二次函数解决问题(答案)

1、函数综合应用题一、求利润的最值(2010武汉)23.(本题满分10分)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。(1) 设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)y=50x(0<160,且x是

2、10的整数倍)。10(2) W=(502x)(180叔/0)=1x2434x48000;1010(3) W=一2x2+34x+8000=2(x170)2+10890,当x<170时，W随x增大而增大，1010但0球160,当x=160时，W大=10880,当x=160时，y=50-x=34o答：一天订住34个房间时,10宾馆每天利润最大，最大利润是10880元。(2009武汉)23.(本题满分10分)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的

3、销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？解：(1)y=(21010x)(50+x40)=10x2+110x+2100(0<xW15且x为整数)；2(2)y=-10(x-5.5)+2402.5.:a=-10<0,当x=5.5时，y有最大值2402.5.：*0<x&15,且x为整数，当x=5时，50+x=55,y=2400(元)，

4、当x=6时，50+x=56,y=2400(元)二当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元.(3)当y=2200时，10x2+110x+2100=2200,解得：x1=1,x2=10.，当x=1时，50+x=51,当x=10时，50+x=60.，当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元.当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元.当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分另I为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月的利润不低于2200元）.（2008武汉）23.（本题10分

5、）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件.求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？解：y=15010x,0MxW5且x为整数；当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元；（2011四调武汉）23、杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元.按规定，该产品售价不得低于100元/件且不

6、得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由.解：（1）设y=kx+b ,则由图象知:100k+b=20J80k+b-12万件解得 k= - -L, b=30,.y=- -Lx+30, 100W x<18010(2)设公司第一年获利 W万元，则 W= (x - 60)

7、 y - 1500= - -x2+36x - 3300=101102d2(x - 180) 60<- 60,工玩第一年公司亏损了，当产品售价定为180元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元;（3）若两年共盈利1340万元，因为第一年亏损60元，第二年盈利的为（x-60）y=-±x2+36x-1800,则-x2+36x-1800-60=1340,解得刈=200,x2=160,-100<x<180x=160,.每件产品的定价定为160元时，公司两年共盈利达1340万元.(2010武汉四调)23.某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售

8、价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为X元,每个月的销售量为y件.(1)求y与X的函数关系式并直接写出自变量X的取值范围；(2)设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；(3)每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？解：fl)当司加时-50)=f+260.V3*>80MFy-ISO=-3j+420.丁y><)./,x<140,-j：+2605OW/W8OL-V<.-4A,-x3+3Wi-104tX)-3/+皿1_网0

9、0<140.6分(3)当50与式范粉时，IVu-x1+3(Xi-)0400=-(z-150)1+12100,X的取色在对称箱的左偏41%H的增大而增大.防。当K=SO时.%1A8分当80OV140时.W=3/+540s-16800=-3(1-90尸+7500,当x9。时，印*人=7500i，9分综上可知.每件M品的料价定为»元时.毋个月可我钿最大利泗.般大的月利涧贴75007，巾分(2009武汉四调)23.(本题满分10分)某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.(1)请写出每月售出书包的利润y

10、(元)与每个书包涨价x(元)间的函数关系式；(2)设某月的利润为10000元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；(3)请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元.13. ty-40+«-30)(600-Ig)(1) 0*SOQx+«XX>(3分)(2) vy-10+12150；£4分):1。皿无不黑最大利洞.因为当*=23即傅饼为酬无时，可饵足入剥树为1723。元：G分)(3) 当净匕-10(a-M)1+12250=40001X之招，,-0.=50,(7二帝数，二-10-23),+12250的厘像开口商下.对徐轴为直线工=3”与

11、65;=800的文点为10,6000)和(50.6000),由图倬可即.当。卬，50时，*00d学曲的在不小F却元旦不大于90元时,月利科不蜂干fiono元，(10二、求面积(2011武汉)23.(本题满分10分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；直接写出(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函

12、数图像，x的取值范围.23.解：(1)=30-2x(6x<l5)(2)设矩形苗圃园的面积为S,则$=*?=耳(302x)=2K2+3Qz如现国/.S=-2(X-7,5)2+112,5由(1)知，83k<15，当k=?.5时，S最大值=112.5即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为？.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5.3、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙"“另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积花圃为S平方米.,B(1)求S与xN间的函数关系式(不要求写出自变量x的取

