典型输入信号

1、 使用典型的输入使用典型的输入 信号只是为了分析和设计的方便。采用典型的输入信号，可以信号只是为了分析和设计的方便。采用典型的输入信号，可以使问题的数学处理系统化，可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。使问题的数学处理系统化，可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。单位阶跃函数近似 单位斜坡函数 -函数A=1 单位-函数 R(s) = 11)(dtt0001tt000ttt单位抛物线函数000212tttr(t) =(t) = r(t) =r(t) =r(t) =R(s) = 1/SR(s) = 1/S2 R(s) = 1/S3 t0, t0t0 Ar(t)tA/r(t)Atr(t)Attr(t

2、)At2t123-1 3-1 典型输入信号典型输入信号正弦函数正弦函数典型信号之间的关系r(t) = Asin（t+F0） 正弦函数输入下系统的稳态正弦函数输入下系统的稳态响应称系统的频率响应，由此响应称系统的频率响应，由此形成了一整套控制系统的频率形成了一整套控制系统的频率响应分析和设计方法响应分析和设计方法S=1线性定常系统的描述线性定常系统的描述线性常系数微分方程的解：线性常系数微分方程的解： )()()()()()()()(111101111tubdttdubdttudbdttudbtcadttdcadttcdadttcdmmmmmmnnnnnn输出输出 = = 任一特解任一特解 +

3、+ 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解特解：电网络中常常用特解：电网络中常常用稳态稳态响应作为一个特解（响应作为一个特解（稳态稳态分量）分量）通解：齐次解（方程通解：齐次解（方程右边右边=0=0） 零输入零输入响应响应 、也称、也称自由自由分量、相应稳态分量称暂态分量分量、相应稳态分量称暂态分量特解：若系统稳定，稳态时输出中所有暂态分量将衰减到零，即特解：若系统稳定，稳态时输出中所有暂态分量将衰减到零，即 稳态分量与系统初始状态无关稳态分量与系统初始状态无关零状态响应零状态响应) t (c ) t (c ) t ( c213-3-2 线性定常系统的时域响应线性定常系统的时域响应n1n1n1n

4、m1m1m1m0aSaSaSbSbSbSb) s (R) s (C) s (G) S1) s (R (设r1k2nknkk2q1iim1jj0)s2s ()ss (S)zs (b)s (Cr1k2nknkk22nkknkkkq1iii0s2s1C)S(BssASb由传递函数由传递函数用拉普拉斯变换工具可以使求解更加简单用拉普拉斯变换工具可以使求解更加简单得输出的拉得输出的拉普拉斯变换普拉斯变换将将输出输出进行进行拉普拉斯反变换得输出的时域形式拉普拉斯反变换得输出的时域形式( (单位单位阶跃响应阶跃响应) )r1knknkkkq1iii)t*1cos( *teDtSeAk20b) t (C步骤：

5、步骤：1 1、求、求G(s)G(s)；2 2、求、求C(s)C(s)；3 3、求、求C(t)=LC(t)=L-1-1(C(s)(C(s) 控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应的时间响应单位阶跃响应确定的，通常以单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。）表示。 实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图如图3-1所示：所示： 所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统

6、的微分方程，得到系统的时间它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。稳态性能。3-3-3 3 控制系统时域控制系统时域响 应 的 性 能 指响 应 的 性 能 指标标t tr rt tp pt ts sh h( (t t) )(h1 1. .0 00 0误误差差带带5 5% %或或2 2% %t td d0 0. .5 51.上升时间上升时间trtr 响应曲线从零首次上升到稳态值响应曲线从零首次上升到稳态值h(h() )所需的时间，称为上升时所需的时间，称为上升时间

7、。对于响应曲线无振荡的系统，间。对于响应曲线无振荡的系统，trtr是响应曲线从稳态值的是响应曲线从稳态值的10%10%上升到上升到90 %90 %所需的时间。所需的时间。2.2.峰值时间峰值时间tptp 响应曲线超过稳态值响应曲线超过稳态值h(h() )达到第一个峰值所需的时间。达到第一个峰值所需的时间。3.3.调节时间调节时间tsts 在稳态值在稳态值h(h() )附近取一误差带，通常取附近取一误差带，通常取响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。间。 ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态越小，说

8、明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。所需的时间越短。4.超调量超调量% 响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即)(%2),(%5hh一、暂态性能：一、暂态性能：%100)()()(%hhthp 超调量表示系统响应过冲的程度，超调量超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。工作条件下，而且使调节时间加长。 5.振荡次数振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。次数的一半。 tr

