第14章 超静定结构

1、14-1 超静定结构概述超静定结构概述目录目录14-2 变形比较变形比较法法 能量法能量法14-3 用力法解超静定结构用力法解超静定结构 超静定结构概述超静定结构概述一一.回顾：回顾： 对于超静定问题，在上册的各章节中，已作了一定程度的对于超静定问题，在上册的各章节中，已作了一定程度的研究，研究，如拉压部分的如拉压部分的拉压超静定拉压超静定，扭转部分的，扭转部分的扭转超静定扭转超静定，弯，弯曲部分的曲部分的弯曲超静定弯曲超静定等。本章主要研究弯曲超静定梁的三种求等。本章主要研究弯曲超静定梁的三种求解方法解方法变形比较法、能量法、力法变形比较法、能量法、力法。二二.基本概念：基本概念： 1. 桁

2、架桁架： 由直杆通过由直杆通过铰链铰链连接组成杆系，且连接组成杆系，且载荷只作用于节点上载荷只作用于节点上，则，则每一杆件只每一杆件只承受拉伸或压缩承受拉伸或压缩，这种杆系称为，这种杆系称为桁架桁架。 2. 刚架刚架： 若直杆通过若直杆通过刚节点刚节点相连接组成杆系，在载荷作用下，各杆相连接组成杆系，在载荷作用下，各杆可以可以承受拉伸、压缩、弯曲和扭转承受拉伸、压缩、弯曲和扭转，这种杆系称为，这种杆系称为刚架刚架。( b) 3. 连续梁：连续梁： 若杆系是连续跨过若干个支座的梁，则称为若杆系是连续跨过若干个支座的梁，则称为连续梁连续梁。FCABqD(c) 4. 平面杆系：平面杆系： 若杆系中各

3、杆的轴线在同一平面内（形心主惯性平面），且若杆系中各杆的轴线在同一平面内（形心主惯性平面），且外力也都作用于这一平面内，则称为外力也都作用于这一平面内，则称为平面杆系平面杆系。本章主要讨论本章主要讨论平面杆系平面杆系。6.超静定次超静定次数数： 未知力数目与静力学平衡方程数目之差。未知力数目与静力学平衡方程数目之差。目录目录 5. 超静定结构超静定结构： 由静力平衡方程可以求得全部未知力的结构称为由静力平衡方程可以求得全部未知力的结构称为静定结构静定结构 或或静定系统静定系统。反之称为。反之称为超静定结构超静定结构或或超静定系统超静定系统。（1）外力超静定结构：）外力超静定结构：支座反力不能全

4、由平衡方程求出支座反力不能全由平衡方程求出的的超静定结构。如前面的超静定结构。如前面的(b)、(c)图。图。（2）内力超静定结构：）内力超静定结构：支座反力可由平衡方程求出，但支座反力可由平衡方程求出，但杆杆件的内力却不能全部由平衡方程求出件的内力却不能全部由平衡方程求出，称为内力超静定结，称为内力超静定结构。如前面的构。如前面的(a) 图。图。当然，也有外力、内力均为超静定的结构。当然，也有外力、内力均为超静定的结构。7. 基本静定系：基本静定系： 解除超静定结构的某些约束后，得到的静定结构，称为原解除超静定结构的某些约束后，得到的静定结构，称为原超静定结构的超静定结构的基本静定系基本静定系

5、。基本静定系可以有不同的选择，不是唯一的。基本静定系可以有不同的选择，不是唯一的。三三. 超静定结构超静定结构的求解方法：的求解方法： 1.变形比较法（叠加法）变形比较法（叠加法） 2.能量法能量法 3.力法力法 在基本静定系上，除原有载荷外，还应该用相应的多在基本静定系上，除原有载荷外，还应该用相应的多余约束反力代替被解除的多余约束。余约束反力代替被解除的多余约束。把载荷和多余约束反把载荷和多余约束反力作用下的基本静定系称为力作用下的基本静定系称为原结构的原结构的相当系统相当系统。 与静定结构不同，超静定结构的一些支座往往并不是与静定结构不同，超静定结构的一些支座往往并不是维持结构的几何不变

6、所必需的，因此，把这类约束称为维持结构的几何不变所必需的，因此，把这类约束称为多余约束多余约束。与多余约束对应的约束反力称为。与多余约束对应的约束反力称为多余约束力多余约束力。14-1 变形比较变形比较法法 能量法能量法2.举例说明：举例说明：一一.变形比较法（变形比较法（叠加法）：叠加法）：(1)解除解除多余约束多余约束, 代以代以多余约束多余约束反力反力, 建立建立基本静定系；基本静定系；1.求解步骤求解步骤：(2) 将将基本静定系基本静定系分解成分解成各个载荷各个载荷单独作用单独作用情况情况的的叠加叠加, 并求出并求出各个载荷各个载荷单独作用单独作用下下多余约束处多余约束处的的 变形量。

