子空间的生成元

1、一、子空间的生成元一、子空间的生成元 二、向量空间的基二、向量空间的基四、余子空间与子空间的直和四、余子空间与子空间的直和 三、向量空间的维数三、向量空间的维数 一、子空间的生成元一、子空间的生成元 设设V是数域是数域F上的一个向量空间上的一个向量空间. 考虑考虑 的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，因为零向量属于这个集合因为零向量属于这个集合.其次其次,设设n,21nnnnbbbaaa22112211,那么对于任意那么对于任意Fba,仍是的一个线性组合因此，的一切线性组合作成的一个子空间n,21n,21nnnbbaabbaabbaaba22

2、2111这子空间叫做由这子空间叫做由 所生成的子空间所生成的子空间,并且并且用符号用符号 表示表示,向量向量 叫叫做这个子空间的一组做这个子空间的一组生成元生成元.n,21),(21nLn,21看看 如下的如下的n个向量个向量:nF, 2 , 1,0 , 0 , 1 , 0 , 0nii这里除这里除 第第 i 位置是位置是1外外,其余位置的元素都是零其余位置的元素都是零. 令令inaaa,21是是 中任意一个向量。我们有中任意一个向量。我们有nF.2211nnaaa因此因此, , 而而 是是 的一的一组生成元组生成元.nLFn,21n,21nFF x在里在里,由多项式由多项式 所生成的子空间是

3、所生成的子空间是nxx, 1 .|, 110FaxaxaaxxLinnn就是就是F上一切次数上一切次数不超过n的多项式连同零多项式所的多项式连同零多项式所生成的子空间生成的子空间.设设 是向量组是向量组 的一个极大的一个极大无关组无关组.由命题由命题6.3.2,子空间子空间 的每的每一个向量都可以由一个向量都可以由 线性表示线性表示.另一方另一方面，面， 的任意一个线性组合自然是的任意一个线性组合自然是 中的向量中的向量. riii,21n,21nL,21riii,21riii,21nL,21于是有设设 是向量空间是向量空间V 的一组不全为零的向的一组不全为零的向量量,而而 是它的一个极大无关

4、组是它的一个极大无关组.那么那么n,21niii,21riiinLL,2121根据这个定理根据这个定理,如果子空间如果子空间 不等于不等于零空间零空间, 那么它总可以由一个线性无关的生成元生那么它总可以由一个线性无关的生成元生成成.nL,21二、向量空间的基二、向量空间的基定义定义1 设设V是数域是数域F上一个向量空间上一个向量空间.V中满足下列两个条件中满足下列两个条件的向量组的向量组 叫做叫做V的一个的一个基基:n,21（1） 线性无关；线性无关； n,21（2）V的每一个向量都可以由的每一个向量都可以由 线性线性表示表示.n,21根据这个定义，向量空间根据这个定义，向量空间V的一个基就是

5、的一个基就是V的一组线的一组线性无关的生成元。性无关的生成元。由例由例1可得，可得， 中向量组中向量组 是是 的一组的一组生成元。显然这组向量是线性无关的，因此生成元。显然这组向量是线性无关的，因此 是是 的一个基。这个基叫做的标准的一个基。这个基叫做的标准基。基。nFnFn,21n,21nF321,21, 在空间在空间 里，任意两个不共线的向量里，任意两个不共线的向量 都构都构成一个基；在成一个基；在 里，任意三个不共面的向量里，任意三个不共面的向量 都构成一个基。都构成一个基。2V3V一个向量空间的基所含向量的个数叫做的一个向量空间的基所含向量的个数叫做的维数维数零空间的维数定义为零空间的

6、维数定义为空间空间的维数记作的维数记作dim这样，空间这样，空间 的维数是；的维数是； 的维数；的维数；n的维的维数是数是n；上一切上一切m n矩阵所成的向量空间是维数是矩阵所成的向量空间是维数是mn如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那么它如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那么它自然也不能由有限个线性无关的向量生成在这一自然也不能由有限个线性无关的向量生成在这一情况，就说这个向量空间是无限维的情况，就说这个向量空间是无限维的例例（1）证明：线性空间）证明：线性空间Pxn是是n 维的，且维的，且1，x，x2，xn1 为为 Pxn 的一组基的一组基 证证: :（1 1）首先，首先，1，x，