9、,tp和和ts表示控制系统反映输入信号的快速表示控制系统反映输入信号的快速性，而性，而%和和N N反映系统动态过程的平稳性。反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中即系统的阻尼程度。其中t ts s和和%是最重要是最重要的两个动态性能的指标。的两个动态性能的指标。性能指标的衡量：性能指标的衡量：（一）阶跃响应（一）阶跃响应 MpMp： 最大超调量最大超调量 t tp p ：最大值时间：最大值时间 t tr r ：上升时间：上升时间 第一次达到稳态值第一次达到稳态值 t ts s ：调整时间：调整时间 第一次进入误差带第一次进入误差带 便于参数寻优及性能比较便于参数寻优及性能比较 （二）

10、综合性能指标（二）综合性能指标dt t | ) t ( e| :ITAEdt | ) t ( e| :IAEdt t) t (e :ITSEdt ) t (e :ISEsssst0t0t02t02但它不能使阶跃响应的各参数均最但它不能使阶跃响应的各参数均最优，甚至某些参数还可能不能用优，甚至某些参数还可能不能用 。3-4 3-4 一阶系统的暂态响应一阶系统的暂态响应一、一阶系统的单位阶跃响应一、一阶系统的单位阶跃响应： r(t)=1(t)r(t)=1(t)S1C(s)C(s)R(s)R(s)11)()(G(s)SsRsC 方框图方框图 微分方程：微分方程：)()(dtdc(t)trtc/1)(

11、tetC一阶系统的传递函数一阶系统的传递函数/)()()()()()(te11S-LS1LsCLtC1TST-S11TSS11TS1sC111sR 用拉普拉斯求取阶跃响应用拉普拉斯求取阶跃响应：r(t)=1(t) r(t)=1(t) 则则 R(s)=1/SR(s)=1/S 输出由两部分组成：一部分不随时间变化输出由两部分组成：一部分不随时间变化稳态分量稳态分量（1 1）；另）；另一部分随一部分随随时间变化随时间变化暂态分量暂态分量（ ）。因此，系统的。因此，系统的阶跃输出是随时间变化的阶跃输出是随时间变化的t t=3=344时时, ,过渡过过渡过程基本结束程基本结束; ; t t=0=0处斜率

12、为处斜率为1/1/t t时时, ,输出等于输输出等于输 入值（公式中暂态项入值（公式中暂态项等于零）等于零）; ; t t= =时时, ,输出到达稳输出到达稳态态 的的63.2%;63.2%;/ tet0.51.03TT0C(t)0.6320.95二、一阶系统的单位脉冲响应：二、一阶系统的单位脉冲响应：r(t)=r(t)= (t) (t) 则则 R(s)=1 R(s)=1 /111C(s)(G(s)C(s)11teSLLtCttTtetcAtcAedtedttctct1)(0| )()(11)()(000脉冲响应的积分就是阶跃响应脉冲响应的积分就是阶跃响应因为阶跃信号是脉冲信号的积分因为阶跃信

13、号是脉冲信号的积分如果将脉冲信号做积分运算如果将脉冲信号做积分运算三三.一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应为暂态分量。为稳态分量，其中响应为拉氏反变换，单位斜坡/2222)0()()(11111)()()(1)(,)(tttettettCssssssRssCssRttR单位斜坡响应曲线如图所示：引入误差的概念：当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差。即：)(0hhesstr(t)=tc(t)0一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差ess=t-(t- )= 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后, 这就存在着ess= 的稳态误

14、差。四、一阶系统的单位加速度响应四、一阶系统的单位加速度响应ttettctrteetttcsssCssRtttr1)()()(121)(,111)(1)()0( ,21)(222332则：开环传递函数开环传递函数标准传递函数标准传递函数1212)()(G(s)2222SSSSsRsCnnn)2()2(1)()(s)G2KnnSSSSsEsC方框图方框图3-5 3-5 二阶系统的暂态响应二阶系统的暂态响应其中 系统的阻尼比 n系统的无阻尼自然振荡角频率 系统振荡周期nT102)(22nnsssD1,221nns阶跃响应阶跃响应22110212n2nn22nSSASSASA)SS)(SS(SS2S

15、) s (RC(s)根在根平面上的位置根在根平面上的位置001011不等负实根不等负实根 1 1相等负实根相等负实根 2 2共轭复根共轭复根 3 3共轭虚根共轭虚根 4 4正（正实部）根正（正实部）根 5 5根位置不同（根位置不同（ 、 不同）不同）有不同的阶跃响应有不同的阶跃响应 tseAtseAA)s (CL) t (C 212101 特征参数特征参数 、 1S2nn21、ImRe1012533441.当当0 11时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。过阻尼状态。4.4.当当=0=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响时，系统有一对

