中考必会几何模型：将军饮马模型

1、WANG13将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中 考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现.模型1:直线与两定点模型AlB当两定点A、B在直线l异侧时，在直线 l上找一点P,使PA+ PB最小.B.A-' l当两定点A、B在直线l同侧时，在直线 l上找一点 P,使得PA+PB最小.作法连接AB交直线l于点P,点P 即为所求作的点.B'作点B关于直线l的对称点B', 连接AB'交直线l于点P,点P 即为所求作的点.结论PA+PB

2、的最小值为 ABPA+PB的最小值为 AB'AB A l当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P,使得|PA PB|最大.Al Bll III III当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P,使得|PA PB|最大.连接AB并延长交直线l于点 P,点P即为所求作的点.| PA PB的最大值为AB连接AB'并延长交直线l于点 P,点P即为所求作的点.AB .l当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P,使得|PA PB|最小.l|PA PB的最小值为0连接AB,作AB的垂直平分线 交直线l于1点、P,点P即为所 求作的点.模型实例例1:如图，正方形 ABCD

3、的面积是12, ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD内, 在对角线 AC上有一点P,则PD + PE最小值是 .解答：如图所示，二点 B与点D关于AC对称，当点P为BE与AC的交点时，PD + PE最小，且线段 BE的长.正方形ABCD的面积为12, 其边长为2指.ABE为等边三角形，BE = AB=2>/3.，PD+PE的最小值为2M.例2:如图，已知那BC为等腰直角三角形， AC = BC=4, Z BCD = 15°, P为CD上的动点,则PA PB 的最大值是多少?解答:如图所示，作点 A关于CD的对称点A；连接AC,连接AB并延长交CD于点P,则点P就是|PA

4、PB的值最大时的点，|PA PB =A'B.ABC为等腰直角三角形， AC=BC等于4,ACB = 90°. / BCD = 15°,ACD= 75°.点 A、A'关于 CD 对称，AAT CD, AC=CA', / ACD = / DCA '= 75°,/ BCA '= 60°.-. CA = AC=BC=4,.ABC 是等边三角形， ，AB=BC=4.PA PB 的最大值为 4.练习1.如图，在GABC中，AC=BC=2, /ACB=90°, D是BC边的中点，E是AB边上一动点, 则EC+

5、ED的最小值是 .解：解：过点C作COL AB于0,延长COgJ C ,使OC =OC连接DC ,交AB于E,连接C B,止匕时DE+CE=DE+E=DC的值最/、.连接 BC ,由对称性可知 / C BE=/ CBE=45 ,/ CBC =90° ,B C，BC ZBCC =/ B C C=45 , a BC=BC =2, vd 是 BC边的中点，BD=1根据勾股定理可得：DC =痣，故EC+ED勺最小值是 非.2.如图，点C的坐标为（3, y）,当 ABC的周长最短时，求 y的值.解：解：（1）作A关于x=3的对称点A',连接A' B交直线x=3与点C.点 A 与

6、点 A'关于 x=3 对称，AC=A ' C. . . AC+BC=A ' C+BC .当点B、C、A'在同一条直线上时，A' C+BC有最小值，即 ABC的周长有最小值.点A与点A'关于x=3对称，点A '的坐标为（6, 3）.一 33设直线BA 的解析式y=kx+b ,将点B和点A 的坐标代入得：k= , b=-.4 2 3将x=3代入函数的解析式，y的值为-43.如图，正方形 ABCD中，AB = 7, M是DC上的一点，且 DM = 3, N是AC上的一动点, 求|DN MN|的最小值与最大值.解：解：当ND=NIW,即N点DM勺

7、垂直平分线与 AC的交点，|DN-MN|=0, 因为|DN-MN|<DM当点N运动到C点时取等号，止匕时|DN-MN|=DM=3 所以|DN-MN|的最小值为0,最大值为3模型作法结论A ;OB点P在/ AOB内部，在OB边上找点D, OA边上找点C,使得 PCD周长最小.O工,BOD) ；* 1P''分别作点P关于OA、OB 的对称点P'、P,连接PP, 交OA、OB于点C、D,点 C、D即为所求. PCD周长的最小值为 P'POB点P在/ AOB内部，在OB边上找点D, OA边上找点 C,使得PD + CD最小.°D、；B1 TP'作

8、点P关于OB的对称点P；过 P作 PC LOA 交 OBPD+CD的最小值为PC于D,点C、点D即为所求.点P、Q在/ AOB内部，在OB边上找 点D,OA边上找点C,使得四边形PQDC 周长最小.分别作点P、Q关于OA、 OB的对称点P '、Q连接 PQ；分另1J交OA、OB于点 C、D,点C、D即为所求.PC + CD + DQ 的最小值为PQ；所以四边形 PQDC周 长的最小值为 PQ+ P'Q'模型实例如图，/ AOB=30° , / AOB内有一定点 P,且OP = 10.在OA上有一点 Q, OB上一点R .若立 PQR周长最小，则最小周长是多少？

9、解答如图，作点P分别关于OA、OB的对称点E、F ,连接EF ,分别交OA、OB 于点 Q、R ,连接 OE、OF、PE、PF .EQ OP, FR=RP. PQR的周长的最小值为 EF的长.由对称性可得/ EOQ= / POQ, / FOR= / POR, ZEOF=2Z AOB=60 ° . EOF是正三角形.EF OE OP 10.即 PQR周长最小值为10.模型2/角与定点1 .已知，？MON 40 , P为DMON内一定点， A为OM上的点，B为ON上的点, 当 PAB的周长取最小值时：(1)找到A、B点，保留作图痕迹；(2)求此时DAPB等于多少度.如果/ MON = 0