7、变形量。(3)根据根据多余约束处多余约束处的的变形条件变形条件，建立，建立变形几何关系变形几何关系， 求出求出未知约束反力未知约束反力。例例14-1：试求图示静不定梁的约束反力。试求图示静不定梁的约束反力。qBL（1）建立基本静定系统如图）建立基本静定系统如图所示所示 （2）将图）将图分解成图分解成图和图和图两种情况的叠加两种情况的叠加图中：图中：解：解：qRBB(a)fBqq(b)RBB(C)(fB)RB（3）建立变形协调条件：）建立变形协调条件：因因B点实际为一点实际为一活动铰支座活动铰支座，故，故 0Bf即：即： RLREILREIqLBB8303834EIqLfqB84 EILRfBR

8、BB33 EILREIqLfffBRBBqBB3834 总结：总结：利用利用变形比较法变形比较法解题解题, 思路思路较为较为清晰清晰, 其中的各其中的各 基本变形量基本变形量的的求解方法求解方法也较为也较为灵活灵活, 是求解是求解静不定静不定 问题问题的的基本方法。基本方法。二二.能量法：能量法： 所谓用所谓用能量法能量法求解求解静不定问题静不定问题, 实际上是用实际上是用能量法能量法计算计算多余多余约束处约束处, 在在载荷载荷和和多余约束反力多余约束反力共同作用下的共同作用下的变形变形, 并使其满足并使其满足多余约束处多余约束处的的变形条件变形条件, 从而建立从而建立变形协调条件变形协调条件

9、。1步骤：步骤： (1). 建立建立基本静定系。基本静定系。 (2). 列出列出弯矩方程弯矩方程 ， xM 并对并对多余约束处多余约束处的的约束反力约束反力求求偏导偏导 。 BRxMBf(3). 利用利用卡氏定理卡氏定理求求多余约束处多余约束处的的位移位移 。 建立建立变形协调条件变形协调条件, 确定确定多余约束反力。多余约束反力。 （能量法中以卡氏定理求解超静定问题特点较为突出，下面以（能量法中以卡氏定理求解超静定问题特点较为突出，下面以卡氏定理卡氏定理为例为例进行说明）进行说明）如图：如图： 22qxxRxMB xRxMB根据卡氏定理：根据卡氏定理： （1）建立基本静定系）建立基本静定系如

10、图所示：如图所示：（2）求解）求解 xM及及 BRxM解：解： qLRLEIdxRxMEIxMfBLBB83143qRBBx例例14-2举例说明举例说明仍以上例为例进行说明仍以上例为例进行说明（3）建立变形协调条件并确定）建立变形协调条件并确定 BR由于由于B点实际为一活动铰，故点实际为一活动铰，故 0Bf即：即： 083143qLRLEIBRLRB83（所求（所求数值为正数值为正，说明，说明RB的的实际作用方向与假设方向一致实际作用方向与假设方向一致）目录目录一力法及正则方程的概念一力法及正则方程的概念举例说明：举例说明：曲杆曲杆如如图图 (a) 所示所示, 试求试求支座支座 B 的的约束反

11、力。约束反力。44PABOa4PABO1X解解: 1. 建立建立基本静定系基本静定系如如图图 (b) 所示。所示。 2. 将将静定系静定系分解成分解成图图 (c) 和和图图 (d) 两种情况两种情况的的叠加。叠加。(a)4PABOP14ABO1X1X(b)(c)(d)14-2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构1表示表示, 则则: 11X1P1（1）4ABO111如如图图 (d) 所示。所示。11因在因在线弹性范围线弹性范围内内, 位移与力位移与力成成正比正比, 故故 表示曲杆在表示曲杆在B点处作用垂直向上的点处作用垂直向上的 单位力时的竖向位移，单位力时的竖向位移， 图图 (e) 所示。所

12、示。1X是是单位力单位力1的的 1X倍。倍。 1111XX1（2） 代代（2）入入（1）式）式可得：可得：1111P1X（3）11X11的的 1X倍倍，即：，即： 相应地相应地 也应该是也应该是若若 B 点点的的竖向位移竖向位移用用 (e)若以若以3. 建立建立变形协调条件变形协调条件, 并确定并确定 1X因因 B 点点原为一原为一可动铰支座可动铰支座, 故故 01即：即：0X1111P（4） 从而从而：111P1X44PABOa 式（式（4）所表示的标准式的方程式称为）所表示的标准式的方程式称为力法的正则方程力法的正则方程，而，而上述的解题过程中以上述的解题过程中以“力力 1X”为基本未知量