16、共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。 下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。22, 11nnjwwstseAtseAA) t (C1S1 121210 2nn21、由上式：、)1(121)(*)()1(121)(*)(1*)(222222110021sssssSSsCASSsCASsCA一、二阶系统的单位阶跃响应（不同参数一、二阶系统的单位阶跃响应（不同参数( ( 、 n)n)下下不同

17、不同系统（就是不同系统（就是不同参数参数 、 n n ）下，）下，二阶系统的阶跃响应有二阶系统的阶跃响应有不同的形态，通过分析参数不同的形态，通过分析参数 、 n n 与与二阶系统的阶跃响应的关二阶系统的阶跃响应的关系可以很容易揭示其本质系可以很容易揭示其本质暂态分量：暂态分量：响应随响应随t t的增加逐渐单调衰减到零；后一个分量衰减更快。的增加逐渐单调衰减到零；后一个分量衰减更快。t )1(AtsAt )1(AtsA2nn2nneeee221121 输出也是由两部分组成：输出也是由两部分组成：稳态分量稳态分量 =1=1暂态分量暂态分量 两个形如脉冲响应部分两个形如脉冲响应部分 ，随时间变化的

18、随时间变化的12nnt t时时, ,输出等于输输出等于输 入值（入值（=1=1，暂态项等于零）。，暂态项等于零）。无最大超调量，调节时间无最大超调量，调节时间nst114 , 32ImReS10S2根分布t0.51.01050C(t)ImReS10S212、nns2n2s2n10s0| )S(*)s (CA1|)S(*)s (CdsdA1S*)s (CAn2n2n2n2n)S(S)S() s (RG(s)211)(SSSG(s)nnntetSLnnnn)(21根分布2n2n10)S(ASASAG(s) 阶跃响应是随时间单调上升的阶跃响应是随时间单调上升的 当当 t t响应趋于稳态值响应趋于稳态

19、值ttetetCnnn1)(0tImReS10S2临界阻尼（ =0 ）时二阶系统阶跃响应的误差nsnntttettetctrten17 . 41, 0)(1)()()(。阶跃响应的变化率最大时，临界阻尼二阶系统当时，0S1jd-nS2ReIm102211nnjS、3、)(1)1(1)(22211*21tSinearctgtSinetCdtntnn21,21arctgnd其中：根分布此时根的特点：共轭复数此时根的特点：共轭复数阶跃响应是振荡的，由于根的实阶跃响应是振荡的，由于根的实部为负，所以，振荡的幅值随时部为负，所以，振荡的幅值随时间的增加而衰减，最终趋于零间的增加而衰减，最终趋于零时1,

20、1 . 0n时1,5.0n. 11 .时1,707. 0n阶跃响应阶跃响应与极点分布：与极点分布：0 4、2n22n22n2n22nSSS1)S(SS) s (RG(s) tCosSSL(n2n21tCostCn1)(0t0S1=jnReImS2=-jn21ndnd无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率阻尼自然振荡频率阻尼自然振荡频率阻尼比阻尼比临界阻尼临界阻尼当（当（ =1=1）时阶跃响应没有超调，此时，）时阶跃响应没有超调，此时， 上升时间的定义修改如下：上升时间的定义修改如下：)95. 005. 0()95. 00()9 . 00(tttt0.51.0tr0C(t)0.050.95tr1

21、1） 二阶系统阶跃响应的特征量有：二阶系统阶跃响应的特征量有： 上升时间上升时间 峰值时间峰值时间 百分比超调量百分比超调量 调节时间调节时间 衰减比衰减比二阶系统阶跃响应的特征量二阶系统阶跃响应的特征量Nspprttt%第一次达到稳态值时间第一次达到稳态值时间第一次进入误差带时间第一次进入误差带时间%100*)(/)()(cctcp）（误差带：误差带：or%5%2到达最大值时间到达最大值时间第二超调量与第一超调量之比第二超调量与第一超调量之比二阶系统阶跃响应的特征量的计算：二阶系统阶跃响应的特征量的计算：1)(1)(21rdtrtSinetCrn0)(21rdttSinern021rnte0

22、)(rdtSinrdtdrt！第一次到达！第一次到达上升时间上升时间 t tr r依定义有：依定义有： 峰值时间 tpdpt！第一次到达0|dt) t (dCpt0)(pdttSinedtdpn0)()(pdtdpdtntCosetSinepnpn0)(1)(2pdpdtCostSin21)(pdgtt21 gpdtarct令：0)t(Sinedtdpd1t2pn)t(Sine1) t (Cd1t2n 百分比超调量 Mp%100*)t(Sin1%100*)(C)(C)t (C%MpdtPP2pnedptCos%100*%21 eMP21Sin21nd21tg2pd1Sin)(Sin)t(Sin

