高中数学新课程创新教学设计案例任意角的三角函数

1、32任意角的三角函数教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备教学目标1. 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力2. 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的

2、符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题3. 通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平任务分析在初中，我们只是学习了锐角三角函数，现在学习的是任意角的三角函数定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角函数定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系为了便于学生体会和理解，突出定义适用于任意角，通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来（注意表示角时不用箭头），学习时，必须弄清并强调：这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，符合函数

3、的定义，从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义.对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式（一），可放手让学生探索、研究、讨论和归纳，用以培养学生的数学思维能力.教学设计一、情景设置由其所在的直角三初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量,图羽角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角a的正弦、余弦、正切、余切的三角函数.这节课，我们研究当a是一个任意角时的三角函数的定义.在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的.如图32-1,在RtAABC中,77rm-匚T现在，把三角形放到坐标系中.如图32-2,设点B的坐标为(x,y),则OC=b图耀-2=x,CB=a=y,

4、OB=,从而即角a的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角a都可以定义其三角函数.二、建立模型一般地，设a是任意角，以a的顶点O为坐标原点，以角a的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy.P(x,y)为a终边上不同于原点的任一点.如图：那么，OP =，记作r,(r0)对于三个量x，y，r,一般地，可以产生六个比值:.当“确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为称之为a角的正弦、对于定义，思考如下问题：1 .当角a确定后，比值与P点的位置有关吗？为

5、什么？2 .利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？3 .任意角a的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？三、解释应用例题1 .已知角a的终边经过P(2,3),求角a的六个三角函数值.思考：若P(-2,3)变为(2m,3m)呢？(mO)2 .求下列角的六个三角函数值注：强化定义练习1 .已知角a的终边经过下列各点，求角a的六个三角函数值.（ 1） P（3，4）（2）P（m，3）2.计算（1）5sin902sin03sin27010cos180四、拓展延伸1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为sina的定义域为 a | asina， c

6、osa， tana， cota自变量的函数，如sina=恒有意义，所以CR.类似地，研究cosa,tana,cota的定义域.2. 根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究的值在各个象限的符号.3. 计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律（1） sin30，sin390（2）cos45，cos（315）规律：终边相同的角有相同的三角函数值，即sin(a+k360)=sina,cos(a+k360)=cosa,tan(a+k360)=tana,(kCZ).五、应用与深化例题1 .确定下列三角函数值的符号2 .求证：角a为第三象限角的充要条件是sin位0,并且tan鼠0

7、.证明：充分性：如果sin0,tan00都成立，那么。为第三象限角.sin叱0成立，所以。的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上.又tanO0成立，。角的终边可能位于第一或第三象限.sin叱0,tanD0都成立，。角的终边只能位于第三象限.必要性：若。为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sin叱0,tan00.从而结论成立练习1.设a是三角形的一个内角，问：在sina,cosa,tana,tan哪些三角函数可能取负值？为什么？2. 函数点评这节课在设计上特别注意了以下几点：前后知识的联系，知识的产生、发展过程，如任意角的三角函数的定义，由初中所讲“0工360。的情况逐渐过渡到任意角”的情况，讲清了推广的必要性及意义注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号，及诱导公式