专题12圆的综合题(解析版)

1、专题12圆的综合题考点速记哆)一、圆的概念及与圆的相关概念1 .圆的概念(1)定义1：把线段OP绕着端点O在平面内旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做 圆.其中，点O 叫做圆心，线段OP叫做半径.(2)定义2:平面内到定点的距离等于定长的点组成的集合叫做圆.其中定点叫做圆心，定长叫做半径.(3)圆的有关概念与基本性质是解决圆的有关问题的基础.如圆与三角形结合的题目，经常利用半径相等，构造等腰三角形，再利用等腰三角形性质证明线段或角相等.2 .与圆有关的概念(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径.(3)弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做 圆弧，简称弧.用符

2、号“小”表示.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做 优弧，小于半圆的弧叫做 劣弧.(4)等圆、同心圆：能够互相重合的两个圆叫做 等圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角.(6)等弧：能够互相重合的弧叫做 等弧.二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外.设。的半径为r,点P到圆心。的距离为d,用图形表示点与圆的位置关系如图所示.位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在园的的部。点P在®。的外部、点在圆上点在圆周上d =点F在08的外部一点在圆内©点注圆的内部三、

3、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余 各组量都分别相等.四、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1 . 1。的弧：将顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份白圆心角是 1。的角.因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把1。的圆心角所对的弧叫做 1。的弧.2 .圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【注意】（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）（2

4、）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧.五、垂径定理及垂径定理的推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.定理的条件：（1）直径，弦（2）直径垂直弦定理的结论：（1）弦被直径平分（2）弦所对的两条弧被平分2,垂径定理的推论如果一条直线具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径的弦）；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧这五个性质中的任意两个，那么这条直线就具有余下的三个性质，简称“知二推三”.【注意】在垂径定理推论中，一定不能忽视“弦不是直径”这一条件.因为一个圆的任意两条直径都能互相平分，但未必垂直.六、确定圆的条件不在同一条直线上的

5、三个点确定一个圆.【注意】(1)这里的“三个点”不是任意的三点，而是指不在同一条直线上的三个点，在同一直线上 的三个点不能画圆.(2) “确定” 一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆.(3)过一点可画无数个圆， 过两点也能画无数个圆， 过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆. 七、三角形的外接圆1 .三角形外接圆的概念三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.【注意】(1)三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，因此三角形的外心到三角形各顶点 的距离相等.(2)三角形的外接圆有

6、且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却 有无数个，这些三角形的外心重合.(3)锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心在斜边(斜边中点).2 .三角形外接圆的作法要作三角形的外接圆只要找到外接圆的圆心即可，而外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点.所以只需作出两条边的垂直平分线的交点，就可以确定外接圆的圆心. 八、圆周角定理1 .在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.【注意】(1)这一定理应用的前提条件是在“同圆或等圆中”，且不能丢掉“同弧或等弧所对的”这一条件.(2)定理的逆命题也成立

7、，即在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长也相等.(3)由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.2 .直径(或半圆)所对的圆周角是直角.90的圆周角所对的弦是直径.【注意】把圆中的直径与90©的圆周角联系在一起，构造直径所对的圆周角是解决与圆有关问题的常用 方法.九、圆内接四边形1 .定义：一个四边形的四个顶点都在一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2 .性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角.3 .判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个

8、圆上（简称四点共圆）4 .推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.【注意】（1）任何圆都有圆内接四边形，但并不是所有四边形都有外接圆.（2）圆的内接四边形可以有无数个，如果四边形有外接圆，那么它只有一个外接圆.（3）圆内接四边形对角互补的性质是计算圆周角的重要依据之一.十、直线与圆的位置关系1 .直线与圆有三种位置关系：相交、相切和相离.直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线.直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.2 .直线与圆的位置关系的性质和判定：【注意

9、】判断直线与圆的位置关系有两种方法：一是看直线与圆的公共点的个数；二是看圆心到直线的 距离与半径之间的数量关系.3 .切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.符号语言 OA，l于A, OA为半径,.1为。的切线.（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）【注意】（1）判定定理中的已知条件“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”缺一不可.（2）这个定理是切线最常用的判定方法，常见的辅助线是“连半径”.4 .切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（请务必记住切

