2002考研数三真题及解析

1、2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分，把答案填在题中横线上)n(1)设常数a-，则limIn2nn(12a)1y11交换积分次序：04dy'f(x,y)dxfdyyf(x,y)dx4122T(3)设三阶矩阵A212，三维列向量a,1,1.已知A与线性相关，则304(4)设随机变量X和Y的联合概率分布为-10100.070.180.1510.080.320.20则X2和Y2的协方差cov(X2,Y2)(5)设总体X的概率密度为f(x;)e(x),若x0,若x的矩估计量为而X1,X2,-，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数二、

2、选择题(本题共5小题,每小题3分，共15分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数f(x)在闭区间a,b上有定义，在开区间(a,b)内可导，则()(A) 当f(a)f(b)0时，存在(a,b),使f()0.(B) 对任何(a,b),有limf(x)f()0.(C) 当f(a)f(b)时，存在(a,b),使f()0.(D) 存在(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).设幕级数bnX1n的收敛半径分别为1与-，则幕级数32里，xn的收敛半1b2n径为(A)5(B)1(C)31(D)5n矩阵，B是nm矩阵,则线性方程组AB(A)当n(C

3、)当mm时仅有零解n时仅有零解(B)当n(D)当mm时必有非零解n时必有非零解设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A的属于特征值的彳T特征向量，则矩阵P1AP属于特征值的特征向量是(A)P1(B)PT(C)P(D)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则()(A)XY服从正态分布(B)X2Y2服从2分布(C)X2和Y2都服从2分布(D)X2/Y2服从F分布三、(本题满分求极限xu2arctan(100'limx0t)dtdux(1cosx)四、(本题满分四、(本题满分设函数Uf(x,y,z)有连续偏导数，且zz(x,y)由方程xexyeyzez所确定，求du.五、(本

4、题满分设f(sin2x)J,求f(x)dx.sinxV1x六、(本题满分7分)2设u是由抛物线y2x和直线xa,x2及y0所围成的平面区域；D?是由抛物线y2x2和直线y0,xa所围成的平面区域，其中0a2.(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2；(2)问当a为何值时，MV2取得最大值？试求此最大值七、(本题满分7分)3x(1)验证函数y(x)1-3!6x6?93nxx9!3n!xyyye(2)利用(1)的结果求幕级数3nx.的和函数.x满足微分方程no3n!八、(本题满分6分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)0.利用闭区间上连续函数性

5、质，证明存在bb一点a,b,使f(x)g(x)dxf()g(x)dx.aa九、(本题满分8分)设齐次线性方程组ax1bx2bx3bXn0,bx1ax2bx3bXn0,bx1bx2bx3aXn0,其中a0,b0,n2，试讨论a,b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A22A0,已知A的秩r(A)2(1) 求A的全部特征值(2) 当k为何值时，矩阵AkE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵、(本题满分8分)假设随机变量U在区间假设随机变量U在区间2,2上服从均匀分布，随机变量1,若U1,若U1

6、Y-1，若U11;1,右U1;试求：X和Y的联合概率分布；D(XY).十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间E(X)为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题1（1）【答案】12a【详解】“In”里面为“1”型，通过凑成重要极限形式来求极限limInnn2na1n(12a)limIn1nn(12a)Tn(12a)limn1In12an(12a)n(12a)1Ine2a112a1【答案】02d

7、xxx2f(x,y)dy【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域D1与D2,将它们的并集记为D.04dy/f(x,y)dxfdy41yf(x,y)dxf(x,y)dD再将后者根据积分定义化为如下形式1，即x从0一22，沁%x，所以f(x,y)d12dx0x2f(x,y)dy.【答案】1【详解】122aaA21212a330413a4由于A与线性相关，（两个非零向量线性相关，则对应分量成比例）,所以有2a312a31込'，得2a33a4,a11.aaaka即2a3k1，得2a3k,得a1.(k1)3a413a4k或Ak,(k0）（两个非零向量线性相关【答案】0.02.，则其中一个

