《放缩法与反证法证明不等式》课件（新人教选修）

1、不等式的证明不等式的证明复习复习 不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法: 比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法反证法反证法 先假设要证明的命题不成立，以此为出发点先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。从而间接说明原命题成立的方法。1.x y02.1 x 12.yxyyx例 已知 ，且试证：，中至少有一个小于例题例例2、已知、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，

2、abc 0， 求证：求证：a, b, c 0 证：设证：设a 0, bc 0, 则则b + c a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾，矛盾， 必有必有a 0 同理可证：同理可证：b 0, c 0例例3、设、设0 a, b, c 641 又又0 a, b, c 1/4, (1 b)c1/4, (1 c)a1/4, 在证明不等式过程中，有时为了证明在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：小，实现证明。例如： 要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb

3、2且且b2a(缩小缩小) 这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是传递性。的依据就是传递性。放缩法放缩法例例1、若、若a, b, c, d R+，求证：，求证：21 caddbdccacbbdbaa证：记证：记m =caddbdccacbbdbaa a, b, c, d R+ 1 cbaddbadccacbabdcbaam 2 cdddccbabbaam同时 1 m 2 即原式成立即原式成立2.111abab例 已知a,b是实数，求证:a+bab 法法： bbaababa111证明：在时，显然成立.0ba当时，左边 0ba111ba1|11111ab

4、baabababab.11bbaa1abab.11bbaa法：法：0,a bab 1 111111111|abababababab |11baabab法：函数的方法法：函数的方法*32.2()n n n 例 求证：111（ n+1-1）1+23n*1222(1),21kkkNkkkk1111232( 10)( 21)( 32)(1)2.nnnn cbacacababa 2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例例4、巳知：、巳知：a、b、c，求证：，求证：R略解略解小结 在证明不等式过程中，有时为了证明的在证明不等式过程中，有时为了

5、证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：实现证明。例如： 要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小) 这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是定理的依据就是定理2（传递性性质）（传递性性质）课堂练习课堂练习 1、当、当 n 2 时，求证：时，求证：1)1(log)1(log nnnn 证：证：n 2 0)1(log, 0)1(log nnnn2222)1(log 2)1(log)1(log)1(log)1(log nnnnnnnnnn 12log22 nn n 2时时, 1)1(log)1(log nnnn课堂练习课堂练习 2、若、若p0,q0,且且p3+q3=2, 求证：求证：p+q2课堂小结课堂小结 证明不等式的特殊方法证明不等式的特殊方法: （1）放缩法：放缩法：对不等式中的有关式子进行对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。适当的放缩实现证明的