7、x2，xn1是线性无关的是线性无关的 1，x，x2，xn1为为Pxn的一组基，的一组基，其次，其次， 1011( ) nnnf xaa xaxP x可经可经 1，x，x2，xn1线性表出线性表出 ( )f x从而，从而，Pxn是是n维的维的. .x作为作为上向量空间，不是有限生成的，因上向量空间，不是有限生成的，因而是无限维的而是无限维的.例例 设设 是向量空间是向量空间的一个基那么的一个基那么的的每一个向量可以唯一地被表成基向量每一个向量可以唯一地被表成基向量 的线性组合的线性组合,21nnaaa,211122nnaaa证：证：因为是的生成元，所以的每一个因为是的生成元，所以的每一个向量都可

8、以表成的 线性组合：12,na aa12,na aa,1,2, .iiaa in我们只需证明，这种表示法是唯一的如果还可以表成那么我们就有由于线性无关，所以，即1122,nnaaa111222()()()0.nnnaaaaaa0,iiaa12,na aa n维向量空间中任意多于维向量空间中任意多于n个向量一定线性相关个向量一定线性相关 由替换定理，我们可以得出以下的结论.证：证： 时，论断显然正确.设 . 令 是 维0n 向量空间 的一个基.设 ,而 是 中任意 个向量.那么每一个 都可以由 线性表示.如果 线性无关,那么由替换定理推出， ，这就导致矛盾.0n 12,n nVsnVs12,s

9、i12,n 12,s sn设设 是是n维向量空间维向量空间中一组线性无关的中一组线性无关的向量那么总可以添加向量那么总可以添加 n r 个向量个向量 ，使，使得得 作为作为的一个基特别，的一个基特别，n维向量空间中任意维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以取作个线性无关的向量都可以取作基基iaaa,21nraa,1,11nrr证：证： 是 维向量空间 的一个基，那么每一 都可以由 线性表示.又因为 线性无关,所以由替换定理,适当对 编号，可以用 替换前 个基向量 得到一个与 等价的向量组 .根据推论6.3.2,后者的一个极大无关组也含有 个向量.所以 就是它本身的唯一的极大无关组,因而是 的

10、一个基.取 定理被证明.12,n nVi12,n 12,r 12,n 12,r r12,r 12,n 11,rrnn11,rrn V,1, ,jjjrn 设设 和和 都是数域都是数域上向量空间上向量空间的有限维子空的有限维子空间那么间那么 也是有限维的，并且也是有限维的，并且dim（ ）dim dim dim（ ）定义3 设 是向量空间 的一个子空间. 的子空间 叫作 的一个余子空间余子空间，如果 （i） （ii）WVVWW;VWW0.WW在这一情形，就说 是子空间 与 的直和直和，并且记作 .VWWVWW很明显，如果 是 的一个余子空间，那么 也是 的一个余子空间.WWWW例：在 里，取容易

11、看出 和 都是 的子空间，并且互为余子空间.3F121233(,0)|,(0,0,)|.Wa aa aFWaaFWWV定理定理. 6 设向量空间设向量空间V是子空间是子空间W与与W的直和的直和 . 那么那么V中每中每一向量一向量 可以唯一地表成可以唯一地表成 W W. 那么 ， 或 .最后等式左端的向量属于 ，而右端的向量属于 .由于 ，所以 即 . .证：证：显然显然 .如果如果 还可以表成还可以表成,WW 1111,WW1111WW0WW11,0O11, n 维向量空间维向量空间V的任意一个子空间的任意一个子空间W都有余子空间都有余子空间 , 如果如果W是是W的一个余子空间的一个余子空间 , 那么那么dimV = dimW + dimW.VWW证：证：当当 或或 时，定理显然成立时，定理显然成立.设设 令令 是子空间是子空间 的