辽宁省大连市滨城高中联盟2026届高三上学期12月期中Ⅱ考试 数学

辽宁省大连市滨城联盟2025-2026学年高三上学期期中Ⅱ联考数学试题一、单选题1．已知复数满足，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．2．设，是两个不同平面，m，n是两条不重合直线，若，，则“”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知向量满足，且，设的夹角为，则（

）A． B． C． D．4．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（

）A． B． C． D．5．已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．6．已知为函数的导函数，则的值为（

）A．2 B． C．0 D．20257．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（

）A． B． C． D．8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（

）A． B． C．[3，5] D．二、多选题9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（

）A．使为直角三角形的点P有8个B．的面积可能为2C．的最大值为4D．的最小值为10．下列说法正确的是（

）A．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为C．已知，圆，过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点和，则四边形的面积的最大值为D．直线与直线互相平行，则11．在棱长为4的正方体中，是棱的中点，点在线段上，点在四边形（包含边）内，且平面，则（

）A．的最小值是B．三棱锥的体积为定值C．点的轨迹长度为D．的最小值为三、填空题12．在平行六面体中，，，，，．则与所成角的余弦值为．13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是.14．设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为.四、解答题15．在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且.(1)求角的大小；(2)求及的面积.16．已知椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆的方程．(2)过椭圆的右焦点，斜率存在且与轴不重合的直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．17．已知函数，.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在内的最大值为2，求的值.18．在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．

(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．19．对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”．(1)对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”；(2)对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直；(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性．

参考答案1．A【详解】由题可得，所以则的虚部为,故选：A2．A【详解】由，，可以得到，，若，，，不能得到，缺条件相交，所以“”是“，”的充分不必要条件.故选：A3．D【详解】由，则，故，则，故.故选：D.4．B【详解】设函数的最小正周期为，结合图象可知，则，即，且，则，解得，所以，令，解得，可知的一个对称中心为.对于选项A：令，解得，故A错误；对于选项B：令，解得，故B正确；对于选项C：令，解得，故C错误；对于选项D：令，解得，故D错误；故选：B.5．D【详解】

边长为6的正三角形的内切圆半径为：，所以正三棱柱的高为，则外接球半径，所以外接球的表面积为：，故选：D.6．B【详解】由或，则函数的定义域为，又，所以，则，综上，.故选：B7．B【详解】由题可知：，圆心，半径，又，是的中点，所以，所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，若直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆要包括圆，点到直线的距离为，所以长度的最小值为，故选：B．8．B【详解】由题意可得：，即是上的“完整函数”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点，所以，解得；当，即时，一定满足题意；若，因为，，所以，又易知；所以只需保证即可，解得，综上可知．故选：B．9．ACD【详解】A：当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，当为直角顶点时，设点，则，，，所以，解得，此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，正确；B：当P位于短轴端点时，不妨取上端点，则，此时的面积最大，且为，所以的面积最大为，不可能为2，错误；C：由椭圆的定义得，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为4，正确；D：设，由题意，所以，则，因为P在椭圆上，所以，且，故，所以当时，的最小值为，正确.故选：ACD10．ACD【详解】选项A，直线可整理为，过定点，计算过定点和线段端点的直线斜率：，，因为直线与线段相交，斜率范围为，故A正确；选项B，过点且截距相等的直线，除了，还有过原点的直线，截距都为，故B错误；选项C，圆，半径，点到圆心距离，设两条垂线的弦长分别为，由垂径定理：，且，面积，当时等号成立，所以，面积的最大值为，故C正确；选项D，两直线平行的条件：，即，解得或，当时，，两直线重合，故，故D正确；故选：ACD.11．BCD【详解】因为正方体中，，所以.因为点在线段上，所以当为的中点时，取最小值为，所以A错误.因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，因为点是固定的，所以点到平面的距离确定，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积是定值，B正确.分别取棱的中点，连接.所以，.又平面，而不在平面内，所以平面，平面.又，所以平面平面.因为点在四边形（包含边）内，且平面，所以点的轨迹为线段.因为分别是棱的中点，所以，C正确.将平面与平面展开到同一平面，则，连接.由题意可得，，则，当是线段与的交点时，，即的最小值为，D正确.故选：BCD.12．/0.1【详解】以为基底向量，则，因为，且，则，且，可得，所以与所成角的余弦值为.故答案为：.13．/【详解】依题意，直线经过椭圆的左焦点，且，由，得，则，因此，所以离心率.故答案为：14．（答案不唯一）【详解】由，得，令，则或，当时，由，得，所以，则，当时，由，得，由，得或，当时，不存在极值点，当时，得，综上，，所以当时，.故答案为：（答案不唯一）.15．(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得：，再根据两角和的正弦公式展开得：，消去，整理得：，，两边同除以得：，由辅助角公式得：，又，则，故，解得．（2）由题意得：，平方得：，化简得，解得舍.由余弦定理得：的面积16．(1)(2)存在，且点【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为.（2）不妨设点到直线、的距离分别为、，则，故，所以轴平分，假设轴上是否存在点满足题设条件，不妨设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，由题意可知，即，即，故，解得，故在轴上存在点，使得.17．(1)单调递增区间为，，单调递减区间为.(2)【详解】（1）函数的定义域为，则，当时，令，解得：；令，解得：，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）①当时，在内恒成立，在内单调递增，则，解得与矛盾；②当时，有，时；时，所以在上单调递增，在上单调递减，∴，即，令，则，则在上单调递减，又，故；综上，.18．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）连接，因为点，分别为的中点，所以，因为四边形为直角梯形，，，，所以，，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以，又因为为等边三角形，点为的中点，所以，又因为侧面平面，侧面平面，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面；（2）取的中点，连接，可得，又平面，又平面，所以，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，则，设平面的一个法向量为，，令，则，则平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，则，所以平面与平面所成角的余弦值为；（3）设，则，又，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的夹角为，则，令，，则，令，可得，所以,所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．19．(1)见解析(2)存在，(3)严格单调递减【详解】（1）由题意得，化简得令则，，当时，取得最小值，即时取得最小值，又，所以点是M在的“最近点”.（2）由题意得，.令，，所以在上单调递增，又，所以，，，，，所以在单调递减，在单调递增，所