大学物理课件4电势叠加原理电势梯度

1、P.0/389.3.3 真空中静电场的高斯定理真空中静电场的高斯定理真空中的静电场内真空中的静电场内, 通过任意封通过任意封闭曲面闭曲面(高斯面高斯面)的电通量等于该的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和封闭曲面所包围的电量代数和的的 倍倍:01讨论讨论:1. 式中各项的含义式中各项的含义S: 封闭曲面封闭曲面;E: S上任意一点处的场强上任意一点处的场强, S内内外所有电荷均有贡献外所有电荷均有贡献;iq: S内的电荷代数和内的电荷代数和; :e只有只有S内的电荷才有贡献内的电荷才有贡献.2. 揭示了静电场中揭示了静电场中“场场”和和“源源”的关系的关系静电场的重要性质之一静电场的重要性质

2、之一: 静电场静电场是有源场是有源场3. 利用高斯定理可以方便地求解利用高斯定理可以方便地求解具有某些对称分布的静电场具有某些对称分布的静电场 成立条件成立条件: 静电场静电场 求解条件求解条件: 分布具有对称性分布具有对称性SeSEd分立iq01连续qd10选择恰当的高斯面选择恰当的高斯面, 使得使得sSEd中的中的以标量形式提到积分号外以标量形式提到积分号外,从而简便地求出从而简便地求出 分布分布.EEP.1/38例例9-6. 求电量为求电量为Q , 半径为半径为R的均的均匀带电球面的场强分布匀带电球面的场强分布.源球对称源球对称场球对称场球对称RrSeSEd)(0Rr )(0RrQSSE

3、 d24 rE)(4)(020RrrQRrErOER选高斯面选高斯面EEEESdP.2/38求均匀带电球体求均匀带电球体(q, R)的的电场分布电场分布.oqP解解: 对称性分析对称性分析作以作以O为中心为中心, r为半径的球形为半径的球形面面S, S 面上各点面上各点 E 彼此等价彼此等价, 方方向沿径向向沿径向. 以以S为高斯面为高斯面:SrESSSESEdcosd24drESESniiSqrESE10214d内204rqE内 :qqRr内333434 :rRqqRr内304RqrE内令令334RqrE03内204rqE外P.3/38例例9-8. 求无限长均匀带电直线求无限长均匀带电直线(

4、)的电场的电场.rP对称性分析对称性分析:EEddqOqddddEEP点处合场强垂直于带电直点处合场强垂直于带电直线线, 与与P 点情况相同的点的集点情况相同的点的集合是一个以带电直线为轴的合是一个以带电直线为轴的圆柱面圆柱面.高斯面高斯面:取长取长 L 的圆柱面的圆柱面, 加上加上底、下底构成高斯面底、下底构成高斯面S .SL=0=0由高斯定理由高斯定理0012LqrLE内rE02 rOE侧下上SESESESESddddrLESE2dcos0侧P.4/38例例9-9. 求无限大均匀带电平面的电场求无限大均匀带电平面的电场(电荷面密度电荷面密度).对称性分析对称性分析:PPOEdEdEdEd

5、方向垂直于带电平面方向垂直于带电平面, 离带电离带电平面距离相等的场点彼此等价平面距离相等的场点彼此等价. 选选择圆柱体表面为高斯面择圆柱体表面为高斯面, 如图如图:E SSESd左SEd右SEd侧SEd=0SE 2根据高斯定理根据高斯定理SE 2内q010S02E得得均匀电场其方向由均匀电场其方向由的符号决的符号决定定P.5/38000000讨讨 论论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题P.6/389.4.1 静电力的功静电力的功qaarb0qLbrldErr lFAdd3004drlrqq2004drrqq)11(4d4d00200baLrrrrqqrrqqAAba静电

