第3章 离散信号的时域和Z域分析

1、第三章离散信号的时域和z域分析3.1离散信号的时域分析3.2离散信号的z域分析3.1离散信号的时域分析 离散时间信号的定义是仅在规定的离散时间点上有定义，而在其他时间内无定义。在工程上将间隔相等的离散信号称为离散时间序列，简称序列，表示为f(n) 或x(n)。离散时间序列的表示方法 解析形式：用函数式来表示 序列集合形式 箭头标记出n=0的位置1( )2( 1)(,)nf nn 1( ),2, 2,2, 2,2, 2,f n 图形形式：用信号的波形来表示 一、一、 序列的运算序列的运算 与连续信号处理类似，在离散信号处理中，也需要对离散信号进行运算。 一、一、 序列的运算序列的运算 1 序列的

2、移位序列的移位 如图1所示的序列x(n)，其移位序列w(n)为 )()(mnxnw当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次右移m位而给出的一个新序列; 当m为负时，x(n-m)是指依次左移m位。n87654320112354w(n) x(n2)5 4x(5)x(4)x(3)3 2 1 0123 456nx(4)x(5) x(6)x(3)x(2)x(1)x(0)x(n)x(2)x(1) 2 序列的翻褶序列的翻褶 如果序列为x(n), 则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。图 3 序列的翻褶(a) x(n)序列； (b) x(-n)序列 nnx(n)654 32 1

3、0123 45x( n)5 4321 012345 6(a)(b) 3 序列的和序列的和 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。 和序列z(n)可表示为 )()()(nynxnz离散信号的相加 4 序列的乘积序列的乘积 两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。 乘积序列f(n)可表示为 )()()(nynxnf离散信号的相乘 5 序列的标乘序列的标乘 序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。标乘序列f(n)可表示为 )()(ncxnf例：例：序列的序列的标乘标乘12,1( )0,1nnx nn 12,14 ( )0,1nnx nn 6 6、离散信号的差

4、分：、离散信号的差分： 相邻两个序列值的变化率就是这两个序列之差，故为差分运算。 一阶向前差分： 一阶向后差分：)() 1()(kfkfkf) 1()()(kfkfkf如果对差分运算结果进行差分，可得到高阶差分运算，如二阶，三阶差分。结论：结论：x(n)=x(n-1) )() 1(2)2()() 1()()(2nxnxnxnxnxnxnx)2() 1(2)() 1()()()(2nxnxnxnxnxnxnx 7 累加累加设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为 nkkxny)()(它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n

5、)之和。 举例：求下图的)(),(),(kykfkf二、二、 基本离散序列基本离散序列 1 单位脉冲序列单位脉冲序列(n) 0001)(nnn 这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0， 因此也称为“单位采样序列”。单位采样序列如图2所示。图 2 (n)序列 1(n)453 2 1012345n 这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)。 注意：注意：(t) 与与(n) 的区别的区别 任意序列可以利用单位脉冲序列及带时移单位脉冲序列的线性加权和表示，如图所示离散序列可以表示为( )3 (1)( )2 (1)2 (2)f nn

6、nnn性质：它也具有抽样性性质：它也具有抽样性，即( ) ( )(0) ( )( ) ()( ) ()( ) ()() ()f nnfnf nnmf mnmf nnmfmnm2 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n) 0001)(nnnu 这个序列在 时取值为1， 时取值为0， 因此称为“单位阶跃序列”。单位阶跃序列如图3所示。0n 0n 图 3 u(n)序列 54321012345nu(n)16 它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t)，它也具有截取特性，即可将一个双边序列截成一个单边序列。 注意：注意： u(t)与u(n)的区别( )0( ) ( )00f nnf n u nn(n)

7、和u(n)间的关系为 ) 1()()(nunun这就是u(n)的后向差分。 而 nkknu)()(这里就用到了累加的概念。 3矩形序列矩形序列RN(n) nNnnRN其他0101)(矩形序列RN(n)如图6所示。 图 6 RN(n)序列 nRN(n)110123NN1RN(n)和(n)、u(n)的关系为: )()()(NnununRN)1() 1()()()(10NnnnmnnRNmN4实指数序列实指数序列)()(nuanxn式中，a为实数。当|a|1时，序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的，如图7所示。 实指数序列是指序列值随序号变化刚好按指数规律变化的离散时间信号，常用的实指数序列为单边

