组合(第一课时)

1、杨卫国 2006-04-251杨卫国 2006-04-252. 复习与引复习与引入入 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列的定义中包含两个基本内容：一是“”；二是“”“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 根据排列的定义，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是 我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素杨卫国 2

2、006-04-253 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有）个元素的所有排列的个数，叫做从排列的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数，排列数， 记作记作 注意区别注意区别“一个排列一个排列”与与“排列数排列数”的不同：的不同： “一个排列一个排列”是指是指“从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m个个元素按照一定的顺序排成元素按照一定的顺序排成一列一列”，不是数；，不是数； “排列数排列数”是指是指“从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素个元素的的所有排列的个数所有排列的个数”，是一个数因此符号只代表，是一个数因此符号只代表

3、排列数，而不表示具体的排列排列数，而不表示具体的排列一般情况下，第一个公式常用于计算；第二个公式是常用于证明。 . 复习与引复习与引入入杨卫国 2006-04-254 . 复习与引复习与引入入v5 (设置情境设置情境) 有有5本不同的书本不同的书v （1）取出取出3本分给甲、乙、丙三人每人本分给甲、乙、丙三人每人1本本，有几种不同的分法？有几种不同的分法？v （2）取出取出4本给甲本给甲，有几种不同的取法？，有几种不同的取法？v分析：问题（分析：问题（1）中，书是互不相同的，人也互）中，书是互不相同的，人也互不相同，所以是不相同，所以是排列问题排列问题，v而在问题（而在问题（2）中，书不相同，

4、但甲所有的书只）中，书不相同，但甲所有的书只有数量的要求而有数量的要求而无无“顺序顺序”的要求的要求，因而问题，因而问题（2）不是排列问题）不是排列问题，它就是我们这一节要研究，它就是我们这一节要研究的的组合问题组合问题 (点题点题)杨卫国 2006-04-255 . 讲授新课讲授新课v一组合概念一组合概念v 看下面的问题：看下面的问题：v引例引例1 (1) 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名分别去参加上午和下午的活动，有多少种不名分别去参加上午和下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？ (2) 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去名去参加一项活动，有

5、多少种不同的选法？参加一项活动，有多少种不同的选法？杨卫国 2006-04-256 . 讲授新课讲授新课 例题例题1：从四同学从四同学a、b、c 、 d中选出中选出2名名参加一项活动，求有多少种不同的选法参加一项活动，求有多少种不同的选法点击图片演示动画杨卫国 2006-04-257 . 讲授新课讲授新课v引例引例2 从不在同一条直线上的三点从不在同一条直线上的三点A 、B 、C 中，中，每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不同的直线？同的直线？v根据直线的性质，过任意两点可以作一条直根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线，并且只能作一条直线，所

6、以过线，并且只能作一条直线，所以过A 、B 两点只两点只能连成一条直线，因此可以得到三条直线：能连成一条直线，因此可以得到三条直线：AB 、BC 、AC ，直线，直线AB 与直线与直线BA 是一条直线，这是一条直线，这也就是说，也就是说，“把两点连成直线把两点连成直线”时，不考虑点的时，不考虑点的顺序顺序杨卫国 2006-04-258v归纳：以上两个引例所研究的问题是不同的，归纳：以上两个引例所研究的问题是不同的，但是，它们有数量上的共同点，即它们的但是，它们有数量上的共同点，即它们的实实质都是质都是：从：从3个不同的元素里每次取出个不同的元素里每次取出2个元个元素，素，不管怎样的顺序并成一组

7、，一共有多少不管怎样的顺序并成一组，一共有多少不同的组不同的组？杨卫国 2006-04-259 . 讲授新课讲授新课v 组合定义：组合定义：一般地，从一般地，从n 个不同元素中个不同元素中取出取出m （m n ）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n 个不同个不同元素中取出元素中取出m 个元素的个元素的一个组合一个组合排列与组合的关系排列与组合的关系v(1).相同点：都是从相同点：都是从n个不同元素中不重复抽取且个不同元素中不重复抽取且 m n v(2).不同点：从排列与组合的定义可知，不同点：从排列与组合的定义可知，排列排列与与元素的元素的顺序有关顺序有关，而，而组合组合与元素的与

8、元素的顺序无关顺序无关，这，这是它的根本区别是它的根本区别 杨卫国 2006-04-2510v(3).因此，如果两个组合中的因此，如果两个组合中的元素相同，那元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只；只有当两个组合中的有当两个组合中的元素不完全相同时，才是元素不完全相同时，才是不同的组合不同的组合杨卫国 2006-04-2511 . 讲授新课讲授新课 例题例题2：从三同学从三同学a、b、c中选出中选出2名参加名参加一项活动，求有多少中不同的选法一项活动，求有多少中不同的选法杨卫国 2006-04-2512 . 讲授新课讲授新课v二组合数及其公式二组合

