三角函数的诱导公式(一)

1、1.3 三角函数的诱导公式（一）1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用 .2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题设角a的终边与单位圆的交点为P,由三角函数定义知P点坐标为(COS % Sin a).知识点一诱导公式二角兀+ a的终边与角a的终边关于原点对称，角 兀+ a的终边与单位圆的交点Pi与P也关于原点对称，因此点 P的坐标是(一COS a, - Sin a),它们的三角函数关系如下：诱导公式sin tH- a = sin a,COS 兀+ a = COS a, tan ti+ a = tan a.知识点二诱导公式三角一a的终边与角a的终边

2、关于X轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三sin -a = sin a,cos -a = COS a,tan -a = tan a.知识点三诱导公式四角兀一a的终边与角a的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四sin( f a)= sin a,COS(升力=一 COS a,tan(枳 o) = tan a公式一四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kjt+ o(keZ),兀+ a, 一 a,兀一 a的二角函数值与a的三角函数值之间的关系，这四组公式的共同特点是：2k 7t+ c(k6 Z),兀+ a, 一 a,兀一 a的三角函数值

3、等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.1 .诱导公式中角 a是任意角.(X )提示 正弦、余弦函数的诱导公式中，a为任意角，但是正切函数的诱导公式中，a的取值必须使公式中角的正切值有意义.2 . sin( a 7i) = sin a.( x )提木 sin( a 劝=sin ( l a) = sin(兀一 a) = sin a.c 41,/ 、3 . cos 3Tt= 2.( v )提示 cos ¥= cos 兀+ ： =- cos 仁-1. 33324 .诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用. (X )提示在角度制和弧度制下

4、，诱导公式都成立.题型一 给角求值问题例1求下列各三角函数式的值:11兀43兀.(1)cos 210 ; (2)sin 丁；(3)sin - - ; (4)cos( 1 920).考点同名诱导公式题点诱导公式二、三、四解 (1)cos 210 =cos(180 °+ 30 )=cos 30,3T.11 兀 3_5(2)sin 4 = sin 2 兀+ 4 =sin _4- = sin 兀- 4.4 _2= Sin 4= 2.12.(3)sin 6" = sin =sin "6" = sin 兀+ 6 = sin g = (4)cos( 1 920 )=c

5、os 1 920 °= cos(5X 360 4 120 )一。 一 一。一。1= cos 120 =Cos(180 60 ) = cos 60 = - 2.反思感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正"：用公式一或三来转化.(2) “大化小”：用公式一将角化为 0。到360。间的角.(3) “角化锐”：用公式二或四将大于90。的角转化为锐角.(4) “锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1求下列三角函数式的值：(1)sin( 330 ) cos 210(2)V3sin(- 1 200 ) tan( - 30 ) - cos 585 tan(1 665

6、 );(3)sin '兀, coSTt , tan3 兀.考点同名诱导公式题点诱导公式二、三、四 解 (1)sin(-330°) cos 210 °=sin(30 - 360° )cos(180 +30°)= sin 30 (-cos 30) = lx 亚=亚'2 224 .(5) V3sin( - 1 200 ) tan( - 30 ) - cos 585 tan( 1 665 )=->/3sin(1 080 + 120 ).号-cos(720 - 135 ) tan(-9°x 180 -45 ) = sin(1 080

7、 + 120 )-cos 135 °tan(45 )(3)sin=sin工2兀兀+ 3 cos > 6 tan 2 兀+ "3"7t7t7t=-sin 3 - - cos 6 tan 兀3步.-乎(-V3)=- 343.题型二条件求值或给值求角问题例 2 (1)已知 sin(兀+ 9=- 43cos(2 兀0), 年2t,则。等于()一兀_兀一兀 _ 兀A。 6 B。 3 C.6 D.3考点同名诱导公式 题点诱导公式一、答案解析可得-sin 0= - /cos 0, |。|<2,即tan0=m，iq<，, 一 兀0= Q.3- 兀J3（2）已知