13、，由变形协调条件为基本未知量，由变形协调条件 01建立补充方程建立补充方程 01111XP的方法称为的方法称为力法力法。 对对二次静不定问题二次静不定问题, 正则方程正则方程可写为可写为0XX1P2121110XX2P222121N 次静不定次静不定0.X.XX.nP2P1Pn21nnn2n12n22211n1211n21.或或写成写成iipiij0Xjiij iX式式中：中：ipi 多余约束多余约束处的处的多余约束反力。多余约束反力。 载荷载荷在在多余约束处多余约束处引起的引起的位移。位移。 位移系数：位移系数： 单位力单位力在在多余约束处多余约束处引起的引起的位移。位移。 i 发生发生位移

14、位移的的位置位置 (多余约束多余约束处处). j 引起引起位移位移的的原因原因 (单位力单位力). 多余约束多余约束处的处的已知位移。已知位移。0.X.XX.nP2P1Pn21nnn2n12n22211n1211n21.广义力广义力广义位移广义位移2. 分别计算分别计算 1P2P112112 22具体结果具体结果可根据可根据莫尔定理莫尔定理求得。求得。各项各项的的物理意义物理意义分别如分别如图图 c、d、e 所示。所示。1. 建立建立基本静定系基本静定系如如图图 b 所示：所示：解：解：P2X1X(b)P1P2P(c)1121(d)1例例 14-3 ：图图 a 为一个为一个二次静不定梁二次静不

15、定梁, 试求其试求其正则方程：正则方程： PB(a) 解除解除多余约束多余约束, 代以代以 多余约束反力多余约束反力 ( 假设方向假设方向 )。载荷载荷单独作用单独作用下下, 分别在分别在x1 和和 x2 作用处作用处, 沿沿 x1 和和 x2 方向方向产生的产生的位移。位移。 在在 x1 处处, 沿沿 x1 方向方向，作用，作用单位力单位力, 沿沿 x1 和和x2 方向方向产生的产生的位移。位移。 3. 确定正则方程：确定正则方程：1P2121111XXB 点点沿沿 X2 方向方向的的位移位移 ：2P2221212XXB 点点沿沿 X1 方向方向的的位移位移:根据根据约束约束 B 的的特点：

16、特点： 021故：故： 所求的所求的正则方程，正则方程，解解方程方程即可求出即可求出 x1 , x2 。0XX1P2121110XX2P2221211222(e)1在在 x2 处处, 沿沿 x2 方向方向，作用，作用单位力单位力, 沿沿 x1 和和x2 方向方向产生的产生的位移。位移。 可写成可写成矩阵矩阵的的形式：形式：0XX2P1P2122211211 对称结构对称结构：当结构：当结构的的几何形状几何形状、尺寸尺寸、材料材料和和约束约束都都对称对称于某个于某个截面截面时时, 称为称为对称结构对称结构。2. 对称载荷对称载荷：当作用在当作用在对称结构对称结构上的上的载荷的作用位置、载荷的作用

17、位置、大小大小和和方向方向也也对称对称于于结构结构的的对称面对称面时时, 称为称为对称载荷对称载荷 。3. 反对称载荷反对称载荷：当作用在当作用在对称结构对称结构上上载荷载荷的的作用位置作用位置和和大小大小是对称的，而是对称的，而方向或转向方向或转向是是反对称反对称的，称为的，称为反对反对称载荷称载荷。14-3 对称与反对称性质的利用对称与反对称性质的利用CqqEIEI4. 特点：特点： (1). 对称结构对称结构在在对称载荷对称载荷作用下作用下, 结构变形结构变形对称对称, 在在对称截面对称截面上没有上没有反对称反对称的的内力内力 (剪力剪力) 。 (2). 对称结构对称结构在在反对称载荷反

18、对称载荷作用下作用下,结构变形结构变形反对称反对称, 在在对称截面对称截面上没有上没有对称对称的的内力内力 (轴力轴力和和弯矩弯矩）。5. 对称结构对称结构在在非非对称载荷对称载荷作用下作用下, 可把可把载荷载荷分解成分解成对称对称 载荷载荷和和反对称载荷反对称载荷的的叠加叠加, 分别分别计算计算, 再把再把结果结果叠加叠加。MFsFSMNFNF类似于外力，杆件的类似于外力，杆件的内力内力也可分为也可分为对称和反对称的。对称和反对称的。例如，例如，平面结构杆件的横截面上，通常有平面结构杆件的横截面上，通常有轴力、剪力轴力、剪力和和弯矩弯矩等内力，等内力，对于如图所考察的截面：对于如图所考察的截

