三年级奥数三大原理重叠问题教师版

1、知识要点重叠问题重叠问题要用到数学的一个重要原理：包含和排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了 不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。解决重叠问题的应用题，必须从条件入手（综合法）进行认真的分析，有时还要画图，借助图形 进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。【课前引入】脑筋急转弯：两位妈妈和两位女儿一起去参加动漫节，可是她们只买了两张票，便顺利地通过了检票处，这是怎么回事？答案：外婆、妈妈、女儿排队：小明在超市排队付款， 从前数小明排在第三，从后数小明排在第四，你能算出排队的一共有多少人?（请学生用自己喜欢的方式解释一下，排队的一共有8人）排队【

2、例1】学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第 21个。这一行座位有多少个？【分析】12 21 1 32个【例2】 同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起， 李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？ 【分析】8 8 1 15个【例3】同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？【分析】每行每列都为：4 4 1 7个，7 7 49人【例4】 为庆祝“六一”,同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个;从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？【分析】每行：2 4 1 5人

3、，每列：3 5 1 7人，共有学生：5 7 35人简单计算1个夹子夹住相【例5】洗好的8块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同 邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？【分析】1块手帕要用2个夹子；2块手帕有1个重叠，用3个夹子；3块手帕有2个重叠，用4个夹子8块手帕有7个重叠，每个重叠的边需要 1个夹子，两头不重叠的边各要 1个夹子。因此需要的夹子数为 7+2=9个。总结本题规律：把手帕挂在绳子上晾干，需要的夹子数比手帕数多一个。【温馨提示】此题也可以用到植树原理的知识。把夹子看作“树”，把手帕看作是“间隔”，则转化为植树问题的第一种类型：棵数 间隔数1,即夹子数比

4、手帕数多1,所以夹子数为：8+1=9个。【例6】把10块木块用铁钉钉成一条长木条，每两块之间加钉4个，如下图，共需钉上多少个钉？【分析】10块木块用铁钉钉成一条长木条，中间重叠部分有 9段，一个重叠处需要 4个铁钉,那么一共需要9 4 36个铁钉【例7】 把10张图片用图钉像下图那样钉在橱窗里，一共要用多少个图钉重叠部分一共需要 9 2 18个图钉。再加上两头各需要 2个图钉，这样一共就需要18+4=22个图车丁。【例8】把两根长为20厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是 3厘米。捆成的长筷子长多少厘米?【分析】两根筷子总长度为 20 2 40厘米。捆在一起后，中间重叠部分

5、的长度为3厘米。在这40厘米中，3厘米多算了一次。所以捆成的筷子长度应从这 40厘米中减去多算的一个 3厘米, 捆成的筷子长为40 3 37厘米。【例9】 有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板 （如图），中间钉在一起重叠的部分是 10厘米，钉成的木板长多少厘米？触理黑【分析】 四根木板的长度是 80 4 320厘米。钉在一起后，中间重叠部分长度均是10厘米，共有3个10厘米的重叠，那么，钉成的木板长320 30 290厘米。【例10】两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板， 中间重合部分是15 厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？【分析】90 90 15 165厘米【例11】十块木板

6、各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，每两个木板中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？【分析】十块木板的总长：90 10 900厘米，重叠了 10 1 9部分，共长：9 15 135厘米钉在一起的木板总长 900 135 765厘米【例12】有两根铁丝，一根长为 30厘米，另一根长为50厘米，将这两根铁丝焊接成一根长为75厘米的长铁丝。那么，中间的焊接重叠部分长为多少厘米？【分析】先求两块木板的长度；焊接的木板比两块木板总长度短多少厘米，这就是焊接部分的长度，即重叠部分的长度。两根铁丝总长为30+50=80厘米；焊接在一起后，长为 75厘米，中间重叠部分即为总长度与焊接后长度

7、的差，为 80 75 5厘米。【例13】把五段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长100厘米，每两端中间重叠部分是5厘米，原来五段纸条各长多少厘米？【分析】五段张的总长：100 5 （5 1） 120厘米，原来五段纸各长：120 5 24厘米【例14】小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长条，其中粘在一起的部分长10厘米，这两张纸条各长多少厘米？【分析】 粘在一起的部分是相互重叠粘贴的部分，在算两张纸条总长度时，这部分多算了一次。所以，两张纸条总长度是粘成的长纸条的长度加上重叠部分的长度为80+10=90厘米。所以，这两张纸条各自长为 90 2 45厘米。