10、线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）【注意】（1）切线的性质中：半径；垂直；经过切点，这三个条件只要满足任何两个，则必具备另外一个.其中“半径”也可看做“过圆心的直线”.（2）切线的判定与切线的性质的区别：切线的判定是在未知相切而要说明相切的情况下运用，切线的性质是在已知相切而要推出一些其他结论时运用，两者在运用时不要混淆.5 .切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径

11、的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角.（1）定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.【注意】（1）切线长不是指切线的长度，而是指圆的切线上一点与切点之间的线段长.（2）切线长定理的基本图形要熟记，还可推出结论：这点和圆心的连线垂直平分切点弦（切点连成的弦），同时也平分这两条切线的夹角.6 .三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.【注意】（1）三角形的内切圆只有一个，圆的外切三角形有无数个.（2）三角形的内心是三角形角平分线的交点.（3）三角形的内心到三角形三边的距离相等.十一、

12、正多边形的有关计算正n边形的半径和边心距把正 n边形分成2n个全等的直角三角形，因此正n边形的计算问题可转化为直角三角形的计算问题来解决，在计算时应注意：（1）这些直角三角形的斜边都是正 n边形的半径r, 一条直角边是正n边形的边心距,另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正 n边形中心角otn的一半，即180n(2)正n边形的每个中心角都等于 361,说明正n边形的中心角等于它的外角.n十二、弧长公式在半彳仝为R的圆中，360。的圆心角所对的弧长就是圆周长C =2成，所以1。的圆心角所对的弧长是2 tRtR一，一，. nnR2=，于是在半径为 R的圆中，n。的圆心角所对的弧长1=.

13、360180180十三、扇形面积公式一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.22因为圆的面积为HR2,所以1。的扇形的面积是 三，那么圆心角为n二的扇形的面积为s扇形=口旦 360360因为扇形的弧长1 = ±R ,所以扇形面积还可以表示为S扇形=11R .1802十四、圆锥1 .圆锥的基本概念圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，这条直线叫做圆锥的轴.垂直于轴的边旋转一周而形成的面叫做圆锥的底面.圆锥的底面是一个圆面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.从圆锥的顶点到底面的距离叫做 圆锥的高.连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆

14、锥的母线.2 .圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长.圆锥侧面展开图的面积就是它的侧面积.如果用1表示圆锥的母线长，用 r表示它的底面半径，由上面的分析可知：1S侧=-U2 <1_1 = <12门圆锥侧面展开图 扇形 的圆心角为 日，由于扇形的弧长等于圆锥底面的周长，即有 一 二2殉，所以 1800 =5360 .1核心考点圆的切线及相关计算圆的综合题是广东省中考的热点，以解答题形式出现，主要考查圆的切线判定和性质，以及圆的相关 计算.【经典示例】 如图，在 ABC中，以BC为直径的O交AC于点E ,过点E做EF _L AB于点

15、F ,延长EF交CB的延长线于点 G ,且ZABG =2/C .(1)求证：EF是O的切线；一43 一(2)若sin/EGCUO的半径是3,求AF的长.54#答题模板第一步，添加辅助线：连接圆的圆心和切点.第二步，证垂直：根据题目条件证明垂直.第三步，计算：利用直角三角形性质和相似三角形性质进行计算.【满分答案】(1)连接OE,则 /EOG =2/C , ZABG =2/C ,ZABG =/EOG ,AB/ZOE , EF _LAB， /AFE =900 , . _0/GEO =/AFE =90 ,OE _L EG ,又OE是U O的半径，EF是|_|O的切线.(2) . /ABG =2/C

16、, ZABG =/C +/A , ZC =/A ,BA=BC,又 O的半径为3,OE = OB=OC,BA=BC=2X3=6,OE33在 RtAOEG 中，sin/ EGC=，即一二OG5 OG '.OG=5,BF 一 3 FB在 RtA FGB 中，sin/ EGC=,即 = GB 52,BF= 6 ,56 24 . AF=AB-BF=6-= 一 .5 5【解题技巧】 证明切线，首先看是否有切点，有切点的连接圆心和切点，证垂直；没有切点的，过圆心作垂线，证明垂线段等于半径；其次，利用直角三角形和相似三角形的性质求边长.噂此！模拟训练如图，在RtABC中，/ACB=90。，BE平分/A

