第二节空间点、直线、平面之间的位置关系

1、栏目索引第二节空间点、直线、平面之间的位置关系北京版北京版 文数文数栏目索引1.四个公理四个公理公理1:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2:过的三点,有且只有一个平面.公理2的三个推论:推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2:两条直线确定一个平面.推论3:两条直线确定一个平面.教材研读教材研读两点两点 不在同一条直线上不在同一条直线上相交相交 平行平行栏目索引公理3:如果两个不重合的平面有公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线.2.空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系(1)位置关系的

2、分类:一个一个平行平行 ccc栏目索引(i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(ii)范围:.3.有关角的重要定理有关角的重要定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角.4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有、三种情况.(2)平面与平面的位置关系有、两种情况.0,2(2)异面直线所成的角锐角锐角(或直角或直角) 相等或互补相等或互补 相交相交平行平行直线在平面内直线在平面内 平行平行相交相交栏目索引1.下列命题:经过三点确定一个平面;梯形

3、可以确定一个平面;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C对于,未强调三点不共线,故错误;易知正确;对于,未强调三点不共线,若三点共线,则两平面也可能相交,故错误.故选C.c栏目索引A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线答案C假设cb,由公理4可知,ab,与a、b是异面直线矛盾,故选C.3.若直线l不平行于平面,且l ,则()A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.内存在唯一的直线与l平行D.内的直线与l都相交答案B假设内存在直线ml,l ,则l,

4、与题设矛盾,故选B.4.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成部分.2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b ()cc栏目索引答案7解析通过举实例说明,如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交,且三条交线互相平行,这三个平面将空间分成7部分.5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为.答案60解析连接B1D1,D1C,因B1D1EF,故D1B1C为所求角,又B1D1=B1C=D1C,D1B1C=60.c栏目索引 平面的基本性质及应用平面的基本性质及应用典例典例1(1)以下四个命题中

5、,正确命题的个数是()不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则A、B、C、D、E共面;若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.A.0B.1C.2D.3考点突破考点突破栏目索引(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:E、C、D1、F四点共面;CE、D1F、DA三线共点.答案(1)Bc栏目索引解析(1)正确,可以用反证法证明;不正确,从条件可以看出A、B、C是两平面的公共点,若A、B、C三点共线,则结论不正确;不正确,直线b、c也可能异面;不正确,空间四边形的四

6、条边不在同一个平面内.(2)如图所示,连接CD1、EF、A1B,E、F分别是AB和AA1的中点,FEA1B且EF=A1B.A1D1BC,四边形A1BCD1是平行四边形,A1BD1C,FED1C,12栏目索引EF与CD1可确定一个平面,即E、C、D1、F四点共面.由知EFCD1,且EF=CD1,四边形CD1FE是梯形,直线CE与D1F必相交,设交点为P,则PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1,P平面ABCD且P平面A1ADD1.12又平面ABCD平面A1ADD1=AD,PAD,CE、D1F、DA三线共点.栏目索引(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内;(2)辅助平面

7、法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面,最后证明平面、重合.2.证明三线共点问题常用的方法:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上(发现第三条直线是两相应平面的交线,从而利用公理3证明).1.点线共面问题的证明方法:栏目索引1-1如图所示的是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则各图形中,P,Q,R,S四点共面的是(填序号).答案解析对于,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQRS为梯形;对于,如图所示,取A1A和BC的中点分别为M,N,顺次连接P、M、Q、N、R、S,可证明六边形PMQNRS为正六边形;c栏目索引对于,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQ

8、RS为平行四边形;对于,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P,Q,R,S四点不共面.1-2如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BCAD且BC=AD;BEFA且BE=FA,G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?1212栏目索引解析(1)证明:由已知可知FG=GA,FH=HD,可得GHAD且GH=AD.又BCAD且BC=AD,GHBC,四边形BCHG为平行四边形.(2)C、D、F、E四点共面,证明如下:证法一:由BEFA且BE=FA,G为FA的中点知BEFG,四边形BEFG为平行四边形,EFBG,121212栏目索

9、引由(1)可知BGCH,EFCH,EF与CH共面.又DFH,C、D、F、E四点共面.证法二:如图所示,延长FE、DC分别与AB的延长线交于点M、M,BEFA且BE=FA,12栏目索引B为MA的中点.BCAD且BC=AD,B为AM的中点.M与M重合.即EF与CD相交于点M(M),C、D、F、E四点共面. 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系命题角度一两直线位置关系的判定命题角度一两直线位置关系的判定典例典例2(1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()12栏目索引A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A

10、1B1平行(2)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在原正四面体中,栏目索引GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.答案(1)D(2)c栏目索引解析(1)如图,连接C1D,在C1DB中,MNBD,故C正确;CC1平面ABCD,CC1BD,MN与CC1垂直,故A正确;ACBD,MNBD,MN与AC垂直,故B正确;A1B1与BD异面,MNBD,栏目索引MN与A1B1不可能平行,故D错误,选D.(2)把正四面体的平面展开图还原,如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线.连接GM,

11、易知GHM为正三角形,则GH与MN成60角.易知MNAF,且AFDE,则DEMN.栏目索引典例典例3(1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则各图形中直线GH与MN是异面直线的是.(填序号)(2)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互相异面的对数为.命题角度二异面直线的判定命题角度二异面直线的判定栏目索引答案(1)(2)3解析(1)中,直线GHMN;中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,因此直线GH与MN异面;中,连接MG,易知GMHN,因此GH与MN共面;中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN,因此直线GH与MN异面.(2)将展开图还原为正方体,如图所示,显然,直线AB与CD,EF与