江苏省盐城市东台中学高考数学模拟试卷一

1、. 2010年江苏省盐城市东台中学高考数学模拟试卷（一）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1、已知角的终边过点P（5，12），则cos=考点：任意角的三角函数的定义。专题：计算题。分析：先求出角的终边上的点P（5，12）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cos=求出结果解答：解：角的终边上的点P（5，12）到原点的距离为 r=13，由任意角的三角函数的定义得 cos= 故答案为点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用2、设（3+i）z=10i（i为虚数单位），则|z|=考点：复数的基本概念；复数求模。专题：计算题。分析：利用复数除法法则：同乘以分

2、母的共轭复数，利用复数模的公式求出解答：解：z=1+3i|z|= 故答案为点评：本题考查复数的除法法则和复数的求模公式3、已知集合A=x|x2x60，B=x|x10，则CRAB=（1，3考点：交、并、补集的混合运算。专题：计算题。分析：由集合A=x|x2x60，B=x|x10，可得A=x|x3或x2，B=x|x1，可求出CRA=x|2x3，从而即可求解解答：解：由集合A=x|x2x60，B=x|x10，A=x|x3或x2，B=x|x1，CRA=x|2x3，CRAB=x|1x3，故答案为：（1，3点评：本题考查了集合的混合运算，属于基础题，关键是掌握集合混合运算的法则4、设不等式组所表示的区域为

3、A，现在区域A中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线上方的概率为考点：几何概型。专题：计算题。分析：这是一个几何概型中的面积类型，根据概率公式，要求得直线上方区域的面积和区域A的面积，然后应用概率公式，两者求比值即为所要求的概率解答：解：设粒子落在直线上方的概率为P如图的示：区域A的面积为4：直线上方的区域面积为：4=3所以P= 故答案为：点评：本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率5、E是边长为2的正方形ABCD边AD的中点，将图形沿EB、EC折成三棱锥ABCE（A，D重合），则此三棱锥的体积为考点：棱柱

4、、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：要求三棱锥ABCE的体积，先求底面ABC的面积，高是AE，容易求得体积解答：解：三棱锥ABCE的体积，就是EABC的体积，SABC=它的高是1 它的体积是： 故答案为：点评：本题考查折叠问题，三棱锥的体积，是基础题6、设方程2lnx=72x的解为x0，则关于x的不等式x2x0的最大整数解为4考点：函数的零点；函数零点的判定定理；不等关系与不等式。专题：计算题。分析：由方程2Inx=72x的解为x0，我们易得函数y=2Inx7+2x的零点为x0，根据函数零点的判定定理，我们可得x0（2，3），根据不等式的性质我们易求出等式x2x0的最大整数解解答：解：方程

5、2Inx=72x的解为x0，x0为函数函数y=2Inx7+2x的零点由函数y=2Inx在其定义域为单调递增，y=72x在其定义域为单调递减，故函数函数y=2Inx7+2x至多有一个零点由f（2）=2In27+2×20f（3）=2In37+2×30故x0（2，3），则x2x0可化为xx0+2则满足条件的最大整数解为4故答案：4点评：本题考查的知识点是函数零点的判断定理，及不等式的性质，其中根据零点存在定理，求出x0（2，3）是解答本题的关键7、将函数y=sin（2x+）（0）的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则的值为考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；函数

6、奇偶性的性质。专题：计算题。分析：条件：“函数y=sin（2x+）（0）的图象向左平移个单位后”可得y=sin2（x+）+（0），再依据它是偶函数得，2（x+）+=，从而求出的值解答：解：函数y=sin（2x+）（0）的图象向左平移个单位后可得y=sin2（x+）+（0），又它是偶函数得，2（x+）+=，0，的值故填点评：本题主要考查三角函数的平移以及三角函数的性质，解决此问题时要注意数形结合思想的运用8、设P为曲线C：y=x2x+1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1，3，则点P纵坐标的取值范围是，3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：计算题。分析：欲求点P纵坐标的取值范围，

7、即求y=x2x+1的值域问题，其中x为切点的横坐标，设切点P（x0，y0），先利用导数求出在点P处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，由斜率的范围求出x0范围从而问题解决解答：解：设P（x0，y0），y=2x1，12x0130x02，有 故答案为：，3点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数值等基础知识，考查运算求解能力属于基础题9、已知an是等比数列，a2=2，a4=8，则a1a2+a2a3+a3a4+anan+1=±考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质。专题：计算题。分析：先根据求出公比q，再根据anan+1为等比数

