第2章 变形几何理论

1、第第2 2章章 变形几何理论变形几何理论2.1 2.1 点的应变状态点的应变状态2.2 2.2 应变与位移关系方程应变与位移关系方程2.3 2.3 应变增量应变增量2.4 2.4 应变速度张量应变速度张量2.5 2.5 主应变图与变形程度表示主应变图与变形程度表示2.1 2.1 点的应变状态点的应变状态n基本概念基本概念n应变张量应变张量n点的应变状态点的应变状态n主应变、应变不变量、体积应变主应变、应变不变量、体积应变n球应变张量与偏差应变张量球应变张量与偏差应变张量n八面体应变八面体应变n应变分量与位移分量微分关系应变分量与位移分量微分关系剪变形或角变形单元体发生畸变正变形或线变形线尺寸的

2、伸长缩短单元体的变形剪变形正变形纯变形1. 1. 基本概念基本概念n物体变形时，各点位置的改变量称作物体变形时，各点位置的改变量称作位移位移。 2.1 2.1 点的应变状态点的应变状态n位移类别：位移类别：刚性位移刚性位移，如，如平移平移、转动转动变形位移变形位移：变形体内不同点的位移分量不同：变形体内不同点的位移分量不同物体变形时，单元体将发生形）正变形和剪变形（纯变）平移、转动（刚体位移n正应变正应变( (线应变线应变) ): : 线元尺寸长度上的变化线元尺寸长度上的变化rrrrrr1rr1=r+rrXrXxxxrrX X轴分量的线应变轴分量的线应变XYryryy y轴分量的线应变轴分量的

3、线应变YYYrr相对应变相对应变线元伸长时为正缩短为负线元伸长时为正缩短为负2.2.小应变小应变n切应变切应变: : 线元方位上的改变线元方位上的改变yrtanrrxy/2- XYXYrrry角度减小角度减小取正号，增大时取负号。取正号，增大时取负号。工程剪应变工程剪应变 xy/2- XYYXXY= YX= XY/2xyyxxy21剪应变剪应变(理论剪应变理论剪应变) 角标意义？角标意义？在实际变形中在实际变形中，线元PA及PC的偏转角度不一定相同，现设其实际的偏转角度为现设其实际的偏转角度为 和和yxxyxyxyyxxyXYYX（工程剪应变）剪应变正应变应变tgrrdryry首先，来看一个极

4、小的单元体经小变形后变成了一个偏斜的平行六面体。3. 3. 质点的应变状态质点的应变状态可以设想为单元体先平移，再进行正应变和剪应变可以设想为单元体先平移，再进行正应变和剪应变rXrXryryrzrzxxxrrzzzrryyyrrxyyzxzxyx、ije等九个分量可构成一个张量，叫做相对位移张量相对位移张量zzyzxyzyyxxzxyxijexzzxzyyzyxxy,jiijee 在一般情况下，在一般情况下，即（非对称张量）。将它分解：将它分解： 000 xyxzyzzzyzxyzyyxxzxyxije后一项是反对称张量，表示刚体转动，叫做刚体转动张量表示刚体转动，叫做刚体转动张量；前前一项

5、是对称张量，表示纯变形一项是对称张量，表示纯变形，应变张量一般用，应变张量一般用ij表示表示，即：zzyzxyzyyxxzxyxij便于记忆，下标可以理解为：第一个下标表示通过第一个下标表示通过P P点单元点单元体的棱边（线元）的方向，第二个下标表示该线元的变形方体的棱边（线元）的方向，第二个下标表示该线元的变形方向。向。应变张量应变张量 正应变或线应变正应变或线应变 伸长为正，缩短为负；伸长为正，缩短为负； 剪应变或切应变剪应变或切应变 夹角减小为正，增大为负。夹角减小为正，增大为负。思考n物体变形单元体发生哪些位移？n工程剪应变、理论剪应变区别？n应变张量下标意义？与应力张量下标意义有何不