8、可以由另一个线性表出【详解】1分布的期望值恰为取1时的概率p.由离散型随机变量X和Y的联合概率分布表可得X2的可能取值为0和1且Y2的可能取值也为0和1,且X和Y的边缘分布为；P1；故有X01Y1010.40.6PX222X、Y和XY都是01分布，而00,Y20PX0,Y00.18,22PX20,Y21PX0,Y1PX0,Y10.070.150.22,PX21,Y20PX1Y00.32,PX21,Y21PX1,Y1PX1,Y10.080.200.28,而边缘分布律:PX20PX00.4,P2X1PX10.6,PY20PY00.5,PY21PY1PY1所以，（X，丫）的联合分布及其边缘分布为由上

9、表同理可求得X2Y2的分布律为0100.180.220.4010.320.280.600.500.501x2丫201P0.720.28所以由01分布的期望值恰为取1时的概率p得到：E(X2)0.5，E(Y2)0.60,E(X2Y2)0.28EXX，即cov(X2，Y2)E(X2Y2)E(X2)E(Y2期望E(X)xf(x)dxxe(x)dx1样本均值n1XXini1【答案】X1.【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩（样本均值）来估计总体的一阶原点矩（期望）用样本均值估计期望有n1Xi,i1解得未知参数的矩估计量为二、选择题(1)【

10、答案】(B)【详解】方法1:论证法由题设【详解】方法1:论证法由题设f(x)在开区间(a,b)内可导，所以f(x)在(a,b)内连续,x(1,1),不满足罗尔中值定理x(1,1),不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论.故选(B)【答案】(D)因此，对于(a,b)内的任意占八、必有limxf(x)f().即有limf(x)f()x0故选(B).方法2:排除法.(A)的反例：f(X)1x(a,b,有f(a)11,f(b)1,f(a)f(b)10,xa但f(x)在(a,b)内无零点(C)与(D)的反例,fxx(1,1(x)1x1f(1)f(1)1,但f(x)1(当【详解】方法1:A

11、是mn矩阵,B是nm矩阵，则AB是m阶方阵，因r(AB)min(r(A),r(B).当mn时，有r(AB)min(r(A),r(B)nm.(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组ABx0必有非零解，故应选(D).方法2：B是nm矩阵，当mn时”则r(B)n,(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组Bx0必有非零解，即存在x00,使得Bx00,两边左乘A,得ABxo0,即ABx0有非零解，故选(D).【答案】(B)【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A,A是n阶实对称矩阵，故T1TAtA设P1APB,则TT1TT1TTT1BPtAtP1PtAP1PtA(Pt)1T1t上式左乘P右乘P，

12、得1(PT)1BPt(Pt)1PtA(Pt)1Pt，即APTBPt,所以A(Pt1BPt)1两边左乘PT,得(PTPTBPt)Pt()得B(Pt)PT1t根据特征值和特征向量的定义，知B(PAP)的对应于特征值的特征向量为PT,即应选(B)方法2:逐个验算(A),(B),(C),(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义,A,A是n阶实对称矩阵，故AtA.设P丁属于特征值的特征向量1T1TTT1tT1t为，即PAP，其中PAPPAPPAP对(A),即令P1，代入PtAP1(P1)P1对(B),PtAP(Pt)PtA(PfPT)PtA(Pt)1Pt)PtA(Pt)成立.故应选(B).

13、【答案】C【分析】(i)2变量的典型模式是：2X；X；X2,其中Xi要求满足：Xi相互独立,X-N(0,1).称2为参数为n的2变量.X/n(ii)F变量的典型模式是：F,其中X,Y要求满足：X与Y相互独Y/n2立，X2(m),Y2(n2),称F为参数为n仆压的F变量.【详解】方法1:根据题设条件，X和Y均服从N(0,1).故X2和Y2都服从2(1)分布，答案应选(C).方法2：题设条件只有X和Y服从N(0,1),没有X与Y的相互独立条件.因此，X2与Y2的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确.题中条件既没有X与Y独立,也没有(X,Y)正态，这样就不能推出XY服从正态分布的选项(A).根

14、据排除法，正确选项必为(C).三【详解】xu2xu2arctan(1t)dtduarctan(1t)dtdu等limx0x(1cosx)x20arctan(1t)dtarctan(1洛lim-洛lim'x03x0x2)2x3x四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分.dufidxfzdyfsdzz（x,y）由xexyeyzez所确定，两边求全微分，有d(xexyey)d(zez)d(xex)d(yey)d(zez)eydyzeMzezdz,解出dzex(x1)dxey(yez(z1)1)dy所以duf1dxf2dyf3ex(xf1ex(x1)f3z/e(z1)dx方法2:uxf1

