本科经济计量学第2章(第4版)

1、第2章 线性回归的基本思想双变量模型第2章22.1 回归的含义回归的含义2.2 总体回归函数总体回归函数2.3 总体回归函数的统计或随机设定总体回归函数的统计或随机设定2.4 随机误差项的性质随机误差项的性质2.5 样本回归函数样本回归函数2.6 “线性线性”回归的特殊含义回归的特殊含义2.7从双变量回归到多元线性回归从双变量回归到多元线性回归2.8参数估计：普通最小二乘法参数估计：普通最小二乘法2.9综合综合2.10 一些例子一些例子2.11 总结总结第2章32.1 回归的含义回归的含义 回归分析是用来研究一个变量（称之为被解释变回归分析是用来研究一个变量（称之为被解释变量量explaine

2、d variable 或应变量或应变量 dependent variable）与）与另一个或多个变量（称之为解释变量另一个或多个变量（称之为解释变量 explanatory variable 或自变量或自变量 independent variable）之间关系的）之间关系的一种分析方法。一种分析方法。 例如研究商品的需求量与该商品的价格、消费者例如研究商品的需求量与该商品的价格、消费者的收入以及其他同类商品的价格之间的关系。的收入以及其他同类商品的价格之间的关系。 通常我们用通常我们用Y表示应变量，用表示应变量，用X表示自变量。表示自变量。第2章4 回归分析回归分析是用来处理一个是用来处理一个

3、应变量应变量与另一个或多个与另一个或多个自变量自变量的关系，但它并不一定表明因果关系的存在。的关系，但它并不一定表明因果关系的存在。两个变量是否存在因果关系，哪一个是应变量，哪一两个变量是否存在因果关系，哪一个是应变量，哪一个是自变量是由正确的个是自变量是由正确的经济理论经济理论决定的。决定的。 需要注意的是需要注意的是具有因果关系的变量之间一定具有具有因果关系的变量之间一定具有数学上的相关关系，而具有相关关系的变量之间并不数学上的相关关系，而具有相关关系的变量之间并不一定具有因果关系。一定具有因果关系。 例如：例如：中国的国内生产总值与印度的人口之间具中国的国内生产总值与印度的人口之间具有较

4、强的相关性（相关系数较高），因为二者都以较有较强的相关性（相关系数较高），因为二者都以较快的速度增长，但显然二者之间不具有因果关系。快的速度增长，但显然二者之间不具有因果关系。第2章5回归分析的应用回归分析的应用（1 1）通过已知变量的值来估计应变量的均值）通过已知变量的值来估计应变量的均值（2 2）根据经济理论建立适当的假设并对其进行）根据经济理论建立适当的假设并对其进行检验检验（3 3）根据自变量的值对应变量的均值进行预测）根据自变量的值对应变量的均值进行预测（4 4）上述多个目标的综合）上述多个目标的综合 第2章62.2 总体回归函数总体回归函数: :假想一例假想一例 下面我们通过一个具

5、体例子说明回归分析的用途。下面我们通过一个具体例子说明回归分析的用途。第2章7分析步骤：分析步骤：（1）以家庭年收入）以家庭年收入X为横轴，学生的数学为横轴，学生的数学S.A.T分数分数Y为纵轴，对表中数据作散点图。为纵轴，对表中数据作散点图。（2）分析两变量间的关系）分析两变量间的关系（3）做出总体回归直线）做出总体回归直线 第2章8图2-1 家庭年收入与数学家庭年收入与数学S.A.TS.A.T分数分数 第2章9总体回归函数总体回归函数PRF B1和和B2是参数是参数(parameters)，也称回归系数，也称回归系数(regression coefficients)。 B1又称为截距又称为

6、截距(intercept)，B2又称为斜率又称为斜率(slope)。斜率度量了斜率度量了X每变动一个单位，每变动一个单位，Y的条件均值的变化的条件均值的变化率。率。 iiXBBXYE21)|(Y的条件期望，可简写为的条件期望，可简写为E(Y)注意：注意：回归分析是条件回归分析回归分析是条件回归分析(conditional regression analysis)。 (2-1)第2章10随机总体回归方程随机总体回归方程(stochastic PRF)ui表示随机误差项表示随机误差项(random error term)，简称误差项。，简称误差项。2.3 总体回归函数的统计或随机设定总体回归函数的

7、统计或随机设定 iiiuXBBY21(2-2)第2章112.4 随机误差项的性质随机误差项的性质 （1）在解释变量中被忽略的因素的影响；）在解释变量中被忽略的因素的影响；（2）变量观测值的观测误差的影响；）变量观测值的观测误差的影响；（3）其它随机因素的影响包括人类行为中的一些）其它随机因素的影响包括人类行为中的一些内在随机性；内在随机性；（4） 奥卡姆的剃刀原则奥卡姆的剃刀原则“简单优于复杂简单优于复杂” 。第2章122.5 样本回归函数样本回归函数如何估计总体回归函数，即求参数如何估计总体回归函数，即求参数B B1 1、B B2 2呢？呢？前面我们已经介绍了：前面我们已经介绍了：总体回归函