6、同？3-3 3-3 位移分量和小变形几何方程位移分量和小变形几何方程物体内任意一点的位移矢量为u u，在三个坐标轴方向的位移分量u u、v v、w w。)()()()(zyxuuzyxwwzyxvvzyxuuii、或、jiijxueije上式即可定义一物体内的位移场。上式即可定义一物体内的位移场。位移分量的偏导数就是相对位移张量位移分量的偏导数就是相对位移张量的分量，也即的分量，也即 zwzvzuywyvyuxwxvxuzzyzxyzyyxxzxyx)(2121jiijijjiijrr可知：ji ( )剪应变(理论剪应变) 得到小应变分量和位移分量的关系：得到小应变分量和位移分量的关系：)(2

7、1;)(21;)(21;xvyuzwzuxwyvywzvxuyxxyzxzzxyzyyzx简记为：简记为：)(21ijjiijxuxu小应变分量也是坐标的连续函数，它可以确定物体中的应变张量场。上式叫做小应变几何方程上式叫做小应变几何方程，坐标的连续函数，确定应变张量场。如物体中的位移场为已知，则可由几何方程求得小应变分量。ij3-4 3-4 变形连续方程或协调方程变形连续方程或协调方程。什么叫变形连续方程或协调方程。六个应变分量有六个应变分量有（取决于三个位移分量对（取决于三个位移分量对x x、y y、z z的偏导）的偏导）有有一定的关系一定的关系，才能保证物体中的所有单元体在变形之后才能保

8、证物体中的所有单元体在变形之后仍然可以连续地组合起来。仍然可以连续地组合起来。)(21)(21)(21222222222222222zxxzyzzyxyyxxzzxzyyzyxxy 上式表示了在每个坐标平面内应变分量的关系。上式表示了在每个坐标平面内应变分量的关系。同理得：yxzyxzxzyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx222)()()(表示了表示了不同平面中应变分量之间的关系。不同平面中应变分量之间的关系。 1.1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续连续协调协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；即变形体在变形过

9、程中不开裂，不堆积； 2.2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可以定，则正应变分量也就可以确定；确定； 3.3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。量，则必须校验其是否满足连续性条件。 思考n变形协调方程的物理意义是

10、什么？变形协调方程的物理意义是什么？n如何判断应变场是否存在？如何判断应变场是否存在？例例 设设其中其中a a，b b为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？解：解：)(22yxaxaxyybyzxy2ayx222022xybyxxy22babayxxyxyyx22)02(21)(2122222当时，当时，a=-2b，上式成立，应变场成立。，上式成立，应变场成立。3-5 3-5 塑性变形时的体积不变条件塑性变形时的体积不变条件设单元体初始边长为设单元体初始边长为dxdx、dydy、dzdz，则变形前的体，则变形前的体积为积为变形后的体积为变形后的体积为

11、dxdydzV 0dxdydzdzdydxvzyxzyx)1 ()1 ()1 ()1 (1)(0001忽略弹性变形zyxvvv0zyx当塑性变形时，变形物体变形前后的当塑性变形时，变形物体变形前后的体积保持不变，即体积保持不变，即3-6 3-6 主应变、应变张量的不变量，主剪应变和最主应变、应变张量的不变量，主剪应变和最大剪应变大剪应变通过一点，存在三个相互垂直的应变主方向（主轴），在主方通过一点，存在三个相互垂直的应变主方向（主轴），在主方向上的线元没有角度偏转，只有正应变。向上的线元没有角度偏转，只有正应变。如果取正应变主轴为如果取正应变主轴为坐标轴，则应变张量就简化为：坐标轴，则应变张量

12、就简化为：321000000ij主应变图主应变图032213III03211zyxI应变张量的特征方程：应变张量的特征方程：应变张量的第一不变量：应变张量的第二不变量：)()(1332212222zxyzxyxzzyyxI）（应变张量的第三不变量：3212223)(2xyzzxyyzxzxyzxyzyxI)(21)(21)(21133132232112在与应变主方向成在与应变主方向成4545角的方向上，存在三对各面相互垂直角的方向上，存在三对各面相互垂直的线元的线元。它们的剪应变有极值。叫做。它们的剪应变有极值。叫做主剪应变主剪应变。321)(2131max如 塑性力学图变形体内一点的变形体内