8、【例15四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用 去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长 厘米.【分析】因为第一根和第四根只有一头打结，第二根和第三根有两头打结，所以一共要用去 6个1厘米。4 8 6 26 （厘米），现在这根长绳长 26厘米【例16四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，连在一起的绳子的头和尾还要打结一次，绳结长度不计.现在这根长绳长多少厘米？【分析】 如果把四根长8厘米的绳子打结连在一起，中间有3个结，打结处每根绳用去 1厘米，四根绳子就用去了 6厘米，连在一起的绳子的头和尾还要打结，又用去2厘米，这

9、根绳子长就是8 4 2 3 2 24 厘米。两者容斥【例17】二（1）班同学人人参加课外活动，有 20人参加英语班，有26人参加电脑班。其中4人两个班都 参加。二（1 ）班一共有多少人？20人【分析】（方法一）已知20人参加英语班，26人参加电脑班，一共有 20+26=46人。这46人中，有4人两班都参加。也就是说这4人在英语班算了名额，在电脑班也算了名额，多算了一次。所以，全班的人数应是 46 4 42人。（方法二）20 4 26 42 人。（方法三）26 4 20 42人。【例18】三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。两项

10、比赛都参加的有几人？【分析】36 38 55 19人【例19】学校乐器队招收了 42名新学员，其中会拉小提琴的有 25人，会弹钢琴的有22人，两项都不会的 有3人，两项都会的有几人？【分析】25 22 3 42 8人【例20】二年级有40名同学参加跳绳和拍球两项比赛，有12人没有获奖，其中拍球获奖的有 18人，拍球和跳绳两项比赛都获奖的有 10人，跳绳比赛获奖的有多少人 ？【分析】跳绳比赛没获奖的有 40 12 28;跳绳比赛获奖的有 28 18 10 20人。【例21】三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。 两种棋都会下的有多少名？【分析

11、】至少会下一种棋的人数：42 10 32名21 17 32 6 名【例22】新一期的猫咪训练营开始了，总共有60只小猫咪报名参加。经过一段时间的训练后，有33只猫咪学会了爬树，有 25只猫咪学会了抓老鼠，其中既会爬树又会抓老鼠的有10只。那么既不会爬树又不会抓老鼠的猫咪有多少只？【分析】爬树和抓老鼠至少会一项的猫咪有33 25 10 48只，所以，两项都不会的猫咪有 60 48 12只。【例23】老师出了两道测试题，全班每个同学都至少答对了一道，答对第一道题的有30人，答对第二道题的有28人，两道都答对的有16人，那么全班同学总共有多少人？【分析】根据上题的分析可以知道，答对第一题的和答对第二

12、题的人数之和为30+28=58人，在计算这一总人数时，两道都答对的人数被多算了一次， 所以全班同学的总人数应为58 16 42人。【例24】三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组的有36人，参加美术组的有 28人，两个小组都参加的有 8人，三年级一共有多少人参加课外兴趣小组？【分析】三年级一共有36 28 8 56人参加课外兴趣小组。【例25】小明统计了一下学校食堂里的午餐菜式，一个月 30天里，有11天没有西红柿鸡蛋，有18天没有 糖醋排骨，两样都有的有 7天，两样都没有的有多少天 ？【分析】30天里，有西红柿鸡蛋的有 30 11 19天，有糖醋排骨的有 30 18 12天，至

13、少有一样的天数为19 12 7 24天，两样都没有的天数为 30 24 6天。【例26】有50个女孩，她们的皮肤是白的或浅黑色的，眼睛则是蓝色的或褐色的，如果有14个蓝眼睛白肤色，31个是浅黑肤色，18个是褐色眼睛，那么褐色眼睛浅黑肤色的女孩有多少个？【分析】只看肤色，白皮肤应该有：50 31 19个那么，褐色眼睛白皮肤有：19 14 5个那么，褐色眼睛浅黑色的女孩有：18 5 13个【例27】某班有46人，其中40人会骑自行车，38人打乒乓，35人会打羽毛球，27人会游泳，这个班上以上 四项运动都会至少有多少人？【分析】考虑会骑自行车的人、会打乒乓的人，使骑自行车、打乒乓两者都会的人最少；骑