13、值范围).(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值.21.解：由题意得§=ABBC=M32-2k),"3;.S=-2x432x2分.,a=-2<0有最大值分b=322a-2x(-2)4a42)=128-r.x=8时S有最大值是128三、根据实际情况合理建立坐标系解题(2012武汉)23.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分AC*口矩形白三边AEEDDB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式；（2）已知从某

14、时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位:时）的变化满足函数关系h=-（t-19）2+8（0wtW40）,且当水面到顶点C的距离不123大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解；（t）设抛物线的为由题惹得B0S）,-'64a-ll=Sr解得L:=35j.35732（小时L答，需更小时禁止船只通行.（2）水面到顶点C的距离不大于与米时民咏面与河底ED的距离h至多为&，干=-（t-T，128（2012武汉四调）23.（本题满分10分）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一

15、个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m（1）建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为（0,2.25）,水柱的最高点的坐标为（1,3）,求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；（2）如图，在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3m,最内轨道的半径为rm,其上每0.3m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏.求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？第23题图制：（1）按沏意建立生相系后，点U,3）是融物形水柱的国点.设眦物形水柱对鹿的函数关系式为，-2

16、分困为点在抛物坡上，所以125ro（O-l）3+里*3分解彳3卡（1B“"4分因此，地物形水柱对应的函数关系式为:r/s-i）1+工5分当+3=0.解得工厂-Ifu3,根据实际+台去#=-L所般K=3,用水柱落地点离池中心三m.7分设沌中安装巡第FU个.他题理得.即2悬（加急凸-力磊4m，9分所以,当中时他中安装的地漏的个数地多I。命（2012役徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从。点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（mD与运行的水平距离x（mj）满足关系式y=a（x-6）2+h.已知球网与。点的水平距离为9m高度为2.43m,球场的边界距。点的水平距离为1

17、8m（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.1S2*U)y'(I-6)1+2,6*60(1)岂产9时,v="5>U3,航滤检球M当何帆一L（”犷=。，解得工产6+N39、1*f=6-N科60.陪去）故会出界（3）h>-四、方案设计类问题（2011?恩施州）宜万铁路开通后，给恩施州带来了很大方便.恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的AB两种材料共50箱.已知A种材料一箱的体积是1.8立

18、方米、重量是0.4吨；B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨;不计箱子之间白空隙，设A种材料进了x箱.（1）求厂家共有多少种进货方案（不要求列举方案）？（2）若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y（万元）与x（箱）的函数关系大致如二二二二一二 IFr1Tr1Tru r Ilrr 二 ml LL,厂厂二卜E . 二二二二二二 mwm uvlr r 二 m r r 1 r r £IT r i LLLNLLJILLI z - mrrm r二JFT-JT 十xlll-十-l-nT 十4-ix1520253038404550y10约 27.5840约 48.20约 49.10约 47

19、.1240约 26.99下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式（求函数嵯析式不取近似值），确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润.解答；解；设用隔料进了K班则E种材料进了5Q-X箱r由图象可知二松函数经过15，10）（25，40）（45，40）5根据题意，如:L8x + 50 -*£900.4x + 12 <50 -x) <50解得12.5W定50M版整数，故有37种进货方案；（2）由以上数据可知该函数为二次函数, 设二根函数的解析式为产注口中口将三点坐标代入二次函数解析式可得的-。,1，b=7, c=-72,S，二次函数的解析式为y=

20、- 0,1x2+7x- 72，5，当工二' 一口3s时，能让厂冢获得最大利润，2a最大利润为50。万元.（2011?成都）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD勺面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）.当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为。和Q,且。到ARBCAD的距离与O2到CDBGAD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习.当（1）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由。品据跑宜.得M叫即理工12O-2x） =+-12 分v -2 t0,士当工=r 5 K 广30（米）时+$.血4 x （2）三工800（平方繁），围墙AB-3O,BC-60,设。5的小楼为，米.团心内利