15、f3二xuf5'2yf3三yxexdxexdxyeydy,(设z10).2F面通过隐函数求导得到1)dxey(y1)dyez(z1)打dye(z1)（根据多元函数偏导数的链式法则xxe得二xxxezze再代入duxyxeyezez两边对x求偏导数，有x*，(设zedxx10）类似可得上yxx()，zeeyeyezzedy中，得yyz，代入一u，u表达式exyyy(U，eedufex(x1)f3T(亍(z1)dxfey(y1)f3眉6dy-arcsinu（通过换元求五【详解】首先要从f（sin2x）求出f（x）.sinx命usin2x,贝V有sinx",xarcsin.u,于是

16、f（u）出函数的表达式）六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:yf(x)(ab),f(x)0与直线f(x)dx.1x、xarcsinx,dx,1x1Xarcsin,x,dx.1xcsint2sincosttcostdt（换兀积分法）tsintdt2tcostsintC（分部积分法）2,1xarcsin、x,xCbf(x)2dx.【详解】（1）V22x2a2dxV222a*2a4(3252a2a5)x2dya40(2)VV14（3255a)a4dV4a3(1a)=0,da得a1.当0a丄dV0,当1dV1时a2时dada极大值点所以是V的最大值点,ma

17、xV12953693n七【解】(1)y(x)1£xxx36!9!(3n)!冷0,因此1由收敛半径的求法知收敛半径为根据一元函数最值的求法要求驻点1是V的唯一极值点且是3nxn1(3n)!，故由幕级数在收敛区间上逐项可导公式得(13nX)3nx3nx3n0，其特征根为3n1Xy115n1(3n)!7n1(3n)!n1(3n)!n1(3n1)!xe2C1cosx2n2同理得yxn1(3n2)!3n23n13n从而y(x)y(x)y(x)(X)(X)(1X)nn1(3n2)!n1(3n1)!n1(3n)!Xx1（由e的麦克劳林展开式）nin!这说明，y（x）n3nx是微分方程yyy0(3n

18、)!ex的解，并且满足初始条件y(0)i03n(3n)!1，y(0)丄0.n1(3n1)!（2）微分方程yex对应的齐次线性方程为yy0,其特征方程为i,所以其通解为2ye2C1cosx2C2Sid2x.另外,该非齐次方程的特解形式为ycex,代入原非齐次方程得cexcexcexex,所以c丄故微分方程y3xye的通解为C2sinx2x2GcoC2sin3x2C1_32.3sin23厂.C2cosx2由初始条件x2(C22C1Xe2(G2C2y(0)1,y(0)031e2Gcos0Gsin2100-e22(C2J_02C1吨10_e3130e2(C12C201e0C2解得于是得到惟一的一组解:

19、于是得到惟一的一组解:Ci-,C20.从而得到满足微分方程3ex及初始条件y(0)1,y(0)0的解,只有一个，为y2e2cosx1ex323另一方面，由(1)已知y(x)另一方面，由(1)已知y(x)3nXn0(3n)!也是微分方程yyex及初始条件y(0)1,y(0)0的解，由微分方程解的唯一性，知x3nx3nn1(3n)!2 仔31x/ecosxe(3 23)八【详解】方法1:因为f(x)与g(x)在a,b上连续所以存在x1x?使得f(xjMmaxf(x),f(x2)mminf(x),xa,bxa,b满足mf(x)M.又g(x)0,故根据不等式的性质mg(x)f(x)g(x)Mg(x)根

20、据定积分的不等式性质有bbbmg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx,aaa所以f(x)g(x)dxbg(x)dx由连续函数的介值定理知，存在a,b,使f(baf(x)g(x)dxabag(x)dx即有baf(x)g(x)dxf(b)ag(x)dx方法2：因为f(x)与g(x)在a,b上连续,且g(x)0,故bbf(x)g(x)dx与g(x)dx都存aab在，且ag(x)dx0.baf(x)g(x)dx记-ag(x)dxh汙是f(x)g(x)dxhbag(x)dxbhg(x)dx,即a因此必存在ba(f(x)h)g(x)dx(a,b)使f()h不然，则在(a,b)内由连续函数的零点定理