6、力的功只与试验电荷初末位置静电力的功只与试验电荷初末位置有关有关, 与所通过的路径无关与所通过的路径无关, 说明说明静静电力是保守力电力是保守力.EqF0此结论可通过叠加原理推广到任意此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场点电荷系的电场.9.4.2 环路定理环路定理0dd0lEqlFALLLlE0drEqd0P.7/38静电场环路定理静电场环路定理:静电场强沿任意闭合路径的线静电场强沿任意闭合路径的线积分为零积分为零.结论结论: 静电场是保守场静电场是保守场.9.5.1 电势能电势能试验电荷在静电场中试验电荷在静电场中 A , B 两点两点分别对应的电势能分别对应的电势能:AWBW,保守

7、力做功等于势能的减少保守力做功等于势能的减少:BABAABWWlEqAd0单位单位: 焦耳焦耳(J)LlE0d WP : 静电场与受力电荷静电场与受力电荷 q0 共共同拥有同拥有. WP /q0 : 取决于电场分布取决于电场分布, 与场与场点位置有关点位置有关, 与试验电荷与试验电荷 q0 无无关关, 是静电场自身的特性是静电场自身的特性, 该比该比值叫做电场在值叫做电场在 P 点处的电势点处的电势.BABAqWqWlE00d q0 在电场某点处对应的电势在电场某点处对应的电势能等于试验电荷从该点缓慢移能等于试验电荷从该点缓慢移动到势能零点过程中动到势能零点过程中, 静电力静电力做过的功做过的

8、功, 只具有相对意义只具有相对意义(相相对势能零点对势能零点).P.8/38 WP : 静电场与受力电荷静电场与受力电荷 q0 共共同拥有同拥有. WP /q0 : 取决于电场分布取决于电场分布, 与场与场点位置有关点位置有关, 与试验电荷与试验电荷 q0 无无关关, 是静电场自身的特性是静电场自身的特性, 该比该比值叫做电场在值叫做电场在 P 点处的电势点处的电势.BABAqWqWlE00dBBAAUlEUd q0 在电场某点处对应的电势在电场某点处对应的电势能等于试验电荷从该点缓慢移能等于试验电荷从该点缓慢移动到势能零点过程中动到势能零点过程中, 静电力静电力做过的功做过的功, 只具有相对

9、意义只具有相对意义(相相对势能零点对势能零点).BABAUUlEd若若 UB = 0, 则有则有0d0UAAlEU0dUAlEP.9/381. 电势电势零势点PPlEUd单位单位: 伏特伏特(V)静电场中某点电势等于单位正电静电场中某点电势等于单位正电荷在该点对应的电势能荷在该点对应的电势能, 或将单或将单位正电荷由该点移至电势零点位正电荷由该点移至电势零点(零势点零势点)过程中静电力做的功过程中静电力做的功.2. 电势差电势差BABAABlEUUUd点电荷点电荷 q 在静电场中从在静电场中从 A 沿任意沿任意路径到路径到 B 过程中静电力做的功过程中静电力做的功:)(dBABAABUUqlE

10、qA9.5.2 电势和电势差电势和电势差讨论：讨论：1) U 为空间标量函数为空间标量函数.2) U 只具有相对意义只具有相对意义, 与零势点与零势点选取有关选取有关, 但但 UAB 与零势点选取与零势点选取无关无关.3) 电势遵从叠加原理电势遵从叠加原理: 点电荷系点电荷系电场中任一点的电势等于各点电场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生电电荷单独存在时在该点产生电势的代数和势的代数和.3. 用电势差表示静电力的功用电势差表示静电力的功P.10/38nUUU21 20210144rqrq9.5.3 点电荷的电势点电荷的电势 电势的叠加原理电势的叠加原理 1. 点电荷的电势点电荷的电

11、势qrPOE304rrqE令令0U沿径向积分沿径向积分PdlEUrrrq204drq04UrOr12. 叠加法叠加法1 1rQ1q2 2r2q3qP1) 点电荷系点电荷系3rPPdrEUPP2P1dddrErErEniiirqU04P.11/38将带电体划分为若干电荷元将带电体划分为若干电荷元dq选零势点选零势点, 写出任意写出任意dq在场点在场点的电势的电势dU由叠加原理得由叠加原理得iUU或或UUd2) 连续带电体连续带电体QrPqd常选无穷远或地球电常选无穷远或地球电势为零势为零.电势差与电势电势差与电势的零点选取无关的零点选取无关.3) 由电势定义计算由电势定义计算零势点零势点pppd

