计算中还有应用。另外，也用为牛顿- -拉夫逊法提供初值。拉夫逊法提供初值。nssnnIVYVY2022-3-2011 平衡节点平衡节点s s的电压的电压 给定，给定，n n个节点的注入电个节点的注入电流矢量流矢量 已知，则有已知，则有 sVnIssnnnVYIVY（7-10） 实际电力系统给定量是实际电力系统给定量是n n个节点的注入功率。注个节点的注入功率。注入电流和注入功率之间的关系是入电流和注入功率之间的关系是iiiVSI,.,n,i21 写成矢量形式为写成矢量形

15、式为 VSIi2022-3-2012 再把再把 写成对角线矩阵写成对角线矩阵D D和严格上三角矩阵和严格上三角矩阵U U以及严以及严格下三角矩阵格下三角矩阵L L的和，即令的和，即令 nY0Y0YY0YYY0YYY0UDLYn1 -n1n12nn22111n，n1n21n， 代入代入(7-10)(7-10)式，经整理后有式，经整理后有nnssn1nVUVLVYIDV（7-11）2022-3-2013 考虑到电流和功率的关系式，上式写成迭代格式为考虑到电流和功率的关系式，上式写成迭代格式为）k（jn1ijij）k（j1 - i1jijsskiiii）1k（iVYVYVYVSY1V,n,i21（7

16、-12）1k（iV 0iV 考给定考给定 ， ，代入上式可求得电压新，代入上式可求得电压新值，逐次迭代直到前后两次遗代求得的电压值的差值，逐次迭代直到前后两次遗代求得的电压值的差小于某一收敛精度为止。这是高斯法的基本解算步小于某一收敛精度为止。这是高斯法的基本解算步骤。骤。 每次迭代要从节点每次迭代要从节点1 1扫描到节扫描到节n n。在计算。在计算 时，时， ，j=1j=1，2 2，i-1i-1已经求出，若迭代是一已经求出，若迭代是一个收敛过程，它们应比个收敛过程，它们应比 ， 更接近于更接近于真值。真值。,.,n,i21 考给定考给定 ， ，代入上式可求得电压新，代入上式可求得电压新值，逐

17、次迭代直到前后两次遗代求得的电压值的差值，逐次迭代直到前后两次遗代求得的电压值的差小于某一收敛精度为止。这是高斯法的基本解算步小于某一收敛精度为止。这是高斯法的基本解算步骤。骤。 每次迭代要从节点每次迭代要从节点1 1扫描到节扫描到节n n。在计算。在计算 时，时， ，j=1j=1，2 2，i-1i-1已经求出，若迭代是一已经求出，若迭代是一）1k（jV）1k（jV121,i-,j2022-3-2014）k（jV 考所以，用考所以，用 代替代替 可出得到更好的收敛果。可出得到更好的收敛果。这就是高斯，赛德尔这就是高斯，赛德尔(Gauss-Seidel)(Gauss-Seidel)选代的基本思选

18、代的基本思想，即一旦求出电压新值，在随后的迭代中立即使想，即一旦求出电压新值，在随后的迭代中立即使用。这种方法的选代格式是用。这种方法的选代格式是）1k（jV）k（jn1ijij）k（j1 - i1jijsskiiii）1k（iVYVYVYVSY1V,n,i21（7-13） 考高斯一赛德尔法比高斯迭代法收敛性要好。考高斯一赛德尔法比高斯迭代法收敛性要好。 考在导纳矩阵法的迭代公式中，导纳矩阵高度稀考在导纳矩阵法的迭代公式中，导纳矩阵高度稀疏，每行只有少数几个是非零元素，非对角非零元疏，每行只有少数几个是非零元素，非对角非零元素个数与和节点素个数与和节点j j相联的支路数相等。所以，上一次相联的

19、支路数相等。所以，上一次 考迭代后得到的电压值，只有少数几个对本次迭代考迭代后得到的电压值，只有少数几个对本次迭代中节点电压的改进有贡献，这使得导纳矩阵法在每次中节点电压的改进有贡献，这使得导纳矩阵法在每次迭代中其节点电压向解点方向的变化十分缓慢，算法迭代中其节点电压向解点方向的变化十分缓慢，算法收敛性较差。收敛性较差。 高斯迭代法的法另一种迭代格式是以节点阻抗阵高斯迭代法的法另一种迭代格式是以节点阻抗阵为基础。由于阻抗矩阵是满阵，用阻抗矩阵设计的迭为基础。由于阻抗矩阵是满阵，用阻抗矩阵设计的迭代格式可望获得好的收敛性。式（代格式可望获得好的收敛性。式（7-107-10）可以改写为）可以改写为

