专题06双星与多星(解析版)

1、06 双星与多星 万有引力与航天双星与三星及四星，是天体物理的重要而奇特的现象。对于天体物理学家来说，双星和三星及四星是能提供最多信息的天体，从双星可以得到比单个恒星更多的信息和恒星演化的秘密。在浩瀚的银河系中，我们发现的半数以上的恒星都是双星体，它们之所以有时被误认为单个恒星，是因为构成双星的两颗恒星相距得太近了，它们绕共同的质量中心作圆形轨迹运动，以至于我们很难分辨它们，这其中包括著名的第一亮星天狼星。双星与多星模型，有以下规律：1 . 变中有不变（ 1 ）变：双星系统、三星系统、四星系统物理模型是不同的，不同的是：双星系统是两颗星，相互的万有引力等于各自做圆周运动的向心力；三星系统是三颗

2、星，或者在同一条直线上，两端的两颗星围绕之间的星做圆周运动，则两端的两颗星所受另外两颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，或者三颗星在等边三角形的三个顶点位置，都围绕三角形中心做圆周运动，则每一颗星所受另外两颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，四星系统也有两种形式，或者是三颗星在等边三角形的三个顶点位置，都围绕处于三角形中心的第四颗星做圆周运动，则每一颗星所受另外三颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，或者是四颗星在正方形的四个顶点位置，都围绕正方形的中心做圆周运动，则每一颗星所受另外三颗星的万有引力的合力等于该星做圆周运动的向心力，（ 2）不变：做题的关键都是

3、：做圆周运动的星所受其他星的万有引力的合力等于向心力。2 .不变中有变（ 1 ）都是三星系统，两种形式也不同，两种形式的不同处在于前者是同一直线上的两个力求合力，后者是不同直线上的两个力（两个力夹角为600）求合力。都是四星系统，两种形式也不同，两种形式的不同处在于前者是互成600 的两个力的合力与第三个力求合力，后者是三个互成角度的力求合力。（ 2）都是三角形模型，三星系统的三角形的中心没有星，只是三颗星做圆周运动的圆心，所以求合力是二力合成；四星系统的三角形的中心还有一颗星，它对其他三颗星也有万有引力，所以求合力是三力合成。3 .解题注意(1)无论是双星还是三星，都是由万有引力提供向心力，

4、这是解三星和双星问题的关键和出发点。(2)无论是双星还是三星，一个共同的特点是周期或角速度相等，这是解三星和双星问题的隐含条件。(3)要注意万有引力公式中的 r为双星间或三星间的距离，向心力公式中的r1和r2是圆周运动的半径，它们不相等而是r =n +2或其他关系，这与人造卫星类或宇宙飞船类问题不同，要加以区别。2. 2(4)在解三星和双星问题中，向心力公式可以有几个f = mJ = m 2= m= mvs ,解题中究rT竟用哪个公式，一是看已知条件，二是看要求的问题，要根据题目灵活应用。、双星系统双星系统是两个天体绕它们的连线上的一点做圆周运动，相互作用的万有引力提供向心力，它们的周期 相等

5、。此结论可以推广到三星、四星系统。不论怎样的星系问题，其实解决的方法仍然是最基本的匀速圆 周运动问题，每一颗星所受到的万有引力提供它绕中心作圆周运动的向心力。1 . 2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星A .质量之积B .质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度【答案】BC【解析】设两颗中子星相距为L,质量分别为 m1、m2,轨道半径分别为r1、2

6、,根据万有引力提供向心力,Gm1m2L22=m1 r1= m26 2r2,因为r1 +r2 = L ,所以质量之和为 m1 + m22 3(1+2)=，其,2 .一 r 1中切=一=24 兀(T=-s), L=400km,可求，B 正确。T12根据 v =cor ,得 v1 +v2 =0(r1 +r2) =0L ,可求。C 正确;错误。可以求出两颗中子星互相绕着运动的角速度，不可以求出各自的自转角速度,2 .两靠得较近的天体组成的系统称为双星，它们以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸引在一起。设两天体的质量分别为m1和m2,则它们的轨道半径之比Rm1：Rm2=；速度

7、之比 vm1 ： Vm2 =o2211【斛析】向心力 m1© r1 =m2co r2,所以一 2m2一；m12Vi2V2V1 ，所以一二V2m2 r1m2【答案】B ： m2 : m1 m21ml【点评】本题考查双星系统的半径比与速度比。分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速3 .双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下,圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T,经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为一3A.12TB n3TBIkD.