17、BC, D是边AB上一点，以BD为直径的。O经过点E, 且交BC于点F.(1)求证：AC是。的切线;（2）若BF=6,。的半径为5,求CE的长.【答案】（1）证明见解析；（2） CE=4.【解析】（1）连接OE. . OE = OB,OBE=/OEB,. BE 平分/ ABC, . OBE=/EBC, ./ EBC=/OEB, OE / BC, ./ OEA=Z C,/ ACB=90°,/ OEA=90° , AC 是。O 的切线.（2）连接OF,过点O作OHBF交BF于H,由题意可知四边形 OECH为矩形，.-.OH=CE,BF=6,. BH=3,在 RtBHO 中，OB

18、=5,OH=4,CE=4./直通中考1. (2018广东)如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD,以AB为直径的。O经过点C,连接AC, OD交于点E.(1)证明：OD / BC;(2)若 tan/ABC=2,证明：DA 与。O 相切；(3)在(2)条件下，连接 BD交于。O于点F,连接EF,若BC=1 ,求EF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） .2【解析】（1）如图，连接OC,在 OAD和 OCD中，OA -OCADD =CD , OD =OD.OADQOCD （SSS）,ADO = /CDO,又AD=CD,DEXAC,.AB为。O的直径，/ ACB=90°

19、; ,./ ACB=90° ,即 BC±AC, .OD / BC.AC（2） . tan/ABC= =2BC '设 BC=a,贝U AC=2a,.ad=ab=Jac2 +bc2 =隔，1. OE / BC,且 AO=BO,OE= BC= _ a, AE=CE= AC=a,222在 RtA AED 中，DE= JAD2 - AE2 =2a,在 AOD 中，AO2+AD2=（括2 ） 2+ （6a） 2="a2,24OD2= （OE+DE） 2=（工 a+2a） 2= - a2,24 -AO2+AD2=OD2, ./ OAD=90° ,则DA与。O相

20、切.(3)如图，连接AF, . AB是。的直径，AFD = ZBAD=90° , . / ADF = /BDA,AFDA BAD,DF ADAD BD,即 DF?BD=AD2,又. / AED=/OAD=90°, Z ADE =Z ODA ,AEDA OAD ,也=匹，即 OD?DE=AD2,OD AD由可得 DF?BD=OD?DE,即DFODDEBD又. / EDF=Z BDO ,EDFA BDO ,.EF DE一 二 ，OB BD.BC=1,.AB=AD=，5, OD = - , ED=2,2EF _2_.5、元'2.EF =【名师点睛】本题考查了切线的判定、等

21、腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线构造图形 是解题的关键.2. (2017 广东)如图，AB是。O的直径，AB= 4育，点E为线段OB上一点(不与 O, B重合)，作CEXOB,交OO于点C,垂足为点E,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P, AF ± PC T 点F,连接CB.(1)求证：CB是/ECP的平分线；(2)求证：CF=CE；(3)当 时，求劣弧BC的长度(结果保留 支).CP 4【答案】(1) (2)证明见解析；(3) BC = 60近2、=毡 1803【解析】

22、(1) . OC=OB, ZOCB=ZOBC, PF 是。O 的切线，CE± AB,ZOCP = Z CEB=90 ,Z PCB + Z OCB=90 , Z BCE + Z OBC=90 ,ZBCE = Z BCP,，BC 平分/PCE.(2)连接AC. AB 是直径，ZACB=90 ,ZBCP + Z ACF=90 , Z ACE+Z BCE=90° , ZBCP = Z BCE,ZACF = Z ACE,ZF = Z AEC=90 , AC=AC,.'.A ACFAACE,.CF=CE.(3)作 BMLPF 于 M.贝U CE=CM=CF,设 CE=CM=CF

23、=3a,贝U PC=4a, PM=a, BMCAPMB ,BM2=CM?PM=3a2,BM CMPM - BMBM= 3a,BM . 3.tan/ BCM = =,CM 3/ BCM =30° ,ZOCB = Z OBC = Z BOC=60° ,.bc 的长=60比RLRL. 18033. (2018山东东营)如图， CD是。O的切线，点 C在直径AB的延长线上.(1)求证：/ CAD = /BDC ;BD=2AD, AC=3,求 3(1)证明见解析；(2)CD的长.(1)连接OD,如图所示.-.OB=OD, ./ OBD = Z ODB .CD是O O的切线，OD是。O