20、 ）（ssn1 -nnVYIYV（7-14）上式也可以写成上式也可以写成）（ssnnnVYIZV（7-15）nZnY其中其中 是是 的逆矩阵，即以平衡节点为电压的逆矩阵，即以平衡节点为电压给定节点建立的节点阻抗矩阵。给定节点建立的节点阻抗矩阵。2022-3-2016 二、关于高斯法的讨论二、关于高斯法的讨论 对于形如对于形如的非线性代数方程组，总可以写成的非线性代数方程组，总可以写成 的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：高斯法迭代的收敛性主要由高斯法迭代的收敛性主要由 0 xf（7-16） xx k1k00 xxxx（7-17） *xxTxxdef*x（7-

21、18）2022-3-2017 的谱半径的谱半径 或矩阵或矩阵 的最大特征值的最大特征值 决定。决定。 是是 的的解点。当解点。当 的谱半径小于的谱半径小于1 1时高斯法迭代可以收敛；时高斯法迭代可以收敛；O(xO(x)的谱半径越小收敛性越好。的谱半径越小收敛性越好。 求解求解( 7-27)( 7-27)式有两种方法，即高斯洼和高斯一式有两种方法，即高斯洼和高斯一赛德尔法。高斯法的迭代格式是赛德尔法。高斯法的迭代格式是 高斯一赛德尔法的迭代公式是高斯一赛德尔法的迭代公式是 *x*xx *x knk2k1i1ki，x，xxx,n,i21（7-19） kn1ki1k1 - i1k21k1i1kixx

22、x，x，xx，,n,i21（7-20）即刚刚计算出的即刚刚计算出的x x的值就在下次迭代计算中立即使用的值就在下次迭代计算中立即使用当当 时，迭代收敛。时，迭代收敛。 对于对于连通的电力网络，各节点的电压是相关的，不管两个连通的电力网络，各节点的电压是相关的，不管两个节点之间是否有支路直接相联。节点之间是否有支路直接相联。 n 21i xxmaxki1ki，2022-3-2018 由于由于Y Y矩阵中的元素代表的是短路参数，它是高度稀疏矩阵中的元素代表的是短路参数，它是高度稀疏的，由的，由(7-12)(7-12)式可见，计算节点式可见，计算节点i i的电压时，只有和节的电压时，只有和节点点j

23、j有支路直接相联的节点有支路直接相联的节点j j的电压对的电压对 有贡献。这种有贡献。这种方法利用的信息较少，收敛性较差。当用阻抗矩阵法方法利用的信息较少，收敛性较差。当用阻抗矩阵法时，由于阻抗矩阵是满矩阵，由（时，由于阻抗矩阵是满矩阵，由（7-157-15）式可见，网）式可见，网络中所有节点的电压都会对络中所有节点的电压都会对 的计算产生影响，这种的计算产生影响，这种方法利用的信息较多，收敛性人大提高了，但由于占方法利用的信息较多，收敛性人大提高了，但由于占用内存多，目前已经很少采用了。用内存多，目前已经很少采用了。 从程序角度看，如果使用式（从程序角度看，如果使用式（7-147-14），利

24、用），利用 的的因子表而不是直接使用式（因子表而不是直接使用式（7-157-15）中）中 的矩阵，可大的矩阵，可大大节省内存，缺点是不易组成高斯一赛德尔迭代的计大节省内存，缺点是不易组成高斯一赛德尔迭代的计算格式。算格式。 iViVnYnZ2022-3-2019 不论甩不论甩Y Y矩阵还是用矩阵还是用z z矩阵，对矩阵，对PVPV节点的处理都是节点的处理都是困难的。通常的处理方法是，给定困难的。通常的处理方法是，给定PVPV节点节点Q Q的初值，在的初值，在高斯迭代过程中，高斯迭代过程中，PVPV节点的电压幅值计算值和给定值节点的电压幅值计算值和给定值不同，这时修正给定的不同，这时修正给定的Q

