2013考研数二真题及解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题，只有一项符合题目要求的，请将一、选择题：18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，则当X0时，(X)是()2(B)比X低阶的无穷小(D)与X等价的无穷小，则当X0时，(X)是()2(B)比X低阶的无穷小(D)与X等价的无穷小所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)设COSX1xsin(x),其中|(x)(A)比X高阶的无穷小(C)与X同阶但不等价的无穷小(2)设函数yf(x)由方程ccxi-j-lnT-确定，则limnf(2)1n()(A)2(B)1(C)1n(D)2(3)设函数sinx,0xXf(x)=F(x)f(t)dt,则

2、()2,x20(A)X是函数F(x)的跳跃间断点(B)X是函数F(x)的可去间断点(C)F(x)在X处连续但不可导(D)F(x)在X处可导7，1xe(4)设函数f(x)=(X1)，若反常积分11，xexlnxf(x)dx收敛，则(A)2(B)2(C)2(5)设zf(xy),其中函数f可微，则-Z()xyxy(A)2yf(xy)(B)2yf(xy)(C)-2f(xy)(D)-f(xy)XX(6)设Dk是圆域D(x,y)|x2y21在第k象限的部分，记Ik(yx)dxdy(k1,2,3,4),则()Dk(C)I30(D)I40(A)I10(B)I20(7)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC,则

3、B可逆，则(A) 矩阵C的行向量组与矩阵矩阵C的列向量组与矩阵(B) 矩阵C的行向量组与矩阵矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价A的列向量组等价B的行向量组等价B的列向量组等价1a1200（8）矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为1a1000（A）a0,b2（B）a0,b为任意常数（C）a2,b0（D）a2,b为任意常数二、填空题:914小题,每:小题4分，共24分,请将答案写在答题纸(9)lim(21ln(1x)卩xx(10)设函数f（x）A11etdt,贝Vyf(x)的反函指定位置上数xf1（y）在y0处的导数dxdy(11)设封闭曲线L的极坐标方程为rcos3（6計则L所围成的平面图

4、形的面积x(12)曲线yarctantIn.1t2上对应于t1的点处的法线方程为(13)已知y13x2xexe,y22x2xxe,y3xe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,该方程满足条件y1的解为y(14)设A(aij)是阶非零矩阵,|A|为a的行列式，Aj为可的代数余子式,若aijAj0(i,j1,2,3),则A三、解答题：1523小题，共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分10分）0时,1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。(16)（本题满分10分）1设D是由曲线yx3,直线xa（a0）及x轴所围成的

5、平面图形,Vx,Vy分别是D绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx,求a的值。（17）（本题满分10分）设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成计算x2dxdy。D（18）（本题满分10分）设奇函数f（x）在1,1上具有二阶导数，且f（1）1证明：(0,1),使得f()f()1。（I）存在（0,1）,使得f（）1；（II）存在（19）（本题满分11分）求曲线x3xyy31（x0,y0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（20）（本题满分11分）1设函数f（x）lnx,x（I）求f（x）的最小值（II）设数列xj满足lnxn（II）设数列xj满足lnxnXn1证明limX

6、n存在，并求此极限n（21）（本题满分11分）12设曲线L的方程为y丄乂24（1）求L的弧长；（21）（本题满分11分）12设曲线L的方程为y丄乂24（1）求L的弧长；丄lnx2(1xe),（2）设D是由曲线L，直线（2）设D是由曲线L，直线x1,xe及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。(22)（本题满分11分)1a10，B1a10，B1，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAbB,并求所有矩阵C。(23)（本题满分11分)ai设二次型fX“X2,X3a?X2a3X32biX11X2103X3，记a2a3b1b2。b3（I）证明二次型f对应的矩阵为（II）若，正交且均为单位向量（II）若

7、，正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y：2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案、选择题：18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中、选择题：18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)设cosx1xsin(x)，其中(x)(1)设cosx1xsin(x)，其中(x)（A）比x高阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小【答案】（C）sin（x）cosx1【解析】因为limlim2x0x0x，则当x0时，（x）是（2（B）比x低阶的无穷小（D）与x等价的无穷小