8、数总体回归函数PRFiiXBBXYE21)|(随机总体回归方程随机总体回归方程(stochastic PRF)iiiuXBBY21(2-1)(2-2)如果已知整个总体的数据，如上例，问题就比较简单，如果已知整个总体的数据，如上例，问题就比较简单，但在实际中，我们往往不能得到整个总体的数据，只但在实际中，我们往往不能得到整个总体的数据，只有来自总体的某一个样本数据，我们该怎么做？有来自总体的某一个样本数据，我们该怎么做？第2章13表表2-2 、2-3 来自表来自表2-1总体的两个随机样本总体的两个随机样本做散点图及估计样本回归直线如下：做散点图及估计样本回归直线如下：第2章14第2章15样本回归

9、直线可用样本回归函数样本回归直线可用样本回归函数SRF来表示：来表示：i iXbbY21(2-3)iiXBBXYE21)|(2-1)随机的样本函数：随机的样本函数：iiieXbbY21(2-4)iiiuXBBY21(2-2)第2章16样本回归函数样本回归函数随机样本回归函数随机样本回归函数总体回归函数总体回归函数随机总体回归方程随机总体回归方程观察值可表示为观察值可表示为iiiiiiiiiiiiiii iuXYEYeYYuXBBYXBBXYEeXbbYXbbY)|()|(21212121(2-3)(2-4)(2-1)(2-2)(2-6)(2-7)第2章17图图2-4 总体回归线与样本回归线总体

10、回归线与样本回归线.e1u1Y11YAnYnYenunXY01XiiXbbY21iXBBXYE21|nX需求量需求量价格价格第2章182.6 “线性线性”回归的特殊含义回归的特殊含义解释变量线性解释变量线性与与参数线性参数线性图图2-5 线性和非线性需求曲线iiXBBYEXBBYE1)()(21221非线性举例：非线性举例：iXBBYE221)(1. 解释变量线性解释变量线性2. 参数线性参数线性非线性举例：非线性举例：第2章19图2-5 线性和非线性需求曲线线性和非线性需求曲线2B2B2B2B1111XXYY价 格价 格需求量iiXBBY21a)线性需求曲线线性需求曲线b) 非线性需求曲线非

11、线性需求曲线iiXBBY121第2章202.7 从双变量回归到多元线性回归从双变量回归到多元线性回归 多元线性回归：多元线性回归：如果数学如果数学S.A.TS.A.T分数是收入分数是收入( (X2) )、选修数学课程、选修数学课程( (X3) )和年龄和年龄( (X4)的函数，则扩展的数学的函数，则扩展的数学S.A.TS.A.T分数的函数如下：分数的函数如下：个体学生分数函数（即随机总体回归函数）为：个体学生分数函数（即随机总体回归函数）为：)X,X,X|E(YE(Y)XBXBXBBE(Y)iiiiii4324433221（2-11）iiiuE(Y) uXBXBXBBYiii3433221（2

12、-12）第2章212.8 参数估计：普通最小二乘法参数估计：普通最小二乘法普通最小二乘法普通最小二乘法(OLS)最小二乘原理最小二乘原理总体回归方程：总体回归方程：样本回归函数：样本回归函数：因而因而 利用利用(2-3) 最小二乘原理就是选择合适参数使得全部观察值的残最小二乘原理就是选择合适参数使得全部观察值的残差平方和差平方和(RSS)最小，数学形式为：最小，数学形式为： (2-13)iiiuXBBY21iiieXbbY21iiiiiXbbYYYe21min )(minmin2212iiii2iXbbYYYe第2章22普通最小二乘法就是寻找使普通最小二乘法就是寻找使RSS达到最小时的参数达到

13、最小时的参数作为参数估计值的一种方法。作为参数估计值的一种方法。利用极值原理可以得到：利用极值原理可以得到：22121iiiiiiXbXbXYXbnbY2222221XnXYXnYX XXYYXXxyxbXbYbiiiiiiiii(2-16)(2-17)正规方程正规方程(2-14)(2-15)求解得到：求解得到：第2章2300021iiiiiYeXeneeXbbY普通最小二乘估计量的一些重要性质：普通最小二乘估计量的一些重要性质：（1）（2）（3）（4）第2章242.9 综合综合解得：iiiiiiiiiiiXYXnXYXnYX XXYYXXxyxbXbYb0013.04138.43222222

14、21利用利用OLS方法估计样本回归方程，具体计算步骤方法估计样本回归方程，具体计算步骤如表如表2-4（见下页）：（见下页）：第2章250013. 0016240000002163000022iiixyxb41.43256000*0013. 050721XbYb斜率：斜率：截矩：截矩：第2章26第2章27对数学对数学S.A.TS.A.T分数回归结果的解释分数回归结果的解释 对数学对数学S.A.T分数的估计结果解释如下：斜分数的估计结果解释如下：斜率系数率系数0.0013表示，在其他条件保持不变的情况表示，在其他条件保持不变的情况下，家庭年收入每增加一美元，数学下，家庭年收入每增加一美元，数学S.