23、nnd211snte211snte112 . 0st 用包络线近似来简化计算：1)(sdtSin211snte取得包络线方程： 调节时间 ts)(1)(121sdtstSinetCsn2 . 011符合上式答案有多个，如下图1121snte)1(12lnnst43lnln21ln02.005.0当当 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-0.02 -0.087 -0.144 -0.223 -0.337 - 0.51 nst4302.005.08.00:适用其中衰减比振荡次数二、二阶系统的单位脉冲响应二、二阶系统的单位脉冲响应 可由阶跃响应求导数得到四、传递函数含有零点的二阶系统响应四

24、、传递函数含有零点的二阶系统响应下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统统,系统输出量同时受偏差信号系统输出量同时受偏差信号和偏差信号和偏差信号微分的双重控制。试分析系统性能。微分的双重控制。试分析系统性能。)2(2nnwssw)(t)(t)(t1sr(t)c(t)-+系统开环传递函数系统开环传递函数2,) 12() 1()2() 1()(2nnnnwkwssskwssswsG22222222) 1(2) 1()(1)()(nndnnnnnwswsswwswswsswsGsGs闭环传递函数闭环传递函数:ndw21等效阻尼比：等效阻尼比： 增大了系统的阻尼比

25、增大了系统的阻尼比,可以使系统可以使系统动态过程的超调量下降动态过程的超调量下降,调节时间缩短调节时间缩短,然而然而开环增益开环增益k保持不变保持不变,它的引入并不影响系统它的引入并不影响系统的稳态精度的稳态精度,同时也不改变系统的无阻尼振同时也不改变系统的无阻尼振荡频率荡频率wn。而且。而且,比例微分控制使系统增加比例微分控制使系统增加了一个闭环零点了一个闭环零点s=-1/前面给出的计算动态前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。性能指标的公式不再适用。由于稳态误差由于稳态误差与开环增益成反比与开环增益成反比,因此适当选择开环增益因此适当选择开环增益和微分器的时间常数和微分器的时间常数Td

26、, 即可减小稳态误差即可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。又可获得良好的动态性能。d)2(2nnwssw)(s)2()2(1)2()(2222nnnnnnnwwsswwssswwsswsG例例3.图图: 是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。反馈校正对系统性能的影响。解解:系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为R(s)c(s)-s) 12()(2nnwwssksG 式中式中为速度反馈系数为速度反馈系数. 为系统的开环增益。为系统的开环增益。 (不引入速度反馈开环增益不引入速度反馈开环增益 ) k有所减小有所减小,增大

27、了稳态误差增大了稳态误差,因此降低了系因此降低了系统的精度。统的精度。)2(nnwwk2nwk 闭环传递函数闭环传递函数 显然显然 ，所以速度反馈同样可以增大，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率而不改变无阻尼振荡频率wn,因因此此,速度反馈可以改善系统的动态性能。速度反馈可以改善系统的动态性能。22222222222)21(22)(1)()(nntnnnnnnnnnwswswwswwswwswswswsGsGstntw21等效阻尼比：等效阻尼比： 在应用速度反馈校正时在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统应适当增大原系统的开环增益的开环增益,以补偿速度反馈

28、引起的开环增以补偿速度反馈引起的开环增益减小益减小,同时适当选择速度反馈系数同时适当选择速度反馈系数kt,使阻使阻尼比尼比t t增至适当数值增至适当数值, ,以减小系统的超调量以减小系统的超调量, ,提高系统的响应速度提高系统的响应速度, ,使系统满足各项性能使系统满足各项性能指标的要求。指标的要求。3-8 3-8 线性系统的稳定性线性系统的稳定性一、稳定性的概念一、稳定性的概念 定义定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者

29、回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。 上述稳定是上述稳定是“渐近稳定渐近稳定”的的“线性线性”系统通常是线性化的系统通常是线性化的因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论abcb b 例如小球平衡位置如小球平衡位置b点点,受外界扰动作用受外界扰动作用,从从b点到点到 点，外力作用去掉点，外力作用去掉后后,小球围绕小球围绕b点作几次反复振荡点作几次反复振荡,最后又回到最后又回到b点点,这时小球的运动是这时小球的运动是稳定的。稳定的。如小球的位置在如小球的位置在a或或c点点,在微小扰动下在微小扰动下

30、,一旦偏离平衡位置一旦偏离平衡位置,则无论怎则无论怎样样,小球再也回不到原来位置小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。则是不稳定的。定义定义:若系统在初始偏差作用下若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减逐渐衰减并趋于零并趋于零,具有恢复平衡状态的性能具有恢复平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定则称该系统为渐近稳定,简称简称稳定。反之为不稳定。稳定。反之为不稳定。 我们把扰动消失时我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数线性系统的稳定性只取决于系统本身