8、列，根据求和公式得到答案解答：解：q2=4，q=±2 =q2=4数列anan+1是以±4为首项，4为公比的等比数列a1a2+a2a3+a3a4+anan+1=±故答案为：±点评：本题主要考查等比数列的求和问题属基础题10、在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k（k0）上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|PN|必为定值k”、类比于此，对于双曲线（a0，b0）上任意一点P，类似的命题为：若点P在两渐近线上的射影分别为M、N，则|PM|PN|必为定值考点：归纳推理。专题：探究型。分析：对于双曲线xy=k（k0）上任意一点

9、P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|PN|必为定值k，由于x轴、y轴也是双曲线xy=k（k0）的渐近线，此时|PM|，|PN|分别表示P点到两条渐近线的距离，由此我们类比，对于双曲线（a0，b0）上任意一点P，|PM|PN|也必为定值，代入验证即可得到答案解答：解：由已知条件我们分析：由于x轴、y轴也是双曲线xy=k（k0）的渐近线，此时|PM|，|PN|分别表示P点到两条渐近线的距离，由此我们类比推断，对于双曲线（a0，b0）上任意一点P，|PM|PN|也必为定值，任取双曲线一点P（X，Y）则|PM|PN|=故答案为：若点P在两渐近线上的射影分别为M、N，则|PM|PN|必

10、为定值点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）11、已知函数，数列an满足an=f（n）（nN*），且an是递增数列，则实数a的取值范围是（2，3）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。专题：计算题。分析：由函数，数列an满足an=f（n）（nN*），且an是递增数列，我们易得函数为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a1，且3a0，且f（7）f（8），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论解答：解：数列an是递

11、增数列，又an=f（n）（nN*），1a3且f（7）f（8）7（3a）3a2解得a9，或a2故实数a的取值范围是（2，3） 故答案为：（2，3）点评：本题考察的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量nN*时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f（7）f（8），从而构造出关于变量a的不等式是解答本题的关键12、在边长为1的菱形ABCD中，ABC=120°，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点H，则=考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用。 专题：计算题。分析：本题考察的知识点是平面向量的数量积运算，由已知在边长为1的菱形ABCD中，ABC=120&

12、#176;我们易得向量及的值，故我们只要能将向量用向量表示，即可求解解答：解：设=t=又由D，H，E三点共线，则可设：=+即：解得：t=（）= = 故答案为：点评：若，且+=1则A、B、C三点共线，且C分AB的两段线段AC与BC的长度之比，AC：BC=：13、若椭圆上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是考点：椭圆的简单性质。专题：计算题。分析：设椭圆上点为（acos，bsin）进而求得到上顶点距离的平方进而看1和1时，椭圆上点到上顶点距离恰好是中心到准线距离的最大值，进而求得a和c的不等式关系求得e的范围解答：解：设椭圆上点为（acos，b

13、sin）其到上顶点距离的平方为（acos）2+（bbsin）2=a2+b22b2sinc2（sin）2若1，则最大值为a2+b2+=所以此时椭圆上点到上顶点距离恰好是中心到准线距离所以e的范围由1，决定c2b2=a2c22c2a2e1若1，则最大值为4b2，它要等于a4=4c2（a2c2）所以a2=2c2，此时b2=c2，舍去故答案为点评：本题主要考查了椭圆的简单性质考查了学生逻辑推理和基本运算能力14、如图，BD为O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4（1）求证：ABEADB，并求AB的长；（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与O相切吗？为什么？考点：圆

14、的切线的判定定理的证明；相似三角形的判定。分析：（1）易得ABE与ADB的三个内角相等，故ABEADB，进而可得；代入数据可得答案（2）连接OA，根据勾股定理可得BF=BO=AB；易得OAF=90°，故可得直线FA与O相切解答：证明：（1）AB=AC，ABC=CC=D，ABC=D又BAE=DAB，ABEADB，（3分），AB2=ADAE=（AE+ED）AE=（2+4）×2=12，AB=2（5分）解：（2）直线FA与O相切（6分）理由如下：连接OA，BD为O的直径，BAD=90°，BD=，BF=BO=AB=2，BF=BO=AB，OAF=90°直线FA与O相