19、面：轴力轴力 和和弯矩弯矩 是是对称的内力，对称的内力，而而剪力剪力 是是反对称的内力。反对称的内力。NFMSF3PNNBAAPPCoAMAN解解: 由由对称性对称性知：知：A、B 截面截面上上剪力剪力为为零。零。 由由分离体分离体的的平衡平衡可以求出可以求出轴力轴力R0120PPPPPPBAPPPCoAMANBMBN变形协调条件变形协调条件:0A例例14-4: 求图示求图示圆环圆环的的最大弯矩最大弯矩 Mmax 。EI为为常量常量（对称性（对称性的的应用）应用）BAMM由由对称性对称性, 可知可知APPCo1APPCoAMANR0120PPP cos13PRMMA 2333PRMA02333

20、PR3MEIRA dsEIMMsA30ARdEIcos13PRM 1M 变形协调条件变形协调条件:0A0 dsEIMMsA由由莫尔定理莫尔定理:可得出可得出由由弯矩方程：弯矩方程：可知可知, 最大弯矩最大弯矩发生在发生在 = 60, 即即 C 截面截面。0 60。 cos13PRMMA 2333PRcos13PR2333PRMA 3cos23PR 0.189PR6323PR3cos23PRM60max 例例14-5：图图示示小曲率杆小曲率杆在在力偶力偶 m 与与均匀分布剪流均匀分布剪流 q 作用作用下处于下处于平衡状态平衡状态,已知已知 q、R 与与 EI=常数。常数。 试求试求: A 截面截

21、面的的剪力、弯矩剪力、弯矩和和轴力。轴力。0N,0M,qRQAAA解：解：例例14-6：平面框架平面框架受受切向分布载荷切向分布载荷 q 作用。作用。求求 ：A 截面截面的的剪力、弯矩轴力。剪力、弯矩轴力。 解：解：QqbMNAAA,00例例147：图：图a所示为经过加固的桥式起重机大梁的计算简图，所示为经过加固的桥式起重机大梁的计算简图，若作用于一根大梁上的吊重为若作用于一根大梁上的吊重为P，试求水平拉杆，试求水平拉杆CD因因P而增加而增加的内力。的内力。、 （三）（三）求求 P111dxEANNdxEANNdxEIMMLLLP1011001由于：由于：N=0，N1=0，且，且AC 、BD

22、段段 0 xM故：故： dxEIMMLP01（1） （一）建立基本静定系如图（一）建立基本静定系如图b所示。所示。01N（二）作出仅在（二）作出仅在P力作用下的弯矩图力作用下的弯矩图M图及仅在单位力作图及仅在单位力作 用下的用下的AB梁的梁的 M0图及图及N0图和图和CD杆的杆的 图。图。 解：解：lLEIPelellllplplEI2822222142111212101000001111111AAIeEEAEALEILedxEANNdxEANNdxEIMMLLL(2)（四）建立正则方程：（四）建立正则方程：1.因因CD杆为一连续杆杆为一连续杆，故故 01，从而正则方程应为：从而正则方程应为：

23、 01111XP代入结果（代入结果（1）（）（2）得：）得： 12211182AAIeIlLPeX讨论：讨论：上式分母中的第上式分母中的第2项项 A1下，因下，因 为梁轴力的影响，一般情况为梁轴力的影响，一般情况111AA大的影响大的影响。 ，故将其省略并不会对结果产生很故将其省略并不会对结果产生很例例148：计算图：计算图a所示桁架各杆的内力，设各杆的材料相同，所示桁架各杆的内力，设各杆的材料相同，截面面积相等。截面面积相等。 （二）求出基本静定系（二）求出基本静定系分别在分别在P及单位力作用下的各杆轴力及单位力作用下的各杆轴力及有关数据见下表。及有关数据见下表。（一）建立基本静定系如图（一

24、）建立基本静定系如图b所示。所示。以以4杆为多余约束，假设将其切开，并代以多余约束力杆为多余约束，假设将其切开，并代以多余约束力 1X解：解：杆件编号NiNi0LiNiNi0 LiNi0 Ni0 LiNiP= Ni +Ni0 x11-P1a-Paa-P/22-P1a-Paa-P/2301a0aP/2401a0aP/25600P222a2a2Pa22)222( Paa22a22)21 ( 4a2/P2/P （三）应用莫尔定理（三）应用莫尔定理求求 P111EAPaEAlNNiiiiP21201EAaEAlNNiiii2140011（1） （2）（四）建立正则方程：（四）建立正则方程： 因因4杆为一连续杆，故正则方程应为杆为一连续杆，故正则方程应为：01111XP代入结果代入结果（1）（）（2）得：）得： 21PX由于由于 10XNNNiiPi故可将故可将 1X及表中的有关数据代入即及表中的有关数据代入即可求得可求得各杆轴力各杆轴力。附：附： 多次静不定系统的正则方程：多次静不定系统的正则方程：举例说明：举例说明：例例149：图：图a为为一二次静不定梁一二次静不定梁，试求其正则方程：，试求其正则方程： PB)(a（二）（二）求求 P1P211122221具体结果可根据具体结果可根