31、的结构参数,而与外作用及初而与外作用及初始条件无关始条件无关,是系统的固有特性。是系统的固有特性。r1k2nknkk22nkknkkkq1iiis2s1C)S(BssAS1) s (C齐次解齐次解 暂态分量暂态分量 零输入响应零输入响应 自由分量自由分量rknkkkqiiiteDtSeA1knk1)t *21cos(*1) t (C二、稳定的充要条件二、稳定的充要条件 根据系统的阶跃响应输出表达式根据系统的阶跃响应输出表达式 只要只要S Si i00或当它为复数时，其实部或当它为复数时，其实部 - - k k k k0 00或有实部或有实部 - - k k k k00的根，即：在根平面的的根，

32、即：在根平面的右半面有系统的闭环特征根，那麽，系统阶跃响应的暂态分量中，右半面有系统的闭环特征根，那麽，系统阶跃响应的暂态分量中，该输出分量随时间该输出分量随时间t t趋于无穷而趋于无穷大，趋于无穷而趋于无穷大，也就是，系统是不稳定的。也就是，系统是不稳定的。 i0 0it tk k( (t t) )c ci i0 00 00 0c ci ic ci it tt t稳稳定定临临界界稳稳定定发发散散实实根根情情况况下下系系统统的的稳稳定定性性0 0t tk(t)k(t)0 00 00 0t tt t衰减振荡稳定衰减振荡稳定等幅振荡临界稳定等幅振荡临界稳定发散振荡不稳定发散振荡不稳定共轭复根情况下

33、系统的稳定性共轭复根情况下系统的稳定性j jj jj j 下一节中劳斯稳定判据回答了这个问题下一节中劳斯稳定判据回答了这个问题 根据以上分析，系统的稳定性判别归结为：问题问题： 系统的闭环特征方程：系统的闭环特征方程： 解高阶微分方程求根困难，解高阶微分方程求根困难， 能否不解高阶微分方程可以知道根能否不解高阶微分方程可以知道根分布情况分布情况？0)(1)(sGSD如果如果 系统的闭环特征根至少有一个根系统的闭环特征根至少有一个根S Si i00 或者复根时它的实部或者复根时它的实部 - - k k k k0 0 即即 根平面的右半面有闭环特征根，根平面的右半面有闭环特征根， 那麽那麽 系统闭

34、环是不稳定的。系统闭环是不稳定的。125314201cbaaaaaab215041baaaaa 一、劳斯判据一、劳斯判据闭环特征方程：闭环特征方程：劳斯阵列表劳斯阵列表: : 1 1、建立劳斯阵列表、建立劳斯阵列表 3 3、判别劳斯阵列表第一列系数、判别劳斯阵列表第一列系数第一列元素全部同号且不为零时系统稳定；否则，系统不稳定。第一列元素全部同号且不为零时系统稳定；否则，系统不稳定。 0111nnnnaSaSaaS3-9 3-9 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 ,141713131512121311171603151402131201bbbaacbbbaacbbbaacaaaaabaaaaabaaa

35、aab0322130asasasa000030130211312203asaaaaasaasaas例3-1 已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为 故得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，且a1a2a0a3 Roth稳定判据：系统稳定的充要条件是Roth表中第一列各项元素均为正。特征方程具有正实部根的个数等于Roth表第一列中系数改变符号的次数。例例 ( (课堂练习课堂练习) )05S4S3SS2S12345）（ 012345SSSSSS53259315324111 1、闭环特征方程系数全部大于零，系统稳定与否继续第二步；、闭环特征方程系数全部大于零，系统稳定与否继续第二步；2 2、建立劳斯阵列

36、表、建立劳斯阵列表 因为第一列中，各元素不因为第一列中，各元素不同号，故系统不稳定。同号，故系统不稳定。又：由于第一列的元素变又：由于第一列的元素变号两次，应有两个极点在号两次，应有两个极点在S S平面的右半面。平面的右半面。该系统有五个根：该系统有五个根：-2.0461 -2.0461 0.7336 0.7336 1.1577i 1.1577i -0.7105 -0.7105 0.8922i 0.8922i 01222234SSSS零：某行第一列的系数为例11221)(00221112 2、建立劳斯阵列表、建立劳斯阵列表 1 1、闭环特征方程系数全部大于零，继续第二步；、闭环特征方程系数全部

37、大于零，继续第二步；第一列元素等于零时，用第一列元素等于零时，用代替，代替，继续计算；由于第一列元素有等继续计算；由于第一列元素有等于零的，系统不稳定于零的，系统不稳定又：由于又：由于2-2/02-2/0时，时， 各阶赫尔维各阶赫尔维茨行列式茨行列式 1、 2、 n均大于零。均大于零。一阶系统二阶系统a00时, a10( (全部系数数同号全部系数数同号) )a00时, a10, a20( (全部系数数同号全部系数数同号) )0a .sasa) s (D21120011a0asa) s (D100a11a00时a00时023012aaaa赫尔维茨赫尔维茨(Hurwitz)判据判据01110nnn