8、实指数序列，图 7 指数序列(a) 0a1; (c) -1a0 5正弦序列正弦序列x(n)=A sin(n0+)式中: A为幅度; 为起始相位; 0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。 现在讨论上述正弦序列的周期性。 由于 )sin()(0nAnx则 )sin()sin()(000nNANnANnx若N0=2k, 当k为正整数时，则 )()(Nnxnx 这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2k/0（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。 （1） 当2/0为正整数时，周期为2/0。 （2） 当2/0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则 kN0202NkkNk式中，

9、k, N为互素的整数，则为最小正整数，序列的周期为N。 （3）当2/0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。 这时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的这和连续信号是不一样的。 3( )2cos(7)4x nn3( )2cos(7)4x nn ( )5sin(3)4x nn 6 复指数序列复指数序列 序列值为复数的序列称为复序列。 复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。 复指数序列是最常用的一种复序列： njAenx)(0)(或或 njAenx0)(式中，0是复正弦的数字域频率。 对第一种表示，序列的实部、虚部分别为 0()00cos()sin()jnnneenjAen注意：注意

10、：复指数序列是否为周期序列，其判别方法复指数序列是否为周期序列，其判别方法与正弦序列的方法相同。与正弦序列的方法相同。 8、卷积和运算（线性卷积） 卷积和与连续信号的卷积非常类似，它也是一种重要的数学工具。 卷积和也称为或离散卷积离散卷积。1)定义、表达式定义、表达式设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：2)求和区间的讨论：求和区间的讨论：(1) 为因果信号(2) 为因果信号(3) 同为因果信号1( )f n2( )f n12( )( )f nf n、12120( )( )( )()kf nfnf k fnk1212( )( )( )()nkf nfnf k fnk12120( )(

11、 )( )()nkf nfnf k fnk举例：无限长的序列，设12( )( )3nf nu n2( )( )fnu n求12( )( )( )f nf nfn 3) 卷积的图解机理卷积的图解机理 （1）翻褶：先在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)， 将h(m)以m=0 的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。 （2）移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数时， 右移n位; 当n为负整数时，左移n位。 （3）相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。 （4）相加：把以上所有对应点的乘积累加起来， 即得y(n)值。 依上法，取n各值，即可得全部y(n)值。 1001(

12、 )( ) ()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaa1001( )( ) ()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaaaaaaaanynnmmmnmn1)(144040aaaaaanynnmmmnmn1)(144040410660( )nnmkmnky naa47101066001nnnkkkkaaaaaa4）卷积的性质）卷积的性质(1)代数定律：交换律、分配律、结合律1221( )( )( )( )f nfnfnf n1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f nfnf nf nfnf nf n123123( )( )( )( )( )(

13、 )f nfnf nf nfnf n(2)与取样序列的卷积(3)卷积的时移性质( )( )( )f nnf n( )()()f nnmf nm12( )( )( )f nf nfn1212()()( )( )()f nmf nmfnf nfnm12()()()f nmNf nmfnN(4)序列与 的卷积 ( )u n( )( )( )nif nu nf i 5）卷积和的计算(1)图解法-与连续信号卷积机理类似(2)竖乘法-有限长序列 具体方法：具体方法：将两个序列排成两行，按普通的乘法运算进行相乘，但中间结果不进位，最后将同一列的中间结果进行相加得到卷积和序列 序列号的确定：序列号的确定：相乘

14、的2个序列值的序号之和等于卷积和的序列号 (3)定义求法(4)利用Z变换求法1( )1,3,2,40f nn2( )2,1,30f nn12( )( )( )f nf nfn 例：，求 ， 结论：结论： 若设两个序列的长度分别为若设两个序列的长度分别为N和和M，则卷积和后的序列长度为则卷积和后的序列长度为(N+M-1) 1( )4,3,2,1,70f nn2( )5,2,3,60f nn12( )( )( )f nf nfn 练习：求 常见信号的卷积：常见信号的卷积：111( )* ( )(1) ( )1( )* ( )( )1( )*( )( )( )*( )(1)( )nnnnnnnnnu