15、切（8分）点评：本题主要考查了圆的切线的判定定理的证明本题考查常见的几何题型，包括切线的判定及相似三角形证明与性质的运用，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题二、解答题（共10小题，满分90分）15、已知在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边（1）求tan2A；（2）若，求ABC的面积考点：解三角形；同角三角函数基本关系的运用。专题：计算题。分析：（1）先利用同角三角函数基本关系求得sinA，进而求得tanA，进而利用正切的二倍角公式求得tan2A（2）运用诱导公式求得cosB，进而利用同角三角函数基本关系求得sinB的值，根据两角和公式求得sin（A+B）的值

16、，进而求得sinC，再由正弦定理求得a，最后根据三角形面积公式求得答案解答：解：（1）因为所以，则所以（2）由，得，所以则由正弦定得，得，所以ABC的面积为点评：本题主要考查了解三角形的实际应用涉及了同角三角函数基本关系，正切的二倍角公式，两角和公式等考查了考生对三角函数基础知识的掌握16、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD是直角梯形，其中BCAD，BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点（）若CD平面PBO，试指出点O的位置；（）求证：平面AB平面PCD考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质。专题：证明题；综合题。分析：（）

17、CD平面PBO，推出BOCD得到AD=3BC，点O的位置满足AO=2OD（）要证平面AB平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PABPD内的两条相交直线AB、PA即可解答：（）解：因为CD平面PBO，CD平面ABCD，且平面ABCD平面PBO=BO，所以 BOCD又 BCAD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD（）证：因为侧面PAD底面ABCD，AB底面ABCD，且AB交线AD，所以AB平面PAD，则ABPD又PAPD，且PA平面PAB，AB平面PAB，ABPA=A，所以PD平面PAB，PD平面PCD，所以：平面AB平面PC

18、D点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查逻辑思维能力，是中档题17、如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地ABD”，其中AB长为定值a，BD长可根据需要进行调节（BC足够长）现规划在ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”（）设DAB=，将y表示成的函数关系式；（）当BE为多长时，y有最小值？最小值是多少？考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义。专题：综合题；函数思想。分析：（1）由于题目中“设DAB=，”，故可利用解三角形的知识解决“草花比y”；（2）由于式子“”括号中两式

19、的积是定值，故利用二元不等式求其最小值解答：解：（）因为BD=atan，所ABD的面积为a2tan（） （2分）设正方形BEFG的边长为t，则由，得，（4分）解得，则（5分）所以a2tanS2，则（8分）（）因为tan（0，+），所以（10分）当且仅当tan=1，时取等号，此时BE=所以当BE长为时，y有最小值1（12分）点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、解三角形以及利用二元不等式求函数最值的方法，解决实际问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型18、已知C过点P（1，1），且与M：（x+

20、2）2+（y+2）2=r2（r0）关于直线x+y+2=0对称（）求C的方程；（）设Q为C上的一个动点，求的最小值；（）过点P作两条相异直线分别与C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由考点：圆与圆的位置关系及其判定。专题：计算题。分析：（）设圆心的坐标，利用对称的特征：点与对称点连线的中点在对称轴上；点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于1，求出圆心坐标，又C过点P（1，1），可得半径，从而写出C方程（）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值（）设出直线PA和直线PB的方程，将它们分别与C的

21、方程联立方程组，并化为关于x的一元二次方程，由x=1一定是该方程的解，可求得A，B的横坐标（用k表示的），化简直线AB的斜率，将此斜率与直线OP的斜率作对比，得出结论解答：解：（）设圆心C（a，b），则，解得（3分）则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2（5分）（）设Q（x，y），则x2+y2=2，（7分）=x2+y2+x+y4=x+y2，令x=cos，y=sin，=cos+sin2=2sin（+）2，（+）=2k时，2sin（+）=1，所以的最小值为22=4 （10分）（）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1

22、=k（x1），PB：y1=k（x1），由，得（1+k2）x2+2k（1k）x+（1k）22=0（11分）因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得（13分）同理，所以=kOP，所以，直线AB和OP一定平行（15分）点评：本题考查圆的标准方程的求法，两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用19、已知函数f（x）=（x23x+3）ex定义域为2，t（t2），设f（2）=m，f（t）=n（）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（）求证：nm；（）求证：对于任意的t2，总存x0（2，t），满足，并确定这样的x0的个数考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间