8、nT【解析】由万有引力提供向心力有G罗（部G号等，又卜必，两星间距变为内时，圆周运动"二端十班 联立以上各式可得二 折.，故当两恒星总质量变为GM的周期变为巴4.冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7:1,同时绕它们连线上某点。做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕。点运动的一，八1A.轨道半径约为卡戎的一7B.角速度大小约为卡戎的C.线速度大小约为卡戎的7倍速D.向心力大小约为卡戎的【解析】因为双星系统中两星同时绕它们连线上某点。做匀速圆周运动，所以他们做圆周运动时的角速度和周期是一定相同的,B错误；因为其中一个的万有引力由另一个星体提供，反之相同，所以它们的向心力大

9、小是相等的（作用力反作用力）2,D徐灰；根据m冥王星8 r冥王星道半径与质量成反比,即冥王星的轨道半径约为卡戎的22V1V2,m1 - = m2，所以6V1 二V2mhr21,1 一1,线速度大小约为卡戎的 1倍速,77c错误。5.如右图，质量分别为 m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕 。点做匀速周运动，星球 A和B两者中心之间距离为 L。已知A、B的中心和。三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为 Go求两星球做圆周运动的周期。 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行为的周期记为 Ti。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做

10、圆周运动的，这样算得的运行周期丁2。已知地球和月球的质量分别为5.98 M 024kg和7.35 X1022kg 。求T2与Ti两者平方之比。(结果保留3位小数)【答案】T =2冗1L1.01.G(M m)【解析】 A和B绕。做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 A和B的向心力相等。且A和B和。始终共线，说明 A和B有相同的角速度和周期。因此有22m ,M ,mo r=Mco R , r+R = L,连立解得 R =L , r =Lm Mm M对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm = m()2 - LL2T M m化简得 T -2 L .G(M m)将地月看成双星，由得 T1

11、 -2L3:G(M m)将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm ,-T m m()2L化简得 T =2二L2.GM所以两种周期的平方比值为= 1.0125.98 1024 7.35 10225.98 10246.月球与地球质量之比约为 1： 80,有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点。做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕。点运动的线速度大小之比约为A 1 : 6400B 1 : 80C80: 1D 6400 : 1【答案】C【解析】月球和地球绕 O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心

12、力相等。且月球和地球和 O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有 m002r = M002R, vrM所以一=一=一线速度和质量成反比，正确答案CoVRm7.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很普遍利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T,两颗恒星之间的距离为 r,试推算这个双星系统的总质量.（万有引力 常量为G）T2G【解析】设两颗恒星的质量分别为 m1、m2,做圆周运动的半径分别为n、2,角速度分别为、畋根据题意有31 = 32r1+2

13、=r根据万有引力定律和牛顿运动定律，有mm22G 二 m J。rm1m22G2-= m21- 2 r2r联立以上各式解得2 ,、 2 ,m1m2 = 1 (r1 r2)r /G根据角速度与周期的关系知联立式解得m2 = 2g二、三星系统宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为 m=(1)试求第一种形式下，星体运动

14、的线速度和周期I(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？【解析】(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有Fi=Gm2R2F2 -Gm2_2(2R)22 、Fi+F2=mv /R运动星体的线速度:v = 5GmR2R2 R周期为则有T= vT=4兀R35Gm(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为r/2R'=cos 30油力的合成和牛顿运动定律由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供 有:F 合=2*30r24冗，F合=m 厂RT21所以 r=(12)3R5答案，5GmR2RR35Gm12 1(2)(一)3R5三、四星系统宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是有三颗星位于边长为 a的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为Ti,而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.另一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T