高中数学新课程创新教学设计案例三角形边和角关系的探索

1、43三角形边和角关系的探索教材分析初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质当然，就

2、知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题任务分析这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题教学目标1. 理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两

3、个定理2. 能运用正、余弦定理解斜三角形3. 理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题教学设计一、问题情景1. A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？(2)当4ABC为锐角三角形时，设 AB边上的高为CD,根据三角函数的定义，得 CD2. 如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20'AC长为1.40m,

4、计算BC的长.（精确到0.01m）问题：（1）图中涉及怎样的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型1.教师引导学生分析讨论在问题，f#景（1）中，已知在ABC中，ZA=72.3°,/B=76.5°,AB=2558m.求AC，BC的长组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度（让学生思考，允许有不同的解法）结论：如图40-3,作ADBC,垂足为D.由三角函数的定义，知AD=ACsinC,AD=AB-sinB.由此可得ACsinC=ABsinB.又由/A,/B的度数可求/C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC的长度教师明晰：（1）当ABC为直角

5、三角形时，由正弦函数的定义，得=asinB=bsinA,所以，同理(3)当ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自己推出.(详细给出解答过程)事实上，当/A为钝角时，由(2)易知设BC边上的高为CD,则由三角函数的定义，得CD=asinB=bsin(180°A).根据诱导公式，知sin(180°A)=sinA,1. asinB=bsinA,即正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？2. 组织学生讨论

6、问题情景（2）这一实际问题可化归为：已知ABC的边AB=1.95,AC=1.4,夹角为6°20'求BC的长组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不同的解法）教师明晰：如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积（也可用两点间的距离公式）如图，设=a,=b,=c,则c=ab.Ic|2=cc=(ab)(ab)=a2+b22abcosC,c2=a2+b22abcosC.同理a2=b2+c22bccosA,b2=c2+a22accosB.于是得到以下定理：余弦定理三角形中任何一

7、边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2=b2+c22bccosA,b2=c2+a22accosB,c2=a2+b22abcosC.思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？3. 进一步的问题勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？三、解释应用例题1. (1)已知：在ABC中，A=32.0；B=81.8；a=42.9cm,解三角形.(2)已知：在ABC中，a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.(

8、角精确到1°,边长精确到1cm)分析：（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB弋0.8999但0vBv兀，故B角有两个值（如图43-8）,从而C角与c边的取值也有两种可能学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解2. （1）已知：在ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形.（角精确到1°，边长精确到1cm）（2）已知：在ABC中，a=134.6cm,b=87.

9、8cm,c=161.7cm,解三角形.（角精确到1'）.分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角3. AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高.为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9）,

10、使H,G,B三点在同一条直线上.在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别为%&设CD=a,测角仪器的高为h,则在ACD中，由正弦定理，得,sin(a3),从而可求得AB=AE+h=ACsin 什 h =h习(1) ABC中，已知下列条件，解三角形.(1)A = 45°, C=30°, c = 10cm.(2) A = 60°, B = 45°, c = 20cm.(3) a=20cm, b = 11cm, B=30°.(4) c=54cm, b=39cm, c=115°.2.在ABC中，已知下列条件，解三角形.1 °

11、，边长精确到1cm )0.1 °，边长精确到 0.1cm)(1) a=2.7cm,b=3.696cm,C=82.2°.(2) b=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3°.(3) a=7cm,b=10cm,c=6cm.四、拓展延伸1 .在ABC中，有正弦定理这涉及比值的连等式请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明2 .在4ABC中，已知三边的长为a,b,c,如何判定ABC的形状？3 .已知：在ABC中，a=60,b=50,A=38°,求B.(精确到1°)分析：.4 .10O<B<180°,.B31°或B1

12、49°,但当B149°时，A+B=187°,这与A,B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°.由此题与例1中的（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？（1）当A为钝角或直角，必须满足a>b才有解（aWb无解），并且由sinB=计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-102）当A为锐角时，若a>b或a=b,则由sinB=计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一解，如图40-11sinB若avbsinA,则由sinB=1，因此，无解如图43-12若a=bsinA,则由sinB=,得sinB=1,即B为直角，故只有一解，如图43-13.若b>a>bsinA,则sinBvl,故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14.思考：若已知三角形的两角和一边、三边、两边及其夹角来解三角形时，它们的解会是怎样的？点评这篇案例