25、 Q，直到迭代收敛时，直到迭代收敛时，PVPV节点的节点的电压幅值的计算值和给定值相等（小于某一允许的误电压幅值的计算值和给定值相等（小于某一允许的误差范围）为止。高斯迭代法中关于差范围）为止。高斯迭代法中关于PVPV节点的处理可参节点的处理可参考艾献考艾献1616。 例例7.1 对于例对于例2.3的三母线电力系统，各网络元件的三母线电力系统，各网络元件参数和节点导纳矩阵已在该例中给出。假定节点参数和节点导纳矩阵已在该例中给出。假定节点的的注入功率是注入功率是 节点节点的注入功率是的注入功率是 节点节点是是 节点，节点， 。试用节。试用节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的高斯点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的

26、高斯-赛德尔迭代法计算赛德尔迭代法计算潮流。潮流。，0 . 1 j0 . 2S1，415. 0 j5 . 0S2V。00 . 1V32022-3-2020解解 根据例根据例2，3的导纳矩阵可写出（的导纳矩阵可写出（7-11）式的表达式）式的表达式 1211nnssn121V9875. 4 j2494. 000 . 19505. 4 j49505. 0430. 9 j9430. 0V415. 0 j5 . 0V0 . 1 j0 . 2908. 9 j74445. 09580.13j1474. 1 VUVLVYIDVVnV2022-3-20210V9875. 4 j2494. 02于是有于是有 9

27、430. 0 j9430. 0V9875. 4 j2494. 0V0 . 1 j0 . 2 9580.13j1474. 1Vk2k111k1 49505. 0 j49505. 0V9875. 4 j2494. 0V415. 0 j5 . 0 .9089 j74445. 0V1k1k211k22022-3-2022将上式写成简单迭代法的高斯一赛德尔迭代格式：将上式写成简单迭代法的高斯一赛德尔迭代格式： 121121221111kkkkkkV，VfVV，VfV给定初值给定初值 计算过程如下：计算过程如下： 0 . 1 0 . 10201VV 02086. 002165. 113596. 09501

28、0. 0002112120201111jV，VfVjV，VfVk2022-3-2023 02246. 001394. 113570. 093483. 0112212221211121jV，VfVjV，VfVk整个迭代过程如表整个迭代过程如表7.1所示。所示。表表7.1导纳矩阵为基础的高斯一赛德尔法的选代过程导纳矩阵为基础的高斯一赛德尔法的选代过程2022-3-2024 不论甩不论甩Y Y矩阵还是用矩阵还是用z z矩阵，对矩阵，对PVPV节点的处理都是由节点的处理都是由以上结果可见收敛过程是较慢的，以上结果可见收敛过程是较慢的，7 7次迭代仍未稳定在次迭代仍未稳定在一个固定的值上。若以前后两次选

29、代结果相差一个固定的值上。若以前后两次选代结果相差0.00010.0001为收敛准则，则为收敛准则，则k=7k=7时收敛。此例如果不采用高斯一赛时收敛。此例如果不采用高斯一赛德尔迭代格式，那么迭代次数还会大大增加。德尔迭代格式，那么迭代次数还会大大增加。 2022-3-20257.37.3牛顿一拉夫逊法潮流计算牛顿一拉夫逊法潮流计算一、牛顿一拉夫逊法的一般描述一、牛顿一拉夫逊法的一般描述 求解潮流，数学上就是求解用潮流方程表示的求解潮流，数学上就是求解用潮流方程表示的非线性代数方程组，因此可用数学上的逐次线性化非线性代数方程组，因此可用数学上的逐次线性化的方法，即牛顿一拉夫逊法求解。的方法，即

30、牛顿一拉夫逊法求解。 电力网络的节点功率方程可用电力网络的节点功率方程可用 表示，式中表示，式中 是节点注入功率给定值是节点注入功率给定值y y是节点注入是节点注入功率和节点电压之间的函数表达式，功率和节点电压之间的函数表达式，x x是节点电压。是节点电压。当然也可以写成功率偏差的形式当然也可以写成功率偏差的形式 xyysp（7-21）spy 0 xyyxfsp（7-22）2022-3-2026 牛顿一拉夫逊法求解步骤如下。在给定的初值牛顿一拉夫逊法求解步骤如下。在给定的初值 处处将式将式（7-22）作一阶泰勒展开作一阶泰勒展开 电力网络的节点功率方程可用电力网络的节点功率方程可用 表示，式中

31、表示，式中 是节点注入功率给定值是节点注入功率给定值y y是节点注入是节点注入功率和节点电压之间的函数表达式，功率和节点电压之间的函数表达式，x x是节点电压。是节点电压。当然也可以写成功率偏差的形式当然也可以写成功率偏差的形式定义定义 为潮流方程的雅克比矩阵，为潮流方程的雅克比矩阵， 为为 在在处的值，则有处的值，则有 0 x 0 xxxfxf00T0TxfJ0JJ 0 x 010 xfxJ2022-3-2027 用用 修正修正 而得到而得到 的新值，如果迭代序列收敛，的新值，如果迭代序列收敛，它应当更接近解点值。写成一般的表达式，它应当更接近解点值。写成一般的表达式， 有有 对于潮流收敛的

