一元二次方程与几何综合(教师版)

1、一元二次方程与几何综合一、教学目标知识目标：运用根的判别式及韦达定理解决与一元二次方程的根有关的几何问题，强化旋转中的基本图 形和有关圆的综合题的处理方法.能力目标：能熟练地将方程的根与几何图形中的条件联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行 转化.情感目标：增强学习的信心，培养科学探究的意识.二、教学重点建立一元二次方程的两根的与几何图形之间的联系.三、教学难点含参一元二次方程的处理.四、课时安排23课时（2小时左右）.五、教学过程1 .先简单回顾上节课一元二次方程综合题的基本方法，并回顾韦达定理的基本内容和含参数的一元二次方 程的处理方法.2 .例题讲解：【例1】（20132014江岸

2、九上起点25）（试题难度：A）a 2 参考答案：(1)一 一；m=1 (2) 5000.b 3 .5分析：（1） ABD的三边分别为 J2a、b、a ,且/ BAD=45° ,故过 B点做BF LAD于F,在4 2BFD中使用勾股定理可以得到 a、b之间的关系式，因式分解之后得到两个结果，根据条件a<b可以排除一个结果；由韦达定理可以得到a、b与m之间的两个关系式，再加上求出的结果，一共三个方程，可以把m的值求出来，得到两个解 m=1和m=-3,分别算出a、b之后发现当 m=-3时a、b为负值，又 a、b是线段长不可能为负，故排除此解，所以 m=1.（2） a、b、c长度都未知

3、，只知道 BE的长，直接去求五边形各部分面积肯定行不通.考虑到 ABC和 ADE是两个共底角顶点的等腰直角三角形，尝试使用全等将五边形ABCDE拼接成为一个与 BE相关的三角形.故取 CD中点 F,延长 EF至 G,使 FG = EF,连接 BG、CG,则4 EDFA GCF , BAE0 BFG,所以五边形 ABCDE的面积就等于 EBG的面积，而 EBG又是一个腰长为 100的等腰直角三角 形，问题解决.另法：过 E点做AB的垂线，交 BA延长线于F,过D做DGLAC于G,设EF=x, AF=y,证明 AEFs DAG,且相似比为 V2 ,在 BEF中使用勾股定理用 a、b、x、y把BE表

4、示出来，再把五边形 ABCDE 的面积表示出来，然后做整体代换，也可以求出结果，此法较复杂.点评：本题（1）的两问都有两个结果，算出答案之后注意结合题目条件验证，排除掉与几何条件不符的结果；第（2）问考查了两个等腰直角三角形共底角顶点的基本图形.【例2】（20132014黄陂区九上期中 24改编）（试题难度：A）参考答案：（1） PA=9; （2） 10.分析：（1）这是一个八年级常考的图形，结论是 PA=PB+PC,又由韦达定理得到PB+PC=9,问题解决.给出两种证明：延长 PC至D,使CD = BP,证明 ABPA ACD;延长 BP至E,使PE=PC,证 明 BCEA ACP .（2）

5、根据韦达定理不能求出p、q,所以先处理第二个式子，去掉绝对值之后可以将其因式分解，得到p=6或q=3 ,将两种情况都代入到韦达定理中验算，可以排除掉q=3的结果，故 p=6 , q=8 .要使PA+PB+PC最小，可以将 BPC绕点B顺时针旋转 60° BED,贝U PA+PB+PC转化为 PA+PE+ED ,贝U 当PA、PE、ED共线时有最小值，即最小值为 AD,因为 AB=6, BD=BC=8, /ABD=90° ,故 AD=10.点评：本题第（1）问考查八年级常考的图形以及韦达定理；第（2）问是一元二次方程与几何最值问题的结合.阶段性小结：例1例2告诉我们，在做此类

6、题目的时候，常常会得到多解，得到的结果一定要结合题目 条件一一验证.【例3】（2013武汉元调25）（试题难度：B）参考答案：（1）略；（2） 也；（3） 0vmv1 或-2Wmv-l分析：（1）因为AC+CE=AE,所以只需证明 CE=，3BC即可，因为 BCXCE,所以连接 BE,只需证明 ZE=30° ,因为/ E是。的圆周角，所以/ E是/O的一半，问题得证；（2） WAB中点F,连接AF、BF,则出现了一个八年级常考的图形，过 F分别向AC、BC做垂线，垂足分别为 G、H,则 AFGBFH,故 AC+BC=2AG,又因为 AG< AF,故 AC+BCW2AF = J2

7、 .（3）这个关于x的方程可以因式分解，可以得到X1 =b和X2 = J3a b ,所以需要考虑两种情况：b的范围即AC的范围，即0到1之间；V3a b的范围可以考虑 AE,当C在运动过程中，AE最短为AB,最长为。O直径，这一点很容易出错，故m的取值范围有两个.点评：本题第（2）问将八年级的基本图形隐藏在圆中，同时加入了最值问题；第（3）问是韦达定理与几何最值的结合，【例4】（20132014 六中周练25）（试题难度：A）6 / 6参考答案：（1）a+3b=10;m=J3 （2）a=2, b= 2<3 ；MN最大值6 2屈,最小值6 2代分析：（1）过D点分别向x轴、y轴做垂线，垂足

8、分别为 E、F,则4 DEBsDFA,然后可以得到a、b间的关系；由韦达定理可以得到关于a、b、m的两个关系式，加上中的关系式，可以把 m求出来，得到两个结果，注意其中一个结果不符合题意要舍掉； .3n2 n（2）用因式分解法可以得到这个方程的两根，由于 A在y轴负半轴上，所以 a=-2, b=-一，将八、1a、b代入一a 43b 5中，可以求出n、b,注意舍掉不符合题意的一根；在。Q中，MN所对的圆周2角为一定值60° ,所以。Q半径越大，MN越大，O Q半径越小，MN越小.Q点为CO1与OO1的交点时，QC最小，Q点为CO1延长线与。O1的交点时，QC最大，然后可以求出 MN的长

9、.点评：本题是韦达定理与几何最值问题的结合.阶段性小结：熟练掌握含参一元二次方程的做法是这一类题的基础，例 2例3例4都涉及到了因式分 解，对代数式变形的基本功有一定的要求.【归纳小结】本节课你们学到了什么知识？对一元二次方程与几何综合题有什么新的认识？这类题的易错点是什么?【家庭作业】1. （20132014二中、七一九上期中 16改编）（试题难度： B）3参考答案：(1) 4 V3 ; (2) 3V3 ; ( 3)CD取小值为2;22分析：(1)把四边形ABCD的面积用a、b表示出来，然后结合韦达定理稍加变形即可；(2)与(1)方法一样；(3)分别过 CD向AB做垂线，可以把 CD用a、b

10、表示出来，然后用代数方法求其最值；当 CD最 小时，即a=b,此时 PCD是一个等边三角形，显然可以得到R=2r,或者把R和r都计算出来也可以.点评：本题主要是用代数运算解决几何问题，设置(1) (2)两问名合第(3)问降低了难度.2. (20132014六中九上期中 25)(试题难度： A)参考答案：(1 ) A (正，0) ; (2) 22 - (3)22S ,0< t< 22 分析：（1）把半径求出来用勾股定理计算，或者直接用直角三角形射影定理计算；（2）首先由韦达定理可以得到 N点坐标，发现N是AB中点，连接FN、GN,就成为了八年级常考的一个图形，此题迎刃而解；（3）注意到/ ACB=135° ,所以可以过 A点做BC的垂线，垂足为