8、丄所以limsin(x)2x00,因此当x0时，（x）0,所以sin（x）(x),所以limsin(x)x0limx(x)0x所以（x）是与x同阶但不等价的无穷小。(2)设函数yf(x)由方程cos(xy)Inx1确定则limnn2f()n（A）2（B）【答案】（A）1(C)1(D)2【解析】由于f（0）1,所以limnf(-)nnf(2)f(0)n2f(0)ilim2n25n对此隐函数两边求导得(yxy)sin(xy)10,所以f(0)1,故limnynf(-)1n（3）设函数f（x）=sinx,2,0xx2，xF(x)0f(t)dt,则()（A）x是函数F（x）的跳跃间断点(B)x是函数F

9、（x）的可去间断点(C)F(x)在x处连续但不可导(D)F(x)在x处可导【答案】（C）xxsintdt1cosx,0x【解析】F（x）of(t)dt0x5sintdt02dt2(x1),x2由于limF(x)limxxiF(x)2,所以F（x）在x处连续；2。limxF(x)F()xlimxx1COSX0,limxF(x)F()limJXx所以F(x)在x处不可导。(4)1设函数f(x)=(xD11q,xln2,xe,若反常积分f(x)dx收敛，则(A)【答案】2(D)(B)(C)2(D)【解析】f(x)=1(x1)xln1x因为f(x)dxe1f(x)dxe时，1f(x)dx要使要使lim

10、(5)f(x)dx,1dx1(x1)12存在,需满足(1)2dxxlnx1、)存在,需满足lndlnxeln-f(xy),其中函数f可微，则x(A)2yf(xy)(B)2yf(xy)【答案】(A)【解析】已知f(xy),所以x所以-yxy1-f(xy)yf(xy)x(x11)彳dx厂(e1)lim(ln所以0(C)if(xy)f(xy)(6)设Dk是圆域22D(x,y)|xy2(D)-f(xy)x(xy),1(-f(xy)yf(xy)x1在第k象限的部分2yf(xy)。,记Ik(yx)dxdy(k1,2,3,4),则DkA的行向量组等价A的列向量组等价B的行向量组等价B的列向量组等价C的列向量

11、组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为(B）。1a12（8）矩阵aba与01a10列向量组也可以由00b0相似的充分必要条件为00(7)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则()（A）Ii0(B)丨20（C）I30（D）I40【答案】（B）【解析】令xrcos，yrsin，则有11Ik（yx）dxdyrdr（rsinrcos）d-（cossin）Dk03故当k2时，J，此时有I220.故正确答案选B。23(A) 矩阵C的行向量组与矩阵(B) 矩阵C的列向量组与矩阵(C) 矩阵C的行向量组与矩阵(D) 矩阵C的行向量组与矩阵【答案】(B)【解析】由CAB可知C的列向量组可

12、以由A的列向量组线性表示，又B可逆,故有ACB1，从而A的(A) a0，b2(B) a0，b为任意常数(C) a2，b0(D) a2，b为任意常数【答案】(B)1a11a1200【解析】由于aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而aba与0b0相似的充1a11a1000分必要条件为1a1aba的特征值为2,b,001a1a1ba(b)(2)2a2,从而a0,b为任意常数a1叱1ln(!凶)limxx0x叱1ln(!凶)limxx0x1ln(1X)limXx0X11(1-xo(x)limx0x、填空题：914小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上(9)lim(21ln(1

13、x)尸xx1【答案】e2ln(11ln(1x)lim一x【解析】原式=ex0x1因此答案为e2.(10)设函数f(x)X.1etdt1f(x)的反函数xf1(y)在y0处的导数d；y。【答案】【解析】dxdy1exexlx(11)设封闭曲线L的极坐标方程为rCOS3(6为.【答案】126),则l所围成的平面图形的面积1-2【解析】所围图形的面积是S6cos23d26cos6,d212x(12)曲线yarctantIn口上对应于t1的点处的法线万程为【答案】yxIn,2041t【解析】W-12一Lt仁叫i1,dx1dx1t2当t1时,x,yIn<2,故法线方程为yxIn、20.44(13)

14、已知e3xxe2x,y2exxe2x,y3xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件yx00yx01的解为y.【答案】ye3xexxe2x【解析】由题意知：e3x,ex是对应齐次方程的解，xe2x是非齐次方程的解，故非齐次的通解为3xyGe3xC2exxe2x,将初始条件代入，得到G1G1,故满足条件的解为3xxyee2xxe。(14)设A(aj)是三阶非零矩阵，|A|为aijAij0(i,j1,2,3),则A【答案】1【解军析】由ayAj0可知，ata*Aai1Aiai2!A2ai3Ai3a1jA1ja2jA2ja3jA332aij32aijj1A的行列式，A”为q的代