32、情况，对于潮流收敛的情况， 比比 更接近于解点。更接近于解点。收敛条件为收敛条件为 0 xxx kk1kk1kkxxxfJxxx（7-23）1kx kx .fmaxkix2022-3-2028二、直角坐标的牛顿一拉夫逊法二、直角坐标的牛顿一拉夫逊法 对于对于( 7-8)( 7-8)式所示的直角坐标乐的潮流方程，式所示的直角坐标乐的潮流方程，(7-32)(7-32)式有下面的形式：式有下面的形式：状态变量是状态变量是 ，是，是2n2n维的。雅可比矩阵是维的。雅可比矩阵是2n2n2n2n阶矩阵，其结构是阶矩阵，其结构是 r feVVr-n feQQn fePP feVfeQfePxf22spsps

33、p2，（7-24）TTT fex2022-3-2029 n n r fQ eQ r-n fQ eQn fP ePxfJTTTTTTT（7-25） 式式( 7- 23)( 7- 23)所示的修正方程中有所示的修正方程中有2n2n个未知量，有个未知量，有2n2n个方程，只要式个方程，只要式( 7- 23)( 7- 23)中的中的J J非奇异非奇异 则可解。则可解。 在直角坐标情况下，平衡节点是给定节点，即在直角坐标情况下，平衡节点是给定节点，即平衡节点平衡节点s s的电压的实部和虚部可用下式确定；的电压的实部和虚部可用下式确定； 式中，式中， 和和 是平衡节点给定的电压幅值和相角。是平衡节点给定的

34、电压幅值和相角。 xssssssjVVjesincos（7-26）sVs2022-3-2030三、极坐标的牛顿三、极坐标的牛顿- -拉夫逊法拉夫逊法 对于对于(7-9)(7-9)式所示的极坐标系的潮流方程，有下式所示的极坐标系的潮流方程，有下面的形式：面的形式： 共共2n-r2n-r个方程，状态变量是个方程，状态变量是 共共2n-r2n-r个待求量。个待求量。r r个个PVPV节点的电压幅值是给定量，节点的电压幅值是给定量，不需求解。潮流雅可比矩阵的维数（不需求解。潮流雅可比矩阵的维数（2n-r2n-r）（2n-r2n-r）阶矩阵，其结构是）阶矩阵，其结构是 r -n VQQn VPPVQVP

35、xfspsp，（7-27）r -n21n21VVV VxTTT 2022-3-2031 r -n n r-n VQ Qn VP PxfJTTTTT 上式右侧的电压幅值的偏导数项中的电压幅值的上式右侧的电压幅值的偏导数项中的电压幅值的阶次减少了阶次减少了1 1，为使雅克比矩阵的各部分子矩阵具，为使雅克比矩阵的各部分子矩阵具有一致形式，在实际计算中，常将该项乘以电压幅有一致形式，在实际计算中，常将该项乘以电压幅值，并选取值，并选取 作为待求作为待求的修正量，则雅克比矩阵可写成的修正量，则雅克比矩阵可写成r -nr -n2211VVVV VVTVV2022-3-2032 r -n n r-n VVQ

36、 Qn VVP PxfJTTTTT（7-28） 将将(7-37)(7-37)式和式和(7-38)(7-38)式代入式代入(7-33)(7-33)式的修正方程式的修正方程则可求得则可求得x x的修正量的修正量 ，用它修正，用它修正x x直到直到 为止为止。x .fmaxkix2022-3-2033四、雅可比矩阵的讨论四、雅可比矩阵的讨论 雅克比矩阵是牛顿雅克比矩阵是牛顿- -拉夫逊的核心内容，需要认拉夫逊的核心内容，需要认真分析其特点。首先考察直角坐标系的雅可比矩阵，真分析其特点。首先考察直角坐标系的雅可比矩阵，将将(7-35)(7-35)式写成式写成 矩阵中各子块的维数已在上式中示意地指出。其