10、,Z APB又等于多少度？1 .解答(1)做点 P分别关于 OM、ON的对称点 E、F ,连接 EF分别交 OM、ON于点 A、B .点A、B即为所求，此时 PAB的周长最小.(2) .点E与点P关于直线OM对称，点F与点P关于ON对称， .Z E =Z APE, / F=/ BPF , / CPD=180 -/ MON =140 .，在 EFP 中，/ E + / F =180° -140 ° =40° ,CPA+Z BPD =40 . . APB=100 .如果/ MON = 0 , ./ CPD =180 - 0 , Z E + / F = 0 .又PAB

11、=2 Z E, / PBA=2/ F .Z PAB+Z PBA=2 (/ E+/ F) =2 0APB =180 -2 0 .E2.如图，四边形中 ABCD , ?BAD 110 , ?B ?D 90 ,在BC、CD上分别找 一点M、N ,使 AMN周长最小，并求此时 AMN+ ANM的度数.2.解答如图，作点A关于BC的对称点A ,关于CD的对称点A , 连接AA与BC、CD的交点即为所求的点 M、N .此时 AMN周长最小.BAD =110 ，/ A +Z A =180° -110° =70° .由轴对称的性质得：/ A =/ A AM，/ A =/ A AN

12、 , .Z AMN +/ ANM =2( / A+Z A )=2X70° =140° .3.如图，在x轴上找一点C,在y轴上找一点D,使AD + CD + BC最小，并求直 线CD的解析式及点C、D的坐标.y*A(1,3)B(3,1)3 .解答作点A关于y轴的对称点A，点B关于x轴的对称点B ,连接AB分别交x轴、y轴 于点C、D ,此时AD CD BC最小.由对称性可知 A (-1,3), B (3, -1).易求得直线 A B的解析式为y x 2,即直线CD的解析式y x 2 .当y 0时，x 2,，点C坐标为(2,0).当x 0时，y 2 ,点D坐标为(0,2 ).4

13、.如图，？MON 20 , A、点P、Q分别为射线OM、B占分别为射线OM、ON上两动点，当 P、的最小值是多少?ON上两定点，且 OA=2, OB =4 , Q运动时，线段AQ + PQ + PBA NB4 .解答作A点关于ON的对称点A，点B关于OM的对称点B ,连接A B ,分别交OM、ON 于点P、Q ,连接OA、OB .则 AQ PQ PB AQ PQ PB AB ,此时 AQ PQ PB 最小.由对称可知， PB PB, AQ AQ, OA OA 2,OB OB 4 , MOB NOA MON 20 A OB 60 .作A D，OB于点D , 在 RtA ODA 中，. BD 4

14、1 3, AB 2点 AQ PQ PB的最/、值是2翼.模型3两定点一定长模型BdI l 如图，在直线l上找M、N两点 （M在左），使得AM+MN+NB最 小，且MN =d.作法结论AM + MN + NB的最小值为A"B + d将A向右平移d个单位到A；作A关于l的对称点A",连接A"B与直线l交于点N,将点N向左平移d个单位即为M ,点M , N即为所求.Alil2 .B如图，ll/l2, li、l2间距离为d, 在li、l2分别找M、N两点，使 得 MN，li,且 AM+ MN + NB 最小.B将A向下平移d个单位到A,连接A B交直线l2于 点N,过点N

15、作MN Li,连接AM.点M、N即为所求.AM +MN + NB的最小值为A'B + d.例题：在平面直角坐标系中，矩形 OABC如图所示，点 A在x轴正半轴上，点 C在y轴正 半轴上，且 OA=6, OC=4, D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF =2.当四边形BDEF的周长最小时，求点 E的坐标.解答：如图，将点 D向右平移2个单位得到D'(2, 2),作D'关于x轴的对称点D"(2, 2),连 接BD"交x轴于点F,将点F向左平移2个单位到点E,此时点E和点F为所求作的点， 且四边形BDEF周长最小.理由：四边形 BDEF

16、的周长为BD + DE + EF+BF, BD与EF是定值.BF+DE最小时，四边形 BDEF周长最小， BF+ED = BF+FD'=BF + FD"= BD"设直线BD"的解析式为y=kx+b,把B(6, 4), D"(2, 2)代入,33得 6k+b = 4, 2k+ b= 2,斛得 k= 2, b= - 5, .直线 BD 的斛析式为 y=2x 5.0).令y= 0,得x=，点F坐标为(?，0) .，点E坐标为g, 练习1 .在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点O在坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、y轴 的正半轴上，A(3, 0),

17、B(0, 4), D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求 CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且 EF=1,当四边形CDEF的周长最小时，求点 E、 F的坐标.解答：(1)如图，作点D关于x轴的对称点D',连接CD与x轴交于点 巳 连接DE,由模型可知 CDE的周长最小. 在矩形 OACB中，OA=3, OB = 4, D为OB的中点， .D(0, 2), C(3, 4), D'(0, -2).设直线 CD为y=kx+b,把 C(3, 4), D'(0, 2)代入，得 3k+b = 4, b=- 2,解得 k= 2, b=-2,. .直

18、线 CD'为 y=2x2.令 y= 0,得 x= 1,.点E的坐标为(1, 0).OE= 1 , AE= 2.利用勾股定理得 CD=03, DE = ® CE=2/, . CDE周长的最小值为 网十可5.(2)如图，将点D向右平移1个单位得到D'(1, 2),作D'关于x轴的对称点D(1, 2), 连接CD 交x轴于点F,将点F向左平移1个单位到点E,此时点E和点F为所求作的 点，且四边形 CDEF周长最小.理由：二.四边形 CDEF的周长为 CD+DE+EF + CF, CD与EF是定值， .DE+CF 最小时，四边形 BDEF 周长最小，DE + CF = D'F+CF = FD "+CF = CD ， 设