15、 nu nnu naa u nu nu naaba u nb u nu naba u na u nna u n3.2 离散信号的z域分析 Z变换是与连续系统的拉普拉斯变换相对应的一种变换域分析方法，它对于分析线性分析线性时不变离散系统是时不变离散系统是一种强有力的数学工具。Z变换和拉普拉斯变换之间存在密切的关系，它们的性质也有相似之处，同时两者之间也存在着一些重要的差异。抽样信号抽样信号单边拉氏变换单边拉氏变换0)()()(nsnTtnTxtx00000( )() ()()()()stsnstnsnTnXsx nTtnT edtx nTtnT edtx nT e1、Z变换的定义变换的定义一、z

16、变换的定义及收敛域令令 , 其中其中 z 为一个复变量为一个复变量则则归一化归一化 T=1sTez 0)()(nnznTxzX0)()(nnznxzX单边Z变换结论：结论：0)()(nnznxzX单边单边Z变换变换双边双边Z变换变换nnznxzX)()(注意：工程常用的是单边注意：工程常用的是单边z变换，以后没有特别指变换，以后没有特别指明，都指的是单边明，都指的是单边z变换。变换。8.3 z变换的收敛域变换的收敛域2z变换的收敛域变换的收敛域收敛的所有收敛的所有z 值之值之集合集合为收敛域。为收敛域。对于任意给定的序列对于任意给定的序列x(n) ，能使，能使( )( )nnX zx n z

17、( ) ROC).nnx n z 即满足的区域（1）收敛域的定义）收敛域的定义 对于实际中常见的实指数信号 ，其收敛点和发散点都在无穷远处，可简化为 求出收敛域。 n, ( )0nx n z 时2）收敛域的求法）收敛域的求法( ) nnx n z na)()(nuanxn11001( )()1nnnnnzX za zazazza1 n, ( )01nnnx n za zazza 时例：不同不同x(n)的的z变换，由于收敛域不同，可能变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的对应于相同的z 变换，故在确定变换，故在确定 z 变换时，变换时，必须指明收敛域。必须指明收敛域。一般而言不同形式的序列其收敛

18、域形式不一般而言不同形式的序列其收敛域形式不同，下面分别讨论几种序列的收敛域。同，下面分别讨论几种序列的收敛域。3）几类序列的收敛域）几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列值的序列2121)()(nnnznxzXnnnn由于是有限项求和，故收敛域为除了由于是有限项求和，故收敛域为除了0和和 的的整个整个 平面。平面。z)(nx思考：收敛域何时不包含思考：收敛域何时不包含0，何时不包含，何时不包含 ？Re zIm zj（2）因果序列：只在）因果序列：只在 区间内，有非零的区间内，有非零的有限值的序列有限值的序列0n )(nx0(

19、)( )nnX zx n z1xRz 收敛半径圆外为收敛域1xRRezImzj（3）左边序列：只在）左边序列：只在 区间内，有非零区间内，有非零的有限值的序列的有限值的序列1n )(nx1( )( )nnX zx n z2xRz 收敛半径圆内为收敛域，2xRImzjRez（4）双边序列：只在）双边序列：只在 区间内，区间内， 有非零的有限值的序列有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圆内收敛圆外收敛12xxRR12xxRR有环状收敛域没有收敛域12xxRRImzjRez注意注意: 对于常用的指数序列对于常用的指数序列 收敛半径为收敛半径为

20、naxRa)(31)() 1 (nunxn31311131)(101zzzzzXnn311xR31ImzjRez例：求以下序列的z变换及其收敛域。解：11313xRz因果序列) 1(31)()2(nunxn反因果序列313111)3(13131)(101111zzzzzzzXmmmmnmnn21313xRz2xR31ImzjRez解：nnx31)()3(双边序列)(3(31133131)(3138101zzzzzzzzzXnnnnnImzj331 zRez解：二、二、 常用基本序列的单边常用基本序列的单边z变换变换1指数序列azznuan)(1)nza unza 2单位阶跃序列1)(zznu(