15、A.T分数分数将平均增加约将平均增加约0.0013分。截距分。截距432.41表示，当家表示，当家庭年收入为庭年收入为0时，数学时，数学S.A.T的平均分数约为的平均分数约为432分。截距一般没有什么特殊的经济含义。分。截距一般没有什么特殊的经济含义。iiXY0013. 04138.432第2章282.10 一些例子一些例子例例 2-1：受教育年限与平均小时工资受教育年限与平均小时工资 根据由根据由528个观察值组成的样本，表个观察值组成的样本，表2-5（见下页）给出（见下页）给出了平均小时工资了平均小时工资Y和受教育年限和受教育年限X的数据。的数据。 根据劳动经济学中的人力资本理论，预期平均

16、工资随受根据劳动经济学中的人力资本理论，预期平均工资随受教育年限的增加而增加，二者正相关。教育年限的增加而增加，二者正相关。 数据的回归结果如下：数据的回归结果如下： 回归结果表明，在其他条件不变的情况下，受教育年限回归结果表明，在其他条件不变的情况下，受教育年限每增加一年，平均小时工资增加每增加一年，平均小时工资增加72美分。美分。 前面已经提到过，在大多数情况下，截距没有什么明显前面已经提到过，在大多数情况下，截距没有什么明显的经济含义，本例亦如此。的经济含义，本例亦如此。iiXY7241. 00144. 0第2章29第2章30例例2-2：奥肯定律：奥肯定律： 布鲁金斯学会主席，前总统经济

17、顾问委员会主席奥肯布鲁金斯学会主席，前总统经济顾问委员会主席奥肯（Arthur Okun）根据美国）根据美国1947-1960年的数据，得到如下回年的数据，得到如下回归方程，称之为归方程，称之为奥肯定律：奥肯定律： 其中，其中，Yt表示失业率的变动（百分数），表示失业率的变动（百分数），Xt表示实际产表示实际产出的增长率（百分率），用实际出的增长率（百分率），用实际GNP度量，度量，2.5是对美国历史是对美国历史的观察得到的长期产出增长率。的观察得到的长期产出增长率。 在上面方程中，截距为零，斜率为在上面方程中，截距为零，斜率为-0.4。奥肯定律是说奥肯定律是说实际实际GNP的增长每超过的增长

18、每超过2.5%一个百分点，失业率将降低一个百分点，失业率将降低0.4个个百分点。百分点。 奥肯定律被用来预测失业率减少到一定的百分点而所需奥肯定律被用来预测失业率减少到一定的百分点而所需的实际的实际GNP的增长率。当实际的增长率。当实际GNP增长率为增长率为5%时，将使失业时，将使失业率减少一个百分点，或者说若使增长率达到率减少一个百分点，或者说若使增长率达到7.5%，则减少失，则减少失业率业率2个百分点。个百分点。 )5 . 2(4 . 0ttXY第2章31例例 2-3：股票价格与利率股票价格与利率 股票价格和利率是重要的经济指标。利用股票价格和利率是重要的经济指标。利用S&P500

19、综合指数综合指数(19411943年年10)度量股票价格，三月期国债利率度量股票价格，三月期国债利率()度量利度量利率。表率。表2-13给出了给出了19801999年这些变量的数据。年这些变量的数据。 根据散点图（下页）（根据散点图（下页）（见见Excel文件文件和和Eviews文件文件），两变），两变量间的关系可能不是线性的，我们可以尝试拟合如下模型：量间的关系可能不是线性的，我们可以尝试拟合如下模型：）（ttXY/1424.260657848.15tttuXBBY）（ /121利用利用EviewsEviews软件得到如下结果：软件得到如下结果：如果我们拟合线性模型，可以得到：如果我们拟合线性模型，可以得到：ttXY3493.691917.902究竟哪一个模型更好？我们应该如何进行模型的选择？究竟哪一个模型更好？我们应该如何进行模型的选择？第2章32第2章33例例2-4：美国中等房价与贷款利率（美国中等房价与贷款利率（19802007年）年） 为了研究贷款利率对房价的影响，为了研究贷款利率对房价的影响，表表2