9、数及其公式v从从 n个不同元素中取出个不同元素中取出m （m n ）个元素）个元素的所有的所有组合的个数组合的个数，叫做从，叫做从n 个不同元素中取出个不同元素中取出m 个元素的个元素的组合数组合数记作记作_v这里要注意这里要注意 组合数是一个数，应该把它与组合数是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来例如，从区别开来例如，从3个元素个元素a ，b ，c 中每次取出中每次取出2个元素的所有组合是个元素的所有组合是ab 、bc 、ac ，而组合数是而组合数是_v 排列与组合是有区别的，但它们又有联排列与组合是有区别的，但它们又有联系一般地，求从系一般地，求从n 个不同元素中取出个不同元素中取出m

10、 个元素个元素的排列数的排列数 ，可以分为以下，可以分为以下2步：步：杨卫国 2006-04-2513 . 讲授新课讲授新课v 第第1步，先求出从这步，先求出从这n 个不同元素中个不同元素中取出取出m 个元素的个元素的组合数组合数_ v 第第2步，求步，求每个组合中每个组合中m 个元素的全排列数个元素的全排列数_ v根据分步计数原理，得到根据分步计数原理，得到 _v 因此因此 v这里这里m 、nN* ，且，且m n ，这个公式叫做组合数公，这个公式叫做组合数公式式v该公式可以写成：该公式可以写成：v上面上面第一个公式第一个公式一般一般用于计算用于计算，但当，但当m 、n 较大时较大时，利，利用

11、用第二个式子第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式进行变形和论证时，常用第二个公式 杨卫国 2006-04-2514v 3例题分析例题分析v例例1 下面的问题是排列问题？还是组合问下面的问题是排列问题？还是组合问题？题？v（1）从）从1，3，5，9中任取两个数相加，可中任取两个数相加，可以得到多少个以得到多少个不同的和不同的和？ _v（2）从）从1，3，5，9中任取两个数相除，可中任取两个数相除，可以得到多少个以得到多少个不同的商不同的商？ _v（3）10个同学毕业后个同学毕业后互相通了一次信互相通

12、了一次信，一，一共写了多少封信？共写了多少封信？ _v（4）10个同学毕业后见面时，个同学毕业后见面时，互相握了一互相握了一次手次手，共握了多少次手？，共握了多少次手？ _组合问题组合问题 6排列问题排列问题 10 组合问题组合问题 45排列问题排列问题 90 杨卫国 2006-04-2515v（5）某铁路线上有）某铁路线上有5个车站，则共有几种个车站，则共有几种不同的车票？不同的车票？ _v（6）集合）集合A=a,b,c,d,e的的3元素子集多少元素子集多少个？个？ _v杨卫国 2006-04-2516v例例2 计算：（1）（2）v解：（1）v（2） v . 讲授新课讲授新课杨卫国 2006

13、-04-2517v例例3 求证：证明：v右边 v 左边， 所以原式得证 . 讲授新课讲授新课杨卫国 2006-04-2518v1. A. 课本课本 P99 1-2(口答口答), 3-6(板演板演) v B. 补充练习：补充练习：v1解方程：解方程： v（板演后讲评，强调解组合数方程要验根）（板演后讲评，强调解组合数方程要验根）v 2已知已知 v求求m 、n 的值（学生板演后，教师讲评）的值（学生板演后，教师讲评） . 课堂练习课堂练习杨卫国 2006-04-2519v参考答案参考答案 1解：解：v原方程可化为：原方程可化为：v 整理得：整理得：v 解得解得x=10, 或或x=-5/11 （不合

14、题意舍去）（不合题意舍去）v经检验经检验 x=10 是原方程的根是原方程的根v2解：依题意得解：依题意得v整理得整理得 解得解得: m=2;n=5 . 课堂练习课堂练习杨卫国 2006-04-2520v组合的定义简单地说，一是组合的定义简单地说，一是取出元素取出元素，二是，二是并并成一组成一组，与排列是有区别的但事物总是一分，与排列是有区别的但事物总是一分为二的，排列与组合也有一定的联系，从为二的，排列与组合也有一定的联系，从两者两者的联系中推导出组合数公式的联系中推导出组合数公式，要能，要能理解理解、记住记住并正确地并正确地运用运用，尤其要注意，尤其要注意逆用公式逆用公式. 课后作业课后作业v(一一) 课本课本 P104 1、3 、4、5 ； 苏大本节内容。苏大本节内容。v(二二) 1. 预习课本预习课本 P100-P102；v 2. 预习提纲预习提纲 v(1)组合组合数的两个性质数的两个性质是什么是什么 ? v(2)组合