13、一点的主应力图与主应变图结合构成变形力学图主应力图与主应变图结合构成变形力学图。它形。它形象地反映了该点主应力、主应变有无和方向。主应力图有象地反映了该点主应力、主应变有无和方向。主应力图有9种可种可能，主应变有能，主应变有3种可能，二者组合，则有种可能，二者组合，则有27种可能的变形力学图种可能的变形力学图。但单拉、单压应力状态只可能分别对应一种变形图，所以实际但单拉、单压应力状态只可能分别对应一种变形图，所以实际变形力学图应该只有变形力学图应该只有23种组合方式。种组合方式。讨论：球应变张量与偏差应变张量球应变张量与偏差应变张量n平均线应变平均线应变 000000ijmijmzzyzxyz

14、myyxxzxymxmmmzzyzxyzyyxxzxyxij3zyxm球应变张量球应变张量 应变偏张量应变偏张量应变偏张量表示形状变化，球应变张量表示体积变化，塑性应变偏张量表示形状变化，球应变张量表示体积变化，塑性变形时，体积不变变形时，体积不变，即即0m应变偏张量即是应变张量应变偏张量即是应变张量3-7 3-7 应变偏张量和球张量，八面体应变和等效应变应变偏张量和球张量，八面体应变和等效应变 例例 . .试求平面应变情况下的应变分量的不变量及主应变表达试求平面应变情况下的应变分量的不变量及主应变表达式。式。00000yxyxxy平平面面应应变变解解: : yxI1yxyxI2203I032

15、213III0)()(223yxyxyx264)(221yxxyyxyx264)(223yxxyyxyx02八面体应变八面体应变n在正八面体的平面的法线方向线元的应变在正八面体的平面的法线方向线元的应变称为称为八面体应变八面体应变n八面体线应变八面体线应变 n八面体切应变八面体切应变mzyx)(31)(3132182132322212222228)()()(31)(6)()()(31zxyzxyxzzyyx等效应变等效应变2132322212222228)()()(32)(6)()()(322zxyzxyxzzyyx单向拉伸时，主应变为单向拉伸时，主应变为1 1及及1322112121)23(

16、)23(32例题例题设物体中任意一点的位移分量设物体中任意一点的位移分量u u10101010-3-3 +0.1 +0.11010-3-3xy+0.05xy+0.051010-3-3z; z; v=5v=51010-3-3-0.05-0.051010-3-3 x +0.1 x +0.11010-3-3yz, yz, w=10w=101010-3-3-0.1-0.11010-3-3xyzxyz，求点求点A A（1 1，1 1，1 1）与）与B B（0.50.5，1 1，0 0）的应变分量、应变球）的应变分量、应变球张量，主应变不变量，八面体应变，等效应变。张量，主应变不变量，八面体应变，等效应变

17、。解：解： yxx3101 . 0zyy3101 . 0 xyzz3101 . 0 3310025. 01005. 0)(21xxyyxxyxzyyzyz331005. 01005. 0)(21yzyzxyz331005. 010025. 0)(21将将A(1,1,1)A(1,1,1)代入上式：代入上式：3333333101 . 0010025. 00101 . 010025. 010025. 010025. 0101 . 0A对于点对于点A A：41031)(31zyxmA444103100010310001031mAij31101 . 0zyxI8222210125. 1)()(zxyzx

18、yxzzyyxI123101I481031)(31zyx522222281086. 9)(6)()()(31zxyzxyxzzyyx481039. 123-83-8应变增量和应变速率张量应变增量和应变速率张量一、全量应变和应变增量的基本概念一、全量应变和应变增量的基本概念前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程终某一变形过程终了了时的变形大小，称作全量应变全量应变。其度量基准是用变形其度量基准是用变形以前的原始尺寸以前的原始尺寸。而增量应变增量应变则是指变形过程中某一极某一极短阶段短阶段的无限小应变，其度量基准不是原始尺寸，而是其度量基准不是原始尺寸，而是用变形过程中某一瞬间的尺寸。用变形过

19、程中某一瞬间的尺寸。弹性变形是线性可逆的弹性变形是线性可逆的，应变状态与应力状态同步，与加载过程无关。而塑性变形是非线性不可逆的而塑性变形是非线性不可逆的。加载时产生新的塑性变形，卸载时已产生的塑性变形不随应力而变。因此塑性因此塑性变形是历次变形的叠加结果，并不一变形是历次变形的叠加结果，并不一定是单值地对应于应力状态定是单值地对应于应力状态，或者说与应力状态不同步，因此全量应变在因此全量应变在塑性变形中的应用受到很大限制塑性变形中的应用受到很大限制。 经物体在变形过程中某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此经物体在变形过程中某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变就是基础上发生的无限