14、自行车、打乒乓两者都会的人的人数为40 38 46 32人；只会骑自行车的人的人数为 40 32 18人；只会打乒乓的人的人数为 38 32 6人。考虑会骑自行车的人、会打乒乓的人、会打羽毛球的人，使骑自行车、打乒乓、打羽毛球三者都会的人最少；会骑自行车、会打羽毛球的人的人数为8人；会打乒乓、会打羽毛球的人的人数为6人；骑自行车、打乒乓、打羽毛球三者都会的人的人数35 8 6 21人；会骑自行车、会乒乓的人的人数为32 21 11人。考虑会骑自行车的人、会打乒乓的人、会打羽毛球、会游泳的人，使骑自行车、打乒乓、打羽毛球、游泳四者都会的人最少；会骑自行车、会打羽毛球、会游泳的人的人数为8人；会打

15、乒乓、会打羽毛球、会游泳的人的人数为6人；会骑自行车、会乒乓、会游泳的人的人数为11人；骑自行车、打乒乓、打羽毛球、游泳四者都会的人的人数27 8 6 11 2人。综上所述，骑自行车、打乒乓、打羽毛球、游泳四项运动都会至少有2人。【练习1】小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第 7个。这队小朋友共有多少人？【分析】4 7 1 10人【练习2】三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第 3个。三（4）班共有学生多少人？每列：6 5 1 10人，每行：3 3 1 5人,共有学生：10 5 50人三（4）班做完语文

16、作业的有 37人，做完数学作业的有 42人，两种作业都完成的有 31人，每人 至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？37 42 31 48 人三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？78 77 107 48 人小攀想用一根65厘米长的铁丝弯成一个边长为15厘米的正方形，铁丝如果太长的话可以重叠.请你帮他算一算重叠的部分要多长才能刚好完成这个任务？边长为15厘米的正方形四边总长为 15 4 60 （厘米），若用65厘米的铁丝弯成这样的正方形，多余的部分为65 60 5厘米。这5厘米就是要重叠的部分。有两块

17、木板，一块长 72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，重叠部分是20厘米.求钉成后的木板长多少厘米？钉成后的木板长 72 56 20 108厘米。两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长 48厘米，中间重叠部分长 12厘米。另一根木棍长多少厘米？66 12 48 30 厘米把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？（30 6） 2 18 厘米三年一班学生参加田径运动会，每人限报两项，其中有 25人参加径赛，有20人参加田赛，两项都报名有10人，两项都没参加的有 11人，三年一班

18、共有学生多少人？25 20 10 11 46 人某班有学生46人，其中订阅小数报的有 18人，订阅语文报的有13人，两样都订阅的 有5人，没有订阅杂志的有多少人？【分析】【练习3】【分析】【练习4】【分析】【练习5】【分析】【练习6】【分析】【练习7】【分析】【练习8】【分析】【练习9】【分析】【练习10 【分析】46 (18 13 5) 20 人【练习11】学校乐器队按计划招收了 42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人。会弹电子琴的有多少人？【分析】学校乐器队按计划招收了 42名新学员，两项都不会的有 1人，所以，有42 1 41名同学会一项

19、或者两项都会。如图，会拉小提琴的有 27人，这27人里面包含了会弹电子琴又会拉小提琴的16人,所以只会拉小提琴的有 27 16 11人。那么会拉电子琴的有 41 11 30人，这其中包括只会拉电子琴的和两项都会的。【练习12】 小白兔去采蘑菇，看见下面这个长方形地上共长120个蘑菇，其中在园地 A中长了 28个，另一块园地B长了 26个，园地A和园地B的公共部分长了 10个蘑菇。(1)只在园地 A不在园地B中有多少个蘑菇？(2)只在园地B不在园地A中有多少个蘑菇？(3)园地A和园地B共有多少个蘑菇？(4)园地A和园地B以外的长方形内有多少个蘑菇?【分析】(1) 28 10 18个(2) 26 10 16个(3) 28 26 10 44 个(4) 120 44 7