38、nasasasannnaaaaaaaaaaaaa000000000112345012301123n0asa .sasa) s (D322130三阶系统a00时, a10, a20, a30( (全部系数数同号全部系数数同号) )a00时 a1a2 a0 a30a110302123012aaaaaaaa0000233123013aaaaaaa一阶系统a10(全部系数数同号)a10, a20(全部系数数同号)0asa.sasa) s (Dn1n1n1n0a10, a20, a30(全部系数数同号)a1a2 a0 a3归纳：a00时二阶系统三阶系统（4）S4+ 2S3+ 8S2+ 4S+ 3=0（5

39、）S4+ 2S3+ S2+ 4S+ 2=0（6） S5+ S4+ 3S3+ 9S2+ 16S+ 10=0（7） S6+ 3S5+ 5S4+ 9S3+ 8S2+ 6S+4=0二、二、 劳斯判据的其他应用劳斯判据的其他应用1 1、确定系统稳定时的参数取值范围、确定系统稳定时的参数取值范围2 2、确定系统稳定裕量、确定系统稳定裕量 用用(S-)(S-)代替代替S S，如果用，如果用ROTHROTH判据判断仍能判据判断仍能 稳定，则表明该系统至少有稳定裕量稳定，则表明该系统至少有稳定裕量 带参数按步骤列表计算带参数按步骤列表计算ROTHROTH阵列表第一列元素；阵列表第一列元素；令含参数的元素令含参数

40、的元素 零，得到系统稳定时的参数取值范围零，得到系统稳定时的参数取值范围)2)(1(10sss调节器被控对象检测元件R(s)E(s)-N(s)扰动被调量C(s)k2)2)(1(20)()2)(1(201)2)(1(10)()()()()2)(1(201)2)(1(10)(sssksGssskssssNsCsRsCsssksssks开闭环传递函数闭环传递函数.劳斯判据的推广及应用劳斯判据的推广及应用 (1).劳斯表不但可判断系统的稳定性劳斯表不但可判断系统的稳定性,而且能判断特征根的位置分布情况。而且能判断特征根的位置分布情况。 (2).可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。可以选择使系统稳定的

41、调节器参数的数值。 例例:0)2)(1(2010)(1sssksG开3 .0206002002023032123kkaaaakkksss3 . 00k则特征方程则特征方程 则系统才是稳定的则系统才是稳定的,求得求得k的取值范围。的取值范围。3-11 3-11 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 一一 稳态误差的定义稳态误差的定义 稳态误差的定义稳态误差的定义 ：系统的稳态误差是指在输入加入后，经过足够系统的稳态误差是指在输入加入后，经过足够长的时间，其暂态响应已衰减到微不足道时（指稳定系统，此长的时间，其暂态响应已衰减到微不足道时（指稳定系统，此时系统进入稳态），稳态响应的期望值与实际值之间

42、的误差。时系统进入稳态），稳态响应的期望值与实际值之间的误差。稳态稳态：当时间趋于无穷：当时间趋于无穷大时的固定响应。大时的固定响应。控制系统的稳态误差：控制系统的稳态误差： 给定输入下的误差给定输入下的误差给定误差给定误差 扰动输入下的误差扰动输入下的误差扰动误差扰动误差 恒值控制系统：恒值恒值控制系统：恒值随动控制系统：跟随输入变化随动控制系统：跟随输入变化 正弦输入下系统响应是正弦波正弦输入下系统响应是正弦波GC(S)G0(S)H(S)N(S)C(S)R(S)B(S) 稳态性能是控制系统的又一重要特性稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表征了系统跟踪输入信它表征了系统跟踪输入信号的准确度

43、或抑制扰动信号的能力。而稳态误差的大小号的准确度或抑制扰动信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量是衡量系统性能的重要指标。系统性能的重要指标。 1.定义定义: e(t)为系统误差为系统误差,Cr(t)= r(t)为希望输出为希望输出,c(t)为实际输出。为实际输出。0 0t tC(t)C(t)e essssC Cr r(t)(t)()()(tctCter)()(lim)(limtctrteettss稳态误差稳态误差系统的静态误差与系统的结构有关系统的静态误差与系统的结构有关,还与输入信号的大小及形式有还与输入信号的大小及形式有关。而系统的稳定性的只取决于系统的结构。关。而系统的稳定性的只取决于系