21、知要么f(x)h恒为正，从而根据积分的基本性质得ba(f(X)h)g(x)dx0；要么f(x)b恒为负，同理得(f(x)ab恒为负，同理得(f(x)abh)g(x)dx0,均与(f(x)ah)g(x)dx0不符由此推知存在(a,b)使f()h，从而存在(a,b)使f()h，从而f(x)g(x)dxbf()g(x)dxaabbb2行1行abbb3行1行babbbaab00n行1行Abbabba0ab0bbbaba00ab九【详解】方法1：对系数矩阵记为A作初等行变换1,AX0的同解方程组为x,x2当ab(0)时,rAxn0，基础解系中含有n1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取X

22、2,X3,.,Xn为自由未知量，分另取x21,x30,.,xnX20,X31,.,Xn0X20,X30,.,Xn1得方程组n1个线性无关的解TTT11,1,0，,0,21,0,1,0，,0，n11,0，0,1为基础解系，方程组AX0的全部解为Xk11k22kn1n1,其中k（i1,2，n1）是任意常数.abbbbaab0rr0Aba0ab.0ba00rra1行2行ba(n1)b001行3行b1011行n行b101-0003行/(ab)n行/(ab)11001010b10012行/(ab)abbb100-1(n1)b时，Aa(n1)b(n1)b时，Aa(n1)b0,r(A)n,AX0仅有零解.当

23、a(n1)b时,rAn1,AX0的同解方程组是X1X20,X1X30,X1Xn0,1,得方程组1个非零基础解系中含有1个线性无关的解向量，取X,为自由未知量，取X,T解1,1,1,即其基础解系，故方程组的全部解为Xk,其中k是任意常数.方法2:方程组的系数行列式abAbbb把第2,.,n列b加到第1列a(n1)ba(n1)ba(n1)ba(n1)bbbabbabbbbba1bb1ab提取第1列的公因子a(n1)b1ba1bb第2行第1行1bb第3行.0ab0-第1行:a(n1)b00ab第n行-第1行:000a(n1)b(ab)n1bbbab00ab(1)当ab且a(n1)b时，A0,r(A)

24、n方程组只有零解.当ab(0)时,aaaa第2行第1行aaa"a第3行第1行Aaaaa第n行第1行aaaaaaaa1111000010第1行_00000000000;a:00000000方程组的同解方程组为为X2Xn0基础解系中含有n1个（未知数的个数-系数矩阵的秩）线性无关的解向量,取X2,X3,.,Xn为自由未知量，分别取X21,X30,.,Xn0,X20,X31,.,Xn0,X20,X30,.,Xn1得方程组n1个线性无关的解T1,1,0，,0,2T1,0,1,0，,0Tn11,0，0,1为基础解系，方程组AX0的全部解为Xk11k22kn1n1,其中k（i1,2，n1）是任意

25、常数.(1)当a(n1)b(b0)时,(1n)bbbbb(1n)bbbAbb(1n)bbbbb(1n)b1n11I.I.1/一1n11.J111,2,.n行2行1仃分别111n11/一nn00b3行1仃111n1:n0n0:n行1行:1111nn00n1n11100002,.,.,n行1100把第2,.,n行都110011010101.0分别1-依次加到第1行rnr10011001rAn1,其同解方程组是捲x20,XiX30,Xixn0,基础解系中含有1个线性无关的解向量，取x1为自由未知量，取X11,得方程组1个非零解1,1,1T,即其基础解系，故方程组的全部解为Xk,其中k是任意常数.十【详解】（1）设是A的任意特征值，是A的属于的特征向量，根据特征值、特征向量因为A是实对称矩阵，所以必相似于对角阵，且的主对角线上元素由A的特征值组的定义，有A,0,两边左乘A，得A2A2+2*得A22A22因A22A0,20，从而上式A2A220所以有220,故A的特征值的取值范围为0,2.成，且r(A)r()2,故A的特征值中有且只有一个0.(若没有0,则22，故r(A)r()3与已知矛盾；若有两个0,则220，故0r(A)r()1与已知矛盾；若三个全为0,则故00,故r(A)r()0与已知矛盾).0即A有特