2012考研数三真题及解析

1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上X2X(1)曲线y渐近线的条数为()x1(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】：CX2X【解析】：lim2，所以x1为垂直的x1x21di1,所以y1为水平的，没有斜渐近线故两条选C(2)设函数f(x)(ex1)(e2)(enxn),其中n为正整数，则f(0)(A) (1)n百1)!(B) (1)n(n1)!(C) (1)n1n!(D) (1)nn!【答案】：C【解析】：f'(x)ex(e2x

2、2)(enxn)(ex1)(2e2x2)(enxn)(ex1)(e2x2)(nenxn)'n1所以f(0)(1)n!(3)设函数f(t)连续，则二次积分2d02cosf(r2)rdr=()(A)2dx0(B)2dx0(C)2dx04x2:?2xx24X£22f(x22xx2、x21t；：2xx2.x2y2f(x22y)dy4x2(D)20dx12xx2y2)dyx2y2f(x2y2)dyf(x2y2)dy【答案】：（B）【解析】：由x、_X2y2解得y的下界为2xx2，由x2y22解得y的上界为4x2.故排除答案（C）（D）.将极坐标系下的二重积分化为X型区域的二重积分得到被

3、积函数为f(x2y2),故选(B)（4）已知级数1(1)n.nsin绝对收敛，i1ni1）条件收敛，则范围为（(A)0(B)(D)121322【答案】：（D）【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p级数的收敛性结论1)nnsin绝对收敛可知条件收敛可知n2,故答案为（D）0011（5）设10,；21,31,41其中G,C2,C3,C4为任意常数，则下列向量组线性相关的C1C2C3C4是（）(A)1,2>,3(B)1,2，4i1(C)1,3,4【答案】：（C）【解析】：由于1,3,4(D)2,3,401111011C

4、1110,可知1,3,4线性相关。故选（C）ClC3C41（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵,且P1AP1,P21（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵,且P1AP1,P2,Q则Q1AQ()22(C)1(D)221【答案】：(B)100100【解析】：QP110则Q1110P1001001(A)21(B)12（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间0,1上的均匀分布，则PX2Y21（10010010011001故Q1AQ1110PAP1101101110100100100120012故选（B）。/A、11（A）（B）（C）（D）-4284【答案】：（D）【解析】：由题意得x,yfxxf

5、Yy1,0x1,0y1,0,其它.PX2Y21=Dx,ydxdy,其中D表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是1,故根据二重积分的几何意义，知PX2Y21二一,故选（D）4Xx0的简单随机样本,则统计量区F的分布（8）设X1,X2,X3,X4为来自总体N1,（）（A）N0,1(B)t1(C)21（D）F1,1【答案】：（B）【解析】：从形式上,该统计量只能服从t分布。故选B。具体证明如下:X1X2X3X42由正态分布的性质可知Xi_X2与X3_X4_2均服、22从标准正态分布且相互独立XiX2，可知、填空题：914小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上1(9)limtanxc

6、osxsin1tanxtan44x4【解析】：1limtanxcosxsinxx4【答案】：e2xe4lim1tanx1cosxsinxlimx411tanxtan=lim4cosxsinxxcosx4sinxtanxtan=limx4x1tanx*tan442sinx4=limx4tanx11所以limtanxcosxsinxlim1cosxsinx(10)设函数f(x)In.x,x1,y2x1,x1f(x),求dL【答案】：4【解析】：dydxxof'f(x)f'f(0)f'(0)f'1f'(0)由f(x)的表达式可知f'0f'(1)

7、2,可知签。(11)函数zf(x,y)满足limf(x,y)2L_L20,则dz(0i):0；x2(y1)2，【答案】：2dxdy【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即f(x,y)2xy2o(.x2(y1)2),所以专©1)所以专©1)2,Zy(0,1)1,故dz(0,1)2dxdy4(12)由曲线y和直线yx及y4x在第一象限中所围图形的面积为?x设A为3阶矩阵，A3,A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则【答案】：4ln2【解析】：被积函数为1的二重积分来求，所以S42y4亍33dyydxdyyd

8、x4ln24ln2024422*BA。【答案】：-27【解析】：由于BE12A,故BA*E12AA*|A|E123E12,所以,|BA*|3E12|33|E12127*(1)27.1 1(14) 设A,B,C是随机事件，A,C互不相容,P(AB)-,P(C),则P(ABC)。2 33【答案】：34PABC【解析】：由条件概率的定义,PABCPC其中pC1pc11233PABCPABPABC1PABC，由于A,C互不相容，即AC,PAC0,又213ABCAC，得PABC0，代入得PABC一，故PABC24三、解答题：1523小题，共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或