44、统的结构。Gc(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G0(s)对于扰动信号对于扰动信号N(s)而言而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,即希望系统的输即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。出一点都不受扰动的影响。 )()()()(1)()()()()()(1)()()(002001sNsHsGsGsGsCsRsHsGsGsGsGsCccc)()()(11)()()()()()()(11)()()(0011sHsGsGssRssRsHsGsGscsrsEceec则则R(s)和和N(s)引起的系统误差为引起的系统误差为)()()()()()()()

45、()()(1)()()()()()()()(1)()(0)(21000022sNssRssEsEsEsHsGsGsGssNssNsHsGsGsGsCsEnecnnc二、误差传递函数二、误差传递函数三三 系统的系统的“型号型号”根据随动系统跟踪信号的能力将系统划分为根据随动系统跟踪信号的能力将系统划分为0 0、I I、II II 型型系统开环传递函数系统开环传递函数 H(s)H(s)中不含积分环节，中不含积分环节， =0 =0 不含积分环节不含积分环节 0 0 型系统型系统 =1 =1 含一个积分环节含一个积分环节 I I 型系统型系统 =2 =2 含二个积分环节含二个积分环节 II II 型系

46、统型系统根据线性系统的可加性，根据线性系统的可加性，可以分别求可以分别求给定误差和扰动误差给定误差和扰动误差 niimjjcSSSKsHsGsGsG110) 1() 1()( )( )()(3-123-12给定稳态误差与扰动稳态误差给定稳态误差与扰动稳态误差 一一 给定稳态误差终值的计算给定稳态误差终值的计算 位置（阶跃）误差系数位置（阶跃）误差系数 终值定理：终值定理： )(lim)(lim0sSEteestss)(11)(lim)()(lim)(lim000sGsSRssSRsSEesrsrsssrFSsR1)(PssssrKsGsGe11)(lim11)(11lim0021)(SsRKs

47、SGsSGSessssr1)(lim1)(1lim0031)(SsRKasGSsGSSessssr1)(lim1)(1lim20220)(lim0sGKsP)(lim0sSGKs 斜坡（速度）误差系数斜坡（速度）误差系数抛物线（加速度）误差系数抛物线（加速度）误差系数)(lim20sGSKas 求系统的给定输入下的稳态误差可以先求稳态误差系数求系统的给定输入下的稳态误差可以先求稳态误差系数三种典型输入下有三个误差系数的计算公式（由上页），而三个误差三种典型输入下有三个误差系数的计算公式（由上页），而三个误差系数对应于系数对应于“0”“I”“II”0”“I”“II”型系统又分别有三种情况型系统又

48、分别有三种情况0 0 型系统型系统0)s(SGlimK0s0)s(GSlimKa20sniimjjSSKsG11)1()1()( 0 0型系统，阶跃输入时，误差系数型系统，阶跃输入时，误差系数=K=KK11sse 0 0型系统，阶跃输入时，输出始终不会型系统，阶跃输入时，输出始终不会等于输入，存在稳态误差等于输入，存在稳态误差 0 0型系统，斜坡输入时，误差系数型系统，斜坡输入时，误差系数=0=0 稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）稳态误差无穷大（输出不能跟随输入） sse sse 0 0型系统，抛物线输入时，误差系数型系统，抛物线输入时，误差系数=0=0 输出不能跟随输入，输出不能跟随输入，

49、 稳态误差无穷大稳态误差无穷大系统开环传递函数系统开环传递函数中不含积分环节中不含积分环节K)s(GlimK0sP)s(GlimK0sPI I 型系统型系统K)s(SGlimK0s0)s(GSlimKa20s111)1( )1()(niimjjSSSKsG I I 型系统，阶跃输入时误差系数无穷大型系统，阶跃输入时误差系数无穷大0sse I I 型系统，阶跃输入时没有稳态误差型系统，阶跃输入时没有稳态误差 输出最终等于输入输出最终等于输入 I I 型系统，斜坡输入时，误差系数型系统，斜坡输入时，误差系数=K=KK1 sse I I 型系统，抛物线输入时，误差系数型系统，抛物线输入时，误差系数=

50、0=0 I I 型系统，斜坡输入时，输出可跟随型系统，斜坡输入时，输出可跟随输入，但存在误差输入，但存在误差 稳态误差无穷大（输出不能跟随输入稳态误差无穷大（输出不能跟随输入） sse系统开环传递函数系统开环传递函数中含一个积分环节中含一个积分环节)s(GlimK0sPII II 型系统型系统K)s(SGlimK0sK)s(GSlimKa20s2121)1( )1()(niimjjSSSKsG II II 型系统，阶跃输入时误差系数无穷大型系统，阶跃输入时误差系数无穷大0sse II II 型系统，阶跃输入时没有稳态误型系统，阶跃输入时没有稳态误差差 输出最终等于输入输出最终等于输入 II I

