高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修4

1、高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修4r1学习目标导航I1 .理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点)2 .会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点)知识揉理蜃点和梃认知预习质疑基础初探教材整理同角三角函数的基本关系阅读教材P18“探究”至P19例6以上内容，完成下列问题.1 .平方关系：sin2a+cos2a=Lsina.兀.商数关系：cos=tanaawkn+q,kCZ.2 .语言叙述：同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1,也等于角a的正切.二微体验判断(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)对任意角a,sin23a

2、+COS23a=1都成立.()一.asinF_2a,、(2)对任意角a,=tan5都成立.()cos(3)因为sin29兀+cos2十=1,所以sin2a+cos2§=1成立，其中a,(3为任意44角.()(4)对任意角a,sina=cosatana者B成立.()【解析】由同角三角函数的基本关系知(1)，(3)X,由正切函数的定义域知a不能取任意角，所以(2)X,(4)X.12【答案】(1)V(2)X(3)X(4)X阶段2合作探究通关小组合作型|i<X应用同角三角函数关系求值例(1)右 sin a5，且a是第三象限角，求 cos a , tan a 靠露望窗的值;情事微3cos

3、 a = 1 sin a35,sina4tan a = 一 二xcos a543.-8 .(2) . cos a =>0, a是第一、四象限角.8.(2)右cosa=亍，求tana的值;(3)若tan"=§-，求sina的值.【精彩点拨】(1)中明确a是第三象限角，所以只有一种结果.又(2),(3)中未指出角a所在象限的情况，需按a所在象限讨论、分类求解，一般有两种结果.4【自王解答】.sinaa是第二象限角，5当a是第一象限角时,sin2,8215a=1cosa=、/1=,sina15tana=;cosa8当a是第四象限角时,sin a1517?tan a158.(

4、3) tan15八, a = <0, 8a是第二、四象限角.sin atan a =由cos a15可彳导sin 2 asin 2 a + cos1 2 * a = 1,1517当a是第二象限角时，sin a1517'当a是第四象限角时，sin a1517.TO利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法:(1)已知角a的某一种三角函数值，求角a的其余三角函数值，要注意公式的合理选择,般是先选用平方关系，再用商数关系(2)若角a所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角a所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果再练一题1.已知 sin a +3cos a

5、 =0,求 sina, cos a的值.【导学号：00680009】)2+ cos2 a = 1 ,=1,【解】-1sina+3cosa=0,sina=3cosa.又sin2a+cos2a=1,(3cos2即10cosa又由sina=3cosa,可知sina与cosa异号,，角的终边在第二或第四象限当角的终边在第二象限时,cos10天，sina当角的终边在第四象限时,cossin"=一*/10.利用sina±cosa,sincosa之间的关系求值已知0<a<7t,sina+cos【精彩点拨】1至sina+cosa=_5sinacosa=-cl25.7sina-c

6、osa=l5sin4一3a=U,cos5a=-5【自主解答】,4tana=一鼻3由sina+cos1da=5,a得sinacos12L25<0.又0<0<兀，sina>0,cosa<0,贝Usinacosa>0,sinacosa=7sin2一cosa=712sinacosa121-2x-25由解得sina4一，cos535,sinatana=cosa43.1.sina+cosa,sinacosa,sinacosa三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系早.(sina±cosa)2=1±2sinacos2.求

7、sina+cosa或sinacosa的值，要注意根据角的终边位置,利用三角函数线判断它们的符号再练一题2.若8是ABC勺一个内角，且sin0cos8=一，则sin0cos8e的值为（【导学号：70512006】A近八.2B.23C.邛,5兀【解析】由题意知e£-兀,所以sin0cos0>0,«<>故选 D.sin0cos0=7sin0cos_02=71-2sin0cos_0=,b*利用tana求值例国设tan【精彩点拨】,、1+2sina-COSa3/士a=2,求一加2aLa-的值.tan a求解.【自主解答】1 + 2Sin a - cos aSin a

8、 COS aSin a + COS a + 2sin a - COS a Sin a COS a'将上式分子、分母同除以COSi 2 a ,得tan 2 a + 1 + 2tan a 9原式二 -tan% 1=3=3.这是一道在已知tan a = m的条件下，求关于 Sin a , cos a的齐次式的值的题目，解决这类问题需注意以下两点:定是关于Sin a , COS a的齐次式或能化为齐次式的三角函数式;2因为COS aW0,所以可除以COS a,这样可将被求式化为关于tana的表示式，然后代入 tan a =m的值，从而完成被求式的求值再练一题3.已知tana =3,则 2sin