12、cosdlElEU9.5.4 电势的计算电势的计算(两种基本方法两种基本方法)1. 场强积分法场强积分法(定义定义)1) 首先确定首先确定 分布分布E2) 选零势点和便于计算的积分路选零势点和便于计算的积分路径径2. 利用电势叠加原理利用电势叠加原理QrQ04diiirQ04pU点电荷系点电荷系连续带电体连续带电体P.12/38半径为半径为 R 的均匀带电的均匀带电球体球体, 带电量为带电量为 q. 求电势分布求电势分布.RqorPEro21rER解解:S选择同心球面为高斯面选择同心球面为高斯面 内qrESES0214d34341433021rRqrERrRqrE3014RrrqE2024:R

13、r rlEUd1RrrE d1RrE d2RrRrrqrRqrd4d4203030228)3(RrRq:Rr rqrrqrEUrr020224d4dr1rRoRq04U由电荷分布可知由电荷分布可知, 电场电场沿径向沿径向.P.13/38求两无限大均匀带电平求两无限大均匀带电平行平面行平面( )电场的电势分布电场的电势分布.xaOa 解解: 电场分布电场分布) , ( 0 )( 0axaxaxaE电荷分布到无限远电荷分布到无限远, 只能在有限只能在有限远处选零势点远处选零势点, 令令O点电势为零点电势为零.积分路径沿积分路径沿 x 轴轴:ax0ddaaxxExEUa)(000a:axa000 )

14、(dxxxEUx:ax 0ddaaxxExEU00)(0aa U x 曲线如图曲线如图.UxaoaP.14/389.6.1 等势面等势面电势的几何描述电势的几何描述电场中电势相等的点组成的面叫电场中电势相等的点组成的面叫做做等势面等势面.cdbcabUUU电场线与等势面的关系电场线与等势面的关系1) 电场线处处垂直于等势面电场线处处垂直于等势面, 在在等势面上任取两点等势面上任取两点P1, P2 , 则则2121dPPPUUlEP= 02) 电场线指向电势降落的方向电场线指向电势降落的方向取等势面时取等势面时, 令令相邻等势面的相邻等势面的电势差相等电势差相等.P.15/389.6.2 电场强

15、度与电势的关系电场强度与电势的关系如图如图, 电势分别为电势分别为U 和和U+dU 的的两个邻近等势面两个邻近等势面:UU+dUne假设正试验电荷假设正试验电荷 q0 从从 a 点移到点移到 b 点点, 则电场力做功则电场力做功:Ebald UUUqAabdd0lEqd0lEUdcosdlElUEddcosnddelUEnnlUEddnld若若dU0, 电场强度与法向相反电场强度与法向相反, 从高电势指向低电势从高电势指向低电势;若若dU0, 电场强度与法向相同电场强度与法向相同, 从高电势指向低电势从高电势指向低电势.结论结论: 电场强度的大小等于电电场强度的大小等于电势在该点处空间变化率的最大势在该点处空间变化率的最大值值; 指向电势降落指向电势降落, 并沿电势减并沿电势减小最快的方向小最快的方向.P.16/38UUgradornddelUn: 电势梯度电势梯度(矢量矢量), 记作记作UkzUjyUixUUUEgrad均匀带电圆环均匀带电圆环, 带电量为带电量为 q, 半径为半径为 a. 求轴线上任意一点求轴线上任意一点的的P电势和电场强度电势和电场强度.Pxxardq解解: 在圆环上取点电荷在圆环上取点电荷dq, 令令0Ulaqlqd2ddarlqrqUo2o8d4ddLlarqUUd8do2220o44axqrqxUEExdd2322