51、I 型系统，斜坡输入时误差系数无穷大型系统，斜坡输入时误差系数无穷大K1 sse II II 型系统，抛物线输入时，误差系数型系统，抛物线输入时，误差系数=K=K II II 型系统，斜坡输入时，输出完全型系统，斜坡输入时，输出完全跟随输入，没有稳态误差跟随输入，没有稳态误差 输出可跟随输入，但存在稳态误差输出可跟随输入，但存在稳态误差0 sse系统开环传递函数系统开环传递函数中含两个积分环节中含两个积分环节给定输入给定输入给定稳态误差的终值给定稳态误差的终值0 0型系统型系统I I型系统型系统IIII型系统型系统r(t)r(t)1/(1+k)1/(1+k)0 00 0t t1/K1/K0 0

52、t t2 2/2/21/K1/K三种典型输入下对应于三种典型输入下对应于“0”“I”“II”0”“I”“II”型三种系统型三种系统有九种情况，误差的计算公式列表如下：有九种情况，误差的计算公式列表如下：二二 给定稳态误差级数的计算给定稳态误差级数的计算 说明：当不能使用终值定理（如：正弦输入下）或很难说明：当不能使用终值定理（如：正弦输入下）或很难求的时候，用求的时候，用 稳态误差级数的计算稳态误差级数的计算 二、给定稳态误差级数的计算：二、给定稳态误差级数的计算： FdtrdtrdtrtetrntrtrtrtrdtrttesRssRsGsEettteernnnterer)(! 2)()()(

53、)()()()(!) 1()(! 2)()()()()()()()()()(11)0200)(20卷积分：（oedc)(0oedc)(1oennndc)() 1( )(! 3)(! 2)()()(3210trctrctrctrctesssssr表达式：000010000)(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(FFFsennnseseeseseesdsdcsdsddedsddcsdedc三三.扰动稳态误差终值的计算扰动稳态误差终值的计算 理想情况下理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用系统对于任意形式的扰动作用,其其稳态误差应当为稳态误差应当为0,但实际上这是不可能的。但实际上

54、这是不可能的。 如果输入信号如果输入信号R(s)=0,仅有扰动仅有扰动N(s)作用时作用时,系系统误差为统误差为:)()()()(1)(lim)()()()(1)()(2120212sNsHsGsGsGsesNsHsGsGsGsEsss四、扰动误差级数计算四、扰动误差级数计算 FdtndtndtntetnntntntntndtnttesNssNsGsGsGsCntttnnnnnntnnnn)(! 2)()()()()()()(!) 1()(! 2)()()()()()()()()()()(1)()0200)(20212卷积分：（ )(! 3)(! 2)()()(3210tnBtnBtnBtnB

55、tesssssn000010000)(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(FFFsnnnnsnsnnsnsnnsdsdBsdsddedsddBsdedB减少稳态误差的方法减少稳态误差的方法提高系统的型号提高系统的型号,增大系统的开环增益增大系统的开环增益,都会提高系统的精度都会提高系统的精度,但但这样又会降低稳定性这样又会降低稳定性,必须综合考虑。必须综合考虑。 例例1:某控制系统的结构图为某控制系统的结构图为 试分别求出试分别求出H(s)=1和和H(s)=0.5时系统的稳态误差。时系统的稳态误差。12102ss)(sH)(sC-)( 15)(ttr解解:当当H(s)=1时时

56、,系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为则系统稳态误差则系统稳态误差当当H(s)=0.5时时,0,10,1210)(2ksssG115101510kRess3555 . 015 . 0121011lim)()(lim200sssssRssesersss 若上列在若上列在H(s)=1时时,系统的允许误差为系统的允许误差为0.2,问问开环增益开环增益k应等于多少应等于多少? 当当 时时,上例的稳上例的稳态误差又是多少态误差又是多少? 因为因为0型系统在速度输入和加速度输入下的型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大稳态误差为无穷大,根据叠加原理根据叠加原理,ess=2412 .051,1

57、00sssseRkkRe则1)(,21)( 1)(2sHttttr 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引实质上就是扰动引起的稳态输出的负值起的稳态输出的负值,它与开环传递函数它与开环传递函数 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号及扰动信号N(s)有关有关,还还与扰动作用点的位置有关。与扰动作用点的位置有关。r(t)=0-C(t)12Tsk)( 1)(0tMtn0ksk1(a)r(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn0ksk1(b)000210210021020)1(1)1(lim:)(0)1(11lim:)(kMsMTsskkkTsskksebsMTsskkkTskseassssss中中)11(00sTk0kr(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn)11 (00s