8、cos R a 63col-M L6 的值.考点同名诱导公式题点诱导公式三、因为cos衿a =COSsin2 a6 = sin=1 cos2工二一 a6, 一 一一 一一一 兀由 sin（兀+ 0）= 3cos（2 Tt 0）, | a<2,“争=3,所以cos ,+asin2亚 2_ 2 + V33 33跟踪训练2如果A为锐角,考点同名诱导公式题点诱导公式二、四反思感悟(1)解决条件求值问题的策略解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的 差异及联系.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.(2)对于给值求角问题，先通过化简

9、已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.1sin（兀+ A）= - 2，那么 cos（兀A）等于（）答案1解析 因为 sin（兀+ A） = sin A= 2,.1所以 sin A=2, 一 一.兀会为锐角，所以A=-;UL 1, A、A兀,V3所以 cos（兀一A）= cos A= cos 6= .利用诱导公式化简典例化简下列各式：_ tan 2 兀一a sin 2 兀一a cos 6 兀一a-；sin a sin a cos acos a cos a sin asin a=一 tan a cos(2)原式=+ 2sin 360 - 70 ° cos

10、 360 °+ 70 °sin 180 +70° +cos 720 +70°M 2sin 70 cos 70 ° |cos 70 sin 70 |一sin 70 + cos 70cos 70 sin 70cos (X 7t sin 5 兀一(X Ml + 2sin 290 c6s 430 ° sin 250 平 cos 790 ° .考点同名诱导公式题点 诱导公式一、二、三、四综合应用sin 2 Tt a sin a cos acos 2 Tt- a解 (1)原式=cos Tt a sin Tt- asin 70 cos 7

11、0=1. cos 70 - sin 70 °引申探究tan n 兀a sin n 兀a cos n 兀a若本例改为： (nCZ),请化简.cos a n + 1 吊 sin n + 1 兀一目解当 n=2k(kCZ)时,tan a sin a cos a原式=tan a;一cos a sin a当 n = 2k+ 1(kC Z)时,一tan a sin a cos a原式=tan a.cos a sin a素养评析(1)三角函数式的化简方法利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.注意“1 ”的变式应用：如仁sin2kc

12、os2tan 4.(2)理解运算对象、掌握运算法则、求得运算结果，通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的数学核心素养.11A. 2 B. 2 C. 2 D2考点同名诱导公式题点诱导公式二答案 A解析 sin £= sin %+ 6 = sin ：= 1.2.已知角“和3的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是()A . sin a= sin 3B. sin( a 2 t) = sin 3C. cos a= cos 3D. cos(2 Tt o) = cos 3考点同名诱导公式题点诱导公式三答案 C解析 由角a和3的终边关于x轴对称，可知 3= a+ 2kMkC Z),故cos a=

13、 cos 33.已知cosa=,则 sin（3 兀+ a） cos（2 Tt o） tan（兀一0）等于（）5A.4 B-49苦 A. * C.2516D.25考点同名诱导公式题点诱导公式二、三、四答案 D解析 原式=sin（兀+ a） cos（ 0） tan（兀一） =（sin a） cos a （tan o） = sin2 a,由 cos oc=,得 sin2 a= 1 cos2 a=工7.5254.已知 sin 3= 1, cos(a+ 3)= 1,则 sin( a+ 2 3的值为()解析3=-sin 3=-，35.若f( =2cos0sin兀2cos 0兀 + 12 + 2cos之 7

14、 兀+ 0 + cos 0考点同名诱导公式题点诱导公式二三、四由已知得f( =2 + 2cos2 0+ cos 02cos3 0 sin2 0+ 2cos 0+ 12cos3 0 1 cos2 0 + 2cos 0+ 12 + 2cos2 9+ cos 02cos3 0+ cos2 0+ 2cos 02 + 2cos2 9+ cos 0cos 0 2cos2 0+ cos 0+ 22cos2 升 cos 时 2 cos 0， , 兀兀1所以 f 3 =cos 3=2.1 .明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为02兀之间的角公式二将02兀内的角车专化为0兀之间的角公式二将负角转化

15、为正角公式四 兀、一，,-将0兀内的角转化为0工之间的角2 .诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限 ” .其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将 “看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，a看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上a可以是任意角.3 .已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为02兀之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见 角知值，见值知角一、选择题1 . sin 315 sin(480 )+cos(330 )的值为()1 1.2.2A B. 2 C. 2 D. 2考点同名

