新教材高中数学2.3(第1课时)一元二次不等式及其解法讲义新人教A版必修第一册

1、新教材高中数学(第1课时)一元二次不等式及其解法讲义新人教A版必修第一册第1课时一元二次不等式及其解法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)(3)ax2bxc0(a0)(4)ax2bxc0(a0)思考1：不等式x2y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义

2、，可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集思考2：类比“方程x21的解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立”不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为x|x<1或x>1，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立4三个“二次”的关系设yax2bxc(a0)，方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式000解不等式y0或y0的步骤求方程y0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2

3、没有实数根画函数yax2bxc(a0)的图象得等的集不式解y0x|xx1_或xx2Ry0x|x1xx2思考3：若一元二次不等式ax2x1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2x1>0的解集为R，则解得a，所以不存在a使不等式ax2x1>0的解集为R.1不等式35x2x20的解集为()DRC35x2x202x25x30(x3)(2x1)0x3或x.2不等式3x22x10的解集为()C DRD因为(2)24×3×141280，所以不等式3x22x10的解集为R.3不等式x22x5>2x的解集是_x|x&

4、gt;5或x<1由x22x5>2x，得x24x5>0，因为x24x50的两根为1,5，故x24x5>0的解集为x|x<1或x>54不等式3x25x4>0的解集为_原不等式变形为3x25x4<0.因为(5)24×3×423<0，所以3x25x40无解由函数y3x25x4的图象可知，3x25x4<0的解集为.一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x27x3>0；(2)4x218x0；(3)2x23x2<0.解(1)因为724×2×325>0，所以方程2x27x30有两个

5、不等实根x13，x2.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为20，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为2x23x2>0，因为94×2×27<0，所以方程2x23x20无实根，又二次函数y2x23x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根

6、的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.1解下列不等式(1)2x23x2>0；(2)x24x4>0；(3)x22x3<0；(4)3x25x2>0.解(1)>0，方程2x23x20的根是x1，x22，不等式2x23x2>0的解集为.(2)0，方程x24x40的根是x1x22，不等式x24x4>0的解集为.(3)原不等式可化为x22x3>0，由于<0，方程x22x30无解，不等式x22x3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x25x2<0，由于>0，方程3x25x20的两根为x1，x21，不等

7、式3x25x2>0的解集为.含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x1<0.思路点拨对于二次项的系数a是否分a0，a<0，a>0三类进行讨论？当a0时，是否还要比较两根的大小？解当a0时，原不等式可化为x>1.当a0时，原不等式可化为(ax1)(x1)<0.当a<0时，不等式可化为(x1)>0，<1，x<或x>1.当a>0时，原不等式可化为(x1)<0.若<1，即a>1，则<x<1；若1，即a1，则x；若>1，即0<a<1，则1<x<.

8、综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a0时，原不等式的解集为x|x>1；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并2解关于x的不等式：ax222xax(a<0)解原不等式移项得ax2(a2)x20，化简为(x1)(ax2)0.a<0，(x1)0.当2<a<0时，x1；当a2时，x1；当a<2时，1x.综上所述，当2<a<0时，解集为；当a2时，解集为x|x1；当

9、a<2时，解集为.三个“二次”的关系探究问题1利用函数yx22x3的图象说明当y>0、y<0、y0时x的取值集合分别是什么这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系提示：yx22x3的图象如图所示函数yx22x3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数yx22x3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合x|x<1或x>3；同理，满足y<0时x的取值集合为x|1<x<3，满足y0时x的取值集合，亦即yx22x3图象与x轴交点横坐标组成的集合1,3这说明：方程ax2bxc0(a0)和不等式ax2bxc>0(a>0)或ax2bx

10、c<0(a>0)是函数yax2bxc(a0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y0时，函数yax2bxc(a0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式2方程x22x30与不等式x22x3>0的解集分别是什么观察结果你发现什么问题这又说明什么提示：方程x22x30的解集为1,3不等式x22x3>0的解集为x|x<1或x>3，观察发现不等式x22x3>0解集的端点值恰好是方程x22x30的根3设一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)和ax2bxc<0(a>0)的解集分别为x|x<x

11、1或x>x2，x|x1<x<x2(x1<x2)，则x1x2，x1x2为何值？提示：一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)和ax2bxc<0(a>0)的解集分别为x|x<x1或x>x2，x|x1<x<x2(x1<x2)，则即不等式的解集的端点值是相应方程的根【例3】已知关于x的不等式ax2bxc>0的解集为x|2<x<3，求关于x的不等式cx2bxa<0的解集思路点拨解法一：由不等式ax2bxc>0的解集为x|2<x<3可知，a<0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，

12、由根与系数的关系可知5，6.由a<0知c<0，故不等式cx2bxa<0，即x2x>0，即x2x>0，解得x<或x>，所以不等式cx2bxa<0的解集为.法二：由不等式ax2bxc>0的解集为x|2<x<3可知，a<0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa<0，即6ax25axa<06a<0，故原不等式的解集为.1(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2bxa>0的解集解由根与系数的关系知5，6且a<

13、0.c<0，故不等式cx2bxa>0，即x2x<0，即x2x<0.解之得.2(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2bxc>0的解集为x|2<x<3变为“关于x的不等式ax2bxc0的解集是.求不等式cx2bxa<0的解集解法一：由ax2bxc0的解集为知a0.又×20，则c0.又，2为方程ax2bxc0的两个根，.又，ba，ca，不等式变为x2xa0，即2ax25ax3a0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集为.法二：由已知得a0 且2，×2知c0，设方程cx2bxa0的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1&

14、#183;x2，其中，x13，x2.不等式cx2bxa0的解集为.已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2bxc0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图象的简图；由图象得出不等式

15、的解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当m<n时，若(xm)(xn)0，则可得x|xn或xm；若(xm)(xn)0，则可得x|mxn有口诀如下：大于取两边，小于取中间2含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0，a0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(>0)，一根(0)，无根(<0)(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x2.3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开

16、口及与x轴的交点坐标.1思考辨析(1)mx25x<0是一元二次不等式()(2)若a>0，则一元二次不等式ax21>0无解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2bxc<0的解集为x|x1<x<x2()(4)不等式x22x3>0的解集为R.()提示(1)错误当m0时，是一元一次不等式；当m0时，是一元二次不等式(2)错误因为a>0，所以不等式ax21>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误当a>0时，ax2bxc<0的解集为x|x1<x<x2，否则不成立(4)正确因为(2)212<0，所以不等式x22x3>0的解集为R.答案(1)×(2)×(3)×(4)2设a<1，则关于x的不等式a(xa)<0的解集为_因为a<1，所以a(xa)·<0(xa)·>0.又a<1，所以>a，所以x>或x<a.3已知关于x的不等式ax2bxc<0的解集是，则ax2bxc>0的解集为_由题意，2，是方程ax2bx