37、中矩阵中各子块的维数已在上式中示意地指出。其中各子块的元素由下式计算：各子块的元素由下式计算：r-nn rr-nnS L N RMHJ2022-3-2034（7-29） 下面再考察极坐标雅可比矩阵下面再考察极坐标雅可比矩阵(7-38)(7-38)式，可用下式，可用下式表示式表示： r-nn r-nnL N MHJ2022-3-2035下面各子块的计算公式是下面各子块的计算公式是： (7-30)(7-30)于是雅可比矩阵可写成：于是雅可比矩阵可写成：QPQPV VL N MHV VJ2022-3-2036 等号右边中间项带撇的量具有导纳的量纲。式中等号右边中间项带撇的量具有导纳的量纲。式中 和和

38、 分别是分别是n n维和维和n-rn-r维节点电压幅值对角线矩阵。维节点电压幅值对角线矩阵。代人牛顿一拉夫逊法修正方程代人牛顿一拉夫逊法修正方程(7-23)(7-23)式后有：式后有：PVQVQPVVV VL N MHV VQPQP 整理后有整理后有 式中，式中， ， ， 和和 分别表示以分别表示以 为元素的矢量，本书其余部分亦同。式为元素的矢量，本书其余部分亦同。式（7-317-31）中系数矩阵与雅克比矩阵）中系数矩阵与雅克比矩阵J J不同，记为不同，记为 , ,即即VQVPVVL N MH(7-31)(7-31)VVVVPVQiiVViiViiVPiiVQL N MHJJ2022-3-20

39、37 除了对角线元素之外，除了对角线元素之外，JJ中没有电压幅值项，中没有电压幅值项，它的计算公式在它的计算公式在(7-30)(7-30)中。中。(7-31)(7-31)式中右边具有电式中右边具有电流的量纲，左边的相角修正项前乘一个电压幅值项，流的量纲，左边的相角修正项前乘一个电压幅值项，使用时应注意。观察使用时应注意。观察(7-30)(7-30)式的雅可比矩阵各元素式的雅可比矩阵各元素中有余弦项、正弦项和含中有余弦项、正弦项和含P P或或Q Q的项，我们把的项，我们把( 7-30)( 7-30)式描述的雅可比矩阵拆成三个矩阵的式描述的雅可比矩阵拆成三个矩阵的(7-31)(7-31)式的雅式的

40、雅可比矩阵可写成可比矩阵可写成 上式中上式中 是矩阵的一种简化的写法，它和节是矩阵的一种简化的写法，它和节点导纳矩阵的虚部点导纳矩阵的虚部B B的结构相同，区别在于矩阵的结构相同，区别在于矩阵B B中中的元素的元素 ，在这里是，在这里是 其它矩阵类同。另外，其它矩阵类同。另外，Q P PQBsin Gsin GsinBsinBcos Gcos GcosBcosJ（7-32）Bcos;cosBijijijB2iiVQdiagQ2iiVPdiagP2022-3-2038 在正常情况下，在正常情况下， 很小，可令很小，可令 ；另外，另外，(7-32)(7-32)式中右边最后一项相对于前两项数值式中右

41、边最后一项相对于前两项数值较小，可忽略。于是较小，可忽略。于是(7-32)(7-32)式的雅可比矩阵可简化式的雅可比矩阵可简化成成 将式（将式（7-337-33）代入）代入(7-31)(7-31)式，就可以得到定雅可比式，就可以得到定雅可比法潮流计算的快速计算的公式，其修正方程是法潮流计算的快速计算的公式，其修正方程是 由于雅可比矩阵由于雅可比矩阵 是常数，所以只要在迭代开是常数，所以只要在迭代开始形成其因子表，在迭代过程中就可以连续使用。始形成其因子表，在迭代过程中就可以连续使用。定雅定雅可比法由于是一种固定斜率的牛顿一拉是定雅定雅可比法由于是一种固定斜率的牛顿一拉是逊法，所以只具有一阶收敛速度，但由于每次迭代逊法，所以只具有一阶收敛速度，但由于每次迭代 ij0sin, 1cosijijB G GBJ0J（7-33）VQVPVVB GGB（7-34）0J2022-3-2039 计算的计算时间缩短了，所以总的计算速度比标准计算的计算时间缩短了，所以总的计算速度比标准牛顿一拉夫逊法大大加快。牛顿一拉夫逊法大大加快。 注意，在实际潮流汁箅中，由于有注意，在实际潮流汁箅中，由于有r r个节点是个节点是PVPV节点，这时节点，这时(7-34)(7-34)式中系数矩阵的四个子矩阵维式中系数矩阵的四个子矩阵维数可能不同，为区分这种情况，数可能不同，为区分这种情况