9、a +4sin a COS a 9COS2 a 的值为(把分子、分母化成正、余弦齐次分式后，分子、分母同除以A.3iC.32sin 2a +4sin2c COS a - 9COS a2Sin 2+ 4sinSina COS a,2a + COS29COS a21B.102tan30a+4tana9tan2a+1由于tan a = 3,原式=2X3 2+ 4X3 932 12110探究共研型I MR三角恒等式的证明探究1证明三角恒等式常用哪些方法?提示(1)从右证到左.(2)从左证到右.证明左右归一.(4)变更命题法.如：欲证明NM= PQ则可证MQ= NP或证Q= 3 .探究2在证明1 + s

10、in a + cos a + 2sin a cos a1 + sin a + COs asin a + cos时如何巧用“ 1”的代换.提示在求证1 + sin a + cos a + 2sin a cos a1+ sin a + cos a= sin a + cosa时，观察等式左边有 2sincos a,它和1相加应该想到"1"的代换，即 1 =sin 2+cos2 a ,所以等式左边sin+ cos a + 2sin a cos a + sin a + cos a 1 + sin a + cos asin a + cos a2+ sin a + cos a1 sin

11、cos asin a + cos asin oc + COS a + 1sina + COs a + 1=sina + cos=右边.求证:sin a cos1 + sin(2)2(sin60 + cos【精彩点拨】sin a + cosCOs aa一；6 e ) 3(sin 4 e + cos4 0) +1=0.解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较.关键是利用好“ 1”的代换和乘法公式等变形技巧【自主解答】(1)证明：左边sina cos a + 1sina + cos a 1sina + cos a + 1sin a + cos a + 1sin a + 1 2 cos2 a si

12、n a + cos a 2 1sin 2 a + 2sin a + 121 sin asin 2 a + cos2 a +2sin a cos a12sin 2 a + 2sin a1 + 2sin a cos a 12sin asin a +12sina cos a1 + sin acos a=右边,，原等式成立.（2）证明:左边=2(sin 2 8 )3+(cos 29 )3 3(sin 4 8+cos4 9) + 1=2(sin 20 + cos2 0 )(sin 4 0 sin 20 cos2 9 + cos4 9 )3(sin 40 + cos4 0)+1=(2sin 4-_20 2

13、sin0 cos2 0 +2cos4e ) - (3sin 4 e +3cos4 0) + 1=一(sin 4 0 + 2sin 20 cos2 0 + cos4e)+i=一(sin 2 0 + cos28)2+1 = - 1 + 1 = 0 =右边,，原等式成立.名师/1 .证明恒等式常用的思路是：（1）从一边证到另一边，一般由繁到简;（2）左右开弓，即证左边、右边都等于第三者;比较法（作差，作比法）.2 .技巧感悟：朝目标奔.常用的技巧有：（1）巧用“1”的代换；（2）化切为弦；（3）多项式运算技巧的应用（分解因式）.3 .解决此类问题要有整体代换思想再练一题4 .求证:1 + 2sin

14、xcos x 1 + tan xcos 2x sin 2x1tan x.法一：右边=sin x1 + cos x cos x+sin xsin x cos x sin x 1 -cos xcos x + sincos x sin x cos x + sin xcos2x+sin 2x+2sin xcos x 1 + 2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2x sin 2x=左边,，原等式成立法二：左边=cos2x + sin 2x+2sin xcos xcos 2x sin 2x、一 2cos x + sin xcos x+sin xcosxsinxcosx+sinxcosxsi

15、nxsinx1+cosx1+tanxsinx_1tanx辿'1-cosx，原等式成立.A.tanB.cossinaa=一q1sin2cosaC.sinD.tancosaa=-r-sina【解析】由商数关系可知A,D均不正确.当a为第二象限角时,cosa<0,sina>0,故B正确.2.已知是第四象限角,cosa等于（5A.135B.-135C.12【解析】513.由条件知sin1cosa3.已知sin4贝Usina4cosa的值为（3B.-53 D.-51A.一二51C.一54sina一cos4a=(sin2a+cos2a)(sin2acosa)=sinacosa2sina1=4 .已知3sina+cosa=0,贝Utan由题意得：3sina=cosaW0,tana13.5 .已知eC(0,),sine+cose=1,求tane的值.【导学号：006