9、演算步骤（15）（本题满分10分）计算limx022cosxe4x【解析】xelimx022cosxe4x22cosx,limelimx0x0x222cosxe（16）（本题满分10分)叫IK2xlimx04x+0122x24xx44!2x（泰勒公式）x2=xm计算二重积分exxydxdy，其中D为由曲线yD【解析】：由题意知，区域D（x,y）|0x1,依所以exxydxdylimx0D1dx01.xexxxydy1xex01dx如图所示_A.x与y=所围区域。Vx12xdxl|im2x0him2x0l|im2x0l|im2x0him2x01exdxxx2dx0exxdx1xdex0e(e1e

10、xdx0，设该企业x一一（万兀/22）3）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。x52【解析】：1）设成本函数为C（x,y），由题意有:Cx(x,y)20对x积分得,C(x,y)20xD(y),再对y求导有,Cy（x,y）D(y)y,再对y积分有，D（y）6y所以,C(x,y)20x6ygy又C(0,0)10000,故c10000,所以C(x,y)220x46y与1000022)若xy50,则y50x(050），代入到成本函数中，有C(x)20xx2xr6(50x)-(50x)210000

11、2（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元）生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y件），且固定两种产品的边际成本分别为20件）与6y（万元/件）。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C（x,y）（万元）36x115503所以，令C（x）3x360，得x24,y26,这时总成本最小C(24,26)111183）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为Cx（24,26）32,表示在要求总产量为甲产品为24件,这时要改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。50件时，在（18）（本题满分10分）1x证明：xln1xcosx2t,1【解

12、析】：令xlnl1xcosx21亠,可得2ln1xInIn所以xlnsinxx1xrx1xrx2x.2sinxx1x21x22X1xsinx1x1时，有ln1x1J1,所以112xxsinx0,x0,而f0,即得xln11cosx2x021xcosxx10,有In-0,12x2x1，所以1x21x2*xsinx0,0,即得xln11cosx1可知，xln-1xcosxx（19）（本题满分10分）已知函数f(x)满足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2ex1）求表达式f（x）2）求曲线的拐点y2t)dt【解析】：1）特征方程为r20,特征根为A1,22,齐次微分方程f(x)f(x

13、)2f(x)0的通解为f(x)C1exC2e2x再由f(x)f(x)2ex得2C1exC2e2x2ex,可知C11,C20。故f(x)ex2）曲线方程为令y''0得x当x0时,2xx2Xt22xee0dt,y''2x212x22xeXt2edt00唯一的解，我们来讨论y''在x0和x0时的符-0,可知y''0；当x0时,2x0,212x22xe0。为了说明x0是y''x2xt2e°edt,则y'12x2xt20,212x2ex。宀Xt2etdt0,可知y0。可知x0是y0唯一的解。2X2同时,由上

14、述讨论可知曲线yf（x）of（t）dt在X0左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线2x2yf(x)0f(t)dt唯一的拐点。Axb有无穷多解，求a,并求Axb的通解。【解析】：（10a10a001a0I)101a001a001a0011a0011a001a0101a001a0001a00100a0(n)1a00101a01001a00001a4a2a可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有1110此时，原线性方程组增广矩阵为011001000（n）已知线性方程组a00a(1)411a01a401a011a0010101a01a0001a01a003a12aa01100101，进一步化为行最简

15、形得010110001100000042.a0及aa0，可知a1。01001011可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为11，故其通解为01k11011011可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为11，故其通解为01k1101线性方程组Axb存在2个不同的解，有|A|0.0100（20）（本题满分10分）1a001沁01a01设A,b001a0a0010(I)求A111%当1时，000X2111X3X0,显然不符，故1（21）（本题满分（21）（本题满分10分）三阶矩阵A101011,A为矩阵A的转置,已知r（AtA）2,且二次型10afxTAAx。1) 求a求二次型对应的二次型矩阵，

16、并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1)由r(ATA)r(A)2可得，101011a10a110a202x1fxTATAxx-i,x2,x3022x22)224X32222x12x24x34x-ix24x2x3202则矩阵B022224202EB022260224解得B矩阵的特征值为：1022；361对于10，解1EBX0得对应的特征向量为：1111对于22，解2EBX0得对应的特征向量为：2101对于36，解3EBX0得对应的特征向量为：313单位化可得:116；2>（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：（1）PX2Y；（2）COVXY,Y与【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12（1）PX2YPX0,Y0（2）covXY,YcovX,YcCOVX,YEXYEXEY，其中EX252DYEY2EY-1,EXY33所以,covX,Y0,covY,YDY（23）（本题满分10分）Y,Y222,EX1,E