16、诱导公式题点 诱导公式一、二、三、四答案 C解析 原式=sin(360 -45°)+sin(360° 120°)+cos(360 +30°) =sin 45 sin 60 + Cos 30 一当一李泮一尊故选C.2. （2018 南昌高一检测）点 P（sin 2 018 , tan 2 018 ）位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点同名诱导公式题点诱导公式一、二答案 B3. sin 20口值等于（）3. 1 r 1-黄r 3A.2 B. - 2 C. 2 D. -2考点同名诱导公式题点诱导公式一答案 C解析 sin 2 017 7

17、t= sin 672 升:=sin坐.3332故选C.4. 化简 sin?（兀+ a）cos（兀+ a） COs（ a）+1 的值为（）A. 1 B. 2sin2” C. 0 D. 2考点同名诱导公式题点诱导公式二、三答案 D解析 原式=（sin 42（cos a） cos a+ 1 = sin2a+ cos2 a+ 1 = 2. 15. （2018四川雅安中学局二期中）若$所（兀+力=2,则sin（4L a）的值是（1 1.3.3AQ B. 2 C. 2D. 2考点同名诱导公式题点诱导公式一、二、三答案 B1斛析由题思知，sin a= 2,所以 sin(4 Tij o) = sin a= 2

18、.6 .已知sin a-4 =坐，则sin 5 ”的值为（）A 1C 17C 3A.B. - 2C. 2D-2考点同名诱导公式题点诱导公式四答案 C-一5兀兀斛析 sin a = sin 兀一 a 4=sin a- 4 = 2 .1r 一 兀 c E.r ,.、，7 .右sin（兀o）= log84,且 “C 2, 0 ,则cos（兀+o）的值为（55A. 3B -3C.雪D.以上都不对3考点同名诱导公式题点诱导公式二、四答案 B解析sin（兀- a）= sin a= log23 2 223'' '' COs（兀+ o） = - cos a= - 11 - si

19、n2 a4.59一了8. （2018临沂高一检测）cos k 兀+ 3 （kCZ）的值为（）.,1 J -13A. 12 B.2 c. - 2 D.与考点同名诱导公式题点诱导公式一、二答案 A、填空题9.已知600 °角的终边上有一点 P（a, 3）,则a的值为考点同名诱导公式题点诱导公式一、二答案小解析 tan 600 =tan(360 °+ 240°)= tan(180 °+ 60 )3-=tan 60 = a= 313,即 a=3.10.、2 + 2sin 2 兀一 0 - cos2兀+"""0 可化简为 考点同名诱导

20、公式题点 诱导公式一、二、三答案 1 sin 0解析q2+2sin 2 兀-0 - cos2 兀十)= 02+2sin 0 cos2 0= aJi 2sin 0+ sin2 0=|1 sin 6| = 1 sin 0.11. (2018河北石家庄第一中学高二期中)化简:sin 2 兀一(cos 6 兀一(cos 0兀 sin 5 7t+ 0考点同名诱导公式题点诱导公式综合应用答案 1sin Ocos 9cos Osin 0sin 0 cos 0解析 原式= cos 0 sin 012 .设 f(x)= asin(<+ a)+bcos(<+ 以 其中 a, b, % 3为非零常数，若

21、 f(2 017)=- 1,则f(2 018) =.考点同名诱导公式题点诱导公式二答案 1解析 f(2 018) = asin(2 018 兀+ «)+bcos(2 018 兀+ 3) = asin(兀+ 2 017 # 0 + bcos(兀+ 2 017 #份=asin(2 017 # a) bcos(2 017 才=f(2 017),又 f(2 017) = - 1,f(2 018)=1.三、解答题13 . (2018 大庆高一检测)已知 sin( a+ 句=4,且 sin ocos a<0,求2sin "兀 '3tan 3 l ”的值.554cos a- 3 兀考点同名诱导公式题点诱导公式综合应用44因为sin(a+兀尹*所以加a= -5,又因为 sin ocos o<0,所以 cos a>0,所以