23、上函数的最值。分析：（）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（）运用函数的极小值进行证明，（）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定解答：（）解：因为f（x）=（2x3）ex+（x23x+3）ex，由f（x）0x1或x0，由f（x）00x1，函数f（x）在（，0）（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，函数f（x）在2，t上为单调函数，2t0，（）证：因为函数f（x）在（，0）（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又f（2）=13e2e，所以f（x）在2，+）上的最小值为f（2），从而当t2时，f

24、（2）f（t），即mn，（）证：因为，即为x02x0=，令g（x）=x2x，从而问题转化为证明方程g（x）=0在（2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（2）=6（t1）2=，g（t）=t（t1）=，所以当t4或2t1时，g（2）g（t）0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且只有一解，当1t4时，g（2）0且g（t）0，但由于g（0）=0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2x6=0，所以g（x）=0在（2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t2，总存在x

25、0（2，t），满足，且当t4或2t1时，有唯一的x0适合题意，当1t4时，有两个x0适合题意点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力20、在正项数列an中，令Sn=（）若an是首项为25，公差为2的等差数列，求S100；（）若（P为正常数）对正整数n恒成立，求证an为等差数列；（）给定正整数k，正实数M，对于满足a12+ak+12M的所有等差数列an，求T=ak+1+ak+2+a2k+1的最大值考点：等差数列的前n项和；等差关系的确定；等差数列的性质。专题：计算题；证明题。分析：（）利用等差数列的定义进行转化是解决本题的关键，用好分母有理化的思想进行相

26、消求和；（）利用等差数列的定义或者等差中项的办法进行等差数列的判定是解决本题的关键，寻找相邻项的关系是解决该题的突破口；（）将所求的和利用等差数列前n项和公式进行等价变形是解决本题的关键解答：（）解：由题意，利用等差数列的公差为2，得到，所以（）证：令n=1得到，则p=1由于Sn=（1），Sn+1=（2），（2）（1），将p=1代入整理得=，化简得（n+1）an+1nan+2=a1（3）（n+2）an+2（n+1）an+3=a1（4），（4）（3）得an+1+an+3=2an+2对任意的n1都成立在（3）中令n=1得到，a1+a3=2a2，从而an为等差数列（）记t=ak+1，公差为d，则T=

27、ak+1+ak+2+a2k+1=（k+1）t+，则，Ma12+ak+12=t2+（tkd）2=则，当且仅当，即时等号成立点评：本题考查等差数列的基本知识，属于竞赛性质的题目，有一定的难度，理解各式之间的联系，善于把握式子的等价变形是解决该问题的关键用到分母有理化等处理根式问题的方法21、二阶矩阵M对应的变换将点（1，1）与（2，1）分别变换成点（1，1）与（0，2）（）求矩阵M的逆矩阵M1；（）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2xy=4，求l的方程考点：逆矩阵与投影变换；直线的一般式方程。专题：计算题。分析：（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可，再根据求

28、逆矩阵的公式求出逆矩阵；（2）在所求的直线上任设一点写成列向量，求出该点在矩阵M的作用下的点的坐标，代入已知曲线即可解答：解：（）设，则有=，=，所以且，解得所以M=，从而M1=（）因为=且m：2xy=4，所以2（x+2y）（3x+4y）=4，即x+4=0，这就是直线l的方程点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题22、在极坐标系中，设圆p=3上的点到直线p（cos+sin）=2的距离为d，求d的最大值考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式。专题：计算题。分析：欲求d的最大值，即求出圆上一点何时到直线的距离最大，先将圆p=3和直线p（cos+s

29、in）=2的极坐标方程化成直角坐标方程，再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得解答：解：将极坐标方程p=3转化为普通方程：x2+y2=9p（cos+sin）=2可化为x+y=2在x2+y2=9上任取一点A（3cosa，3sina），则点A到直线的距离为d=，它的最大值为4点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化23、如图，设抛物线方程为x2=2py（p0），M为直线y=2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，2p）时，求此时抛物线的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；等差关系的确定；抛物线的标准方程。专题：证明题；综合题。分析：（）设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2x0=x1+x2判断出三者的横坐标成等差数列（）由（）可求得x0，代入椭圆和直线的方程整理求得x1+x2和x1