21、1)1zunz3单位冲激序列 1)()(nnznzF即：即：1)(n表3-1 常用离散序列的z变换对三、三、 单边单边z z变换的性质变换的性质1、线性、线性1 12 21122( )( )( )( )ax na x naX za X z则，该性质是Z域分析的基础，其收敛域至少是两个的交集。11x ( )( ),nXz22x ( )( ),nXz1)()( )()( )mmzx nmzX zx nmz X z双边 变换2、位移性、位移性)()()()(:)21mkkmzkxzXznumnxz变换单边10)()()()(mkkmzkxzXznumnx对于任意正整数对于任意正整数m，nO)(nx4

22、nO)2( nx4nO)2( nx411 211 211 2 原序列不变，只影响在时间轴上的位置。原序列不变，只影响在时间轴上的位置。处收敛域：只会影响zz, 0 )()()()(zXzmnxZzzXnxZznxm 变换为变换为的的，则其右移位后，则其右移位后变换为变换为的双边的双边若序列若序列1）双边）双边z变换的位移性质变换的位移性质 )()(zXzmnxZzm 变换为：变换为：同理，左移位后的同理，左移位后的2）单边）单边z变换的位移性质变换的位移性质nO nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O 11 .,的的长长度度有有所所增增减减较较nunx

23、numnxnumnx 若若x(n)为双边序列，其为双边序列，其单单边边z变换为变换为 )()(nunxZ例：求序列 的Z变换( )( )()111111NNNNNZ RnZ u nZ u nNzzzzzzzzzzzz解：()( + )n mn m、例：求矩形序列的Z变换()( + )mmn mzn mz3 3、z z域尺度变换（序列指数加权）域尺度变换（序列指数加权） 若 ，则：)()(zFnf)()()(azFnfaazFnfann4 4、时间翻转性质、时间翻转性质若 ，则： )()(zFnf1(- )( )fnFz例：求例：求 的的Z变换。变换。（ ）na1a 5 5、 Z Z域微分（序列

24、线性加权）域微分（序列线性加权）若 ，则： )()(zFnf)()(zFdzdznnf解：解： 。变换变换的的求求zXznunan)( azazznuaZn ,)( )()(dd)(22azzaazzazzzazzznunaZn az 6、卷积定理、卷积定理1212( )( )( )( )f nfnF zF z11( )( ),f nF z如22( )( ),fnF z则。求求，)()()(,)()(),()(nhnxnynubnhnuanxnn azazzzX )( bzbzzzH )()()()()(2bzazzzHzXzY 解：解： bzbzazazbazY1)( )()(1)(nubb

25、nuaabanynn )(111nubabann 7、初值、终值定理、初值、终值定理 x(n)是因果序列，且是因果序列，且z变换为变换为X(z)(lim)0(zXxz)() 1(lim)(lim1zXznxzn终值存在的条件 (1) X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值，有终值;例：例： ，终值为，终值为01),( anuan(2)若极点位于单位圆上，只能位于若极点位于单位圆上，只能位于 ，并且是一，并且是一 阶极点阶极点. 1 z注意：注意：和系统和系统稳定性稳定性条件区别，系统稳定性条件条件区别，系统稳定性条件 只有只有第一条第一条。例：例：u

26、(n)，终值为，终值为1终值存在的条件四、四、 Z变换的逆变换变换的逆变换逆逆Z变换的方法变换的方法 （1）幂级数展开法）幂级数展开法 （2）部分分式法）部分分式法1、幂级数展开法幂级数展开法(长除法）长除法）如果如果z变换变换X(z)能表示成幂级数的形式，能表示成幂级数的形式， 则可以直则可以直接看出序列接看出序列x(n)是是 的系数的系数 nnznxzX)()(因果序列的逆因果序列的逆z变换变换 2100)2()1()0()()(zxzxzxznxzXnn反因果序列的逆反因果序列的逆z变换变换 3211 )3()2()1()()(zxzxzxznxzXnn 的的升升幂幂排排列列以以将将zzX X zz将以 的降幂排列系数x x( (n n) )的求法：的求法：用长除法因果序列：因果序列： 分子分母按照Z的降幂排列，然后用分子除以分母；反因果序列：反因果序列： 分子分母按照Z的升幂排列，然后用分子除以分母；例 11, 2, 3, 4,nnx 1211222 zzzzzzzzXz221zz 4324 3 2 zzzz322 zzz 322zz 432242zzz 432 3zz 543363zzz 5434zz 654484zzz 65