20、小应变就是应变增量应变增量。)(tzyxuuii、)(tzyxutuuii、在描述整个变形过程时，引入时间参数 )(tzyxudtduuii、 速度场 二、应变增二、应变增量量 dtuduii （位移增量的分量）应变增量与位移增量之间的关系，也即几何方程。)()(21jiijijduxduxdzzyzxyzyyxxzxyxijddddddddddjiijddijdij应当指出：塑性变形过程中某瞬时的应变增量应当指出：塑性变形过程中某瞬时的应变增量 是当时具体变形条件下是当时具体变形条件下的无限小应变，描写的是瞬时情况和过程；而当时的全量应变的无限小应变，描写的是瞬时情况和过程；而当时的全量应变

21、 则是则是 该瞬时以前的变形积累的结果，只能描写变形的起始近似结果。该瞬时以前的变形积累的结果，只能描写变形的起始近似结果。 321ddd、应变增量和小应变张量一样，具有三个主方向，三个主应变增量三个不变量，三对主剪应变增量、偏张量、球张量、等效应变增量等。三、应变速率张量应变速率张量)()(21dtuxdtuxdjiijij)(21ijjiijijxuxudtd 一点的应变速率也是二阶对称张量zzyzxyzyyxxzxyxij应变速率表示单位时间的应变，即变形速度。区别：区别：思考n塑性变形的应力应变关系为何要用增量理论？n应变增量与全量应变的区别？一、平面应变状态一、平面应变状态n变形物体

22、在某一方向不产生变形，称为平面变形，其应力变形物体在某一方向不产生变形，称为平面变形，其应力状态称为平面应变状态下的应力状态。状态称为平面应变状态下的应力状态。n平面应变的应力状态特点平面应变的应力状态特点 1 1）不产生变形的方向为主方向，与该方向垂直的平面上没有）不产生变形的方向为主方向，与该方向垂直的平面上没有切应力；切应力；2 2）在该方向有阻止变形的正应力；）在该方向有阻止变形的正应力；3 3）有应力分量沿该轴均匀分布，即与该轴无关。）有应力分量沿该轴均匀分布，即与该轴无关。 zyyxxyx0000ij3-93-9平面变形问题和轴对称问题平面变形问题和轴对称问题1）变形体内所有质点在

23、与某一方向垂直的平面上变形体内所有质点在与某一方向垂直的平面上没有应变作用，所有质点都是两向应力状态，没有应变作用，所有质点都是两向应力状态，设该方向为设该方向为z z轴。轴。 则则zxzyz0， 只有只有 x、 y、xy三个应力分量。三个应力分量。 x=- y 2）各应力分量与各应力分量与z z轴无关，整个物体的应变分布可轴无关，整个物体的应变分布可以在以在xyxy坐标平面上表示出来。坐标平面上表示出来。 2/)(,0213mzzyzX以应力主轴为坐标轴时以应力主轴为坐标轴时，则0000200022121ijmmm000000 + ij3J若已知应力状态 ，可用判别塑性变形的类型：如3J0对

24、应于广义拉伸变形；3J=0对应于广义剪切变形； 3J0对应于广义压缩变形。轴对称状态的几何方程通过轴线子午面平面通过轴线子午面平面0z应力应变分析的相似性与差异性应力应变分析的相似性与差异性相似性：张量表示、张量分析、张量关系相相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似似 mijijIIIzyxji,), (88max321321mijijJJJzyxji,), (88max321321概念：概念： 应力应力 研究面元研究面元ds 上力的集度上力的集度 应变应变 研究线元研究线元dl 的变化情况的变化情况 v内部关系：应力内部关系：应力应力平衡微分方程应力平衡微分方程 应变应变应变连续（协调）方程应变连续（协调）方程 弹性变形：相容方程弹性变形：相容方程 塑性变形：体积不变条件塑性变形：体积不变条件 差异性：差异性：等效关系等效关系：v等效应力等效应力弹性变形和塑性变形表达式相同弹性变形和塑性变形表达式相同v等效应变等效应变弹性变形和塑性变形表达式不相同弹性变形和塑性变形表达式不相同 对于弹性变形：对于弹性变形： （ 泊松比泊松比( (材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值