15、数余子式,若i1从而有AAt2A,故A=-1.三、解答题:1523小题，共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)当x0时,1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。【解析】因为当x0时,1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小所以讪1cosxcos2x込於1x0ax又因为:1cosxcos2xcos3x1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)卄1cosxcos2xcos3x1cosxcosx(

16、1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)即lim-limx0axx0axmoHXcosxnaxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)naxnax12xo(x)lim(2x0122-(2x)2o(x2)所以nnax且丄2anaxA1a2a122-(3x)2o(x2)2)nax(16)（本题满分设D是由曲线y42a10分）1x3,直线xa（a0）及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy1CMx,求a的值。【解析】由题意可得:1a0(x3)dx5a3Vy21axx3dx07a37因为:Vy1CVX所以J37107.7（17）设

17、平面内区域D由直线x3y,y（本题满分10分)3x及x8围成.计算x2dxdy。D2【解析】xdxdyDx2dxdyD1x2dxdy2223x0“-xdxxdy32X2dXxdy4163(18)（本题满分10分)设奇函数f（x）在1,1上具有二阶导数，且f（1）1证明:(I)存在(0,1),使得f()1;(II)存在(0,1)，使得f()f()1。【解析】(1)令F(x)f(x)x,F(0)f(0)0,F(1)f(1)10,则0,1使得F'()0,即f'()1(2)令G(x)ex(f'(x)1),则G()0,又由于f(x)为奇函数，故f'(x)为偶函数，可知G(

18、)0,则，1,1使G'()0,即ef'()1ef''()即ef'()1ef''()0,即f''()f'()1(19)(本题满分11分)求曲线x3xyy31(x求曲线x3xyy31(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。【解析】本题本质上是在条件3xyy21(x0,y0)下求函数f(x,y)x-2y的最值。故只需求出x2y2在条件x33xyy1下的条件极值点，再将其与曲线端点处(0,1,1,0)的函数值比较，即可得出最大值与最小值。由于函数xy与x22y的增减性,故可以转化为求29xy的条件极值点:构造拉

19、格朗日函数Lx,y,x3xy，求其驻点得0时，有xy3xy，将前两个方程变形为2x2y22y3xv222，故x3xyx3xyy为了求解该方程组x22xy0。则有进一步有2xyy3xyy0，不可能满足方程2x2y3xxy0,由于x0,y0,也只能有xxyx22x2yy310；3xy0。y0,不可能满足第三个方程;故必有Xy0,将其代入x3xyy310得2x3x210，解得x1,y1。可知1,1点是唯一的条件极值点。由于f(1,1).2,f(0,1)f(1,0),2,故曲线x3xyy31(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离为,2与最短距离为1。(20)(本题满分11分)1设函数f(x)lnx,

20、x(I)求f(x)的最小值1(II)设数列人满足Inxn1,证明limXn存在，并求此极限Xnn11x1【解析】(I)f'(x)22，则当x0,1时,f'(x)0；当x1,时,f'(x)0。xxx可知f(x)在0,1上单调递减，在1,上单调递增。故f(x)的最小值为f(1)1。limxna,则limnxnn1xnIna丄，由于lnx.1,则aXn11(2)、由于lnxn11X则，即Xn1Xn,故Xn单调递增。XnXn1Xn又由于lnxnlnxn11,则Xne,故Xn有上界，则由单调有界收敛定理可知,limXn存在。令xn1n1lna1,故a1。a(21)(本题满分11分)121设曲线L的方程为yxlnx(1xe),42(1)求L的弧长；(2)设D是由曲线L,直线x1,x(2)设D是由曲线L,直线x1,xe及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。【解析】(1)由弧长的计算公式得L的弧长为2121.xlnx'dx42（2）由形心的计算公式可得（2）由形心的计算公式可得122xdxe21D的形心的横坐标为ex1x2llnxdx142eWllnxdx1423e42e234e3701设A1a,B101b（22）（本题满分11分），当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB,并求所有矩阵C。【解析】