24、的半径, / ODB + Z BDC =90° . . AB是。的直径， ./ ADB=90° , /OBD + /CAD=90°, ./ CAD = /BDC.(2) 1. / C=Z C, /CAD=/CDB,.,.CDBACAD,BD CD=一.AD AC''' BD= AD,3BD 2. .=一，AD 3CD 2=一,AC 3又. AC=3,.,CD=2.【名师点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）CD 2 =AC 34. （2018江苏淮安）如图,AB是。O的直径，AC是。O的切线，

25、切点为A, BC交。O于点D,点E是利用等角的余角相等证出/ CAD=/BDC; （2）利用相似三角形的性质找出AC=4.8,求图中阴影部分的面积.【答案】（1）直线DE与。相切.AC的中点.（1）试判断直线 DE与OO的位置关系，并说明理由;（2）若。O的半径为2, / B=50° ,，_一 ,10理由见解析；（2）图中阴影部分的面积为4.8- k.9【解析】（1）直线DE与。相切.理由如下:连接OE、OD,如图， . AC是。的切线，.-.ABXAC, ./ OAC =90° , 点E是AC的中点，O点为AB的中点， .OE / BC, ./ 1 = Z B, / 2=

26、73, .OB=OD, B=/3, / 1 = / 2,在 AOE和 DOE中OA =OD ! /1=N2 , OE =OE.-.AOEA DOE, ./ ODE = Z OAE=90° ,.,OAXAE,.DE为。O的切线；(2) 点E是AC的中点，1 AE=-AC=2.4,2 / AOD=2/ B=2X50°=100° ,1100 二 2210 图中阴影部分的面积=2X- >2>2.4- - =4.82元. 23609【名师点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系.也考查了圆周角定理和

27、扇形的面积公式.5. (2018湖北宜昌)如图，在 ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交 AC于点D,交BC于点E,延长AE 至点 F,使 EF=AE,连接 FB, FC .(1)求证：四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7, BE=2,求半圆和菱形 ABFC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2） 8/5【解析】（1） .AB是直径，/ AEB=90° ,.AEXBC,.AB=AC, .BE=CE, .AE=EF, 四边形ABFC是平行四边形， .AC=AB, 四边形ABFC是菱形.（2）设 CD=x.连接 BD. AB是直径，ADB = ZBDC=90° ,. .A

28、B2-AD2=CB2- CD2,（ 7+x） 2- 72=42-x2,解得x=1或-8 （舍弃） .AC=8, BD= x/82 -72 = Vl5 ,1, 8、2 _一 S 菱形 abfc =8 v15 , S半圆=一父江* （一） 8n .22【名师点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等 知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型. ABC内接于。O, /CBG=/A, CD为直径，OC与AB相交于点E,过点E6.（2018广西钦州）如图，作EFLBC,垂足为F,延长CD交GB的延长

29、线于点 P,连接BD .（1）求证：PG与。相切；（2）若正=5 ,求胜的值；AC 8 OC（3）在（2）的条件下，若。O的半径为8, PD = OD,求OE的长.5-【答案】（1）证明见解析；（2） 5 ; （3） OE=263 - 4.4【解析】（1）如图，连接 OB,则OB=OD,BDC = /DBO , . /BAC=/BDC, /BDC=/GBC, ./ GBC = /BDC , . CD是O O的直径，DBO + /OBC=90° , ./ GBC + ZOBC=90° , ./ GBO=90° , .PG与。相切；(2)过点O作OM ±AC于点M ,连接OA,则/ AOM=Z COM = - / AOC,2易知/ ABC=lz AOC,2又. / EFB = ZOMA=90°,BEFA OAM,EF BEAM - OA- am=1ac, OA=OC,EF2acBEOC 'p EF又ACBEOC5=2 8EF=2AC（3） PD=OD, / PBO=90°,.BD=OD=8,在 RDDBC 中，BC= 7DC2 -BD2 =8