2025年春沪科版七年级数学下册 第9章 分式 小结与复习

第9章分式小结与复习1.分式的定义2.分式有意义的条件：b≠0.分式无意义的条件：b＝0.分式值为0的条件：a＝0且b≠0.一、分式的概念及基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.3.分式的基本性质约分的定义

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．最简分式的定义分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式.注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.4.分式的约分约分的一般步骤(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；(2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．分式的通分的定义

化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分.最简公分母

通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母.5.分式的通分1.分式的乘除法则：2.分式的乘方法则：二、分式的运算(1)同分母分式的加减法则：(2)异分母分式的加减法则：3.分式的加减法则先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.计算结果要化为最简分式或整式．4.分式的混合运算1.分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法(1)将方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则此解是原分式方程的解，否则为增根，须舍去.

三、分式方程列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审清题意，并设出未知数；

(2)找相等关系；(3)列出方程；(4)解这个分式方程；(5)检验(包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；(6)作答.3.分式方程的应用考点一分式的有关概念例1如果分式

的值为

0，那么

x的值为

.【解析】根据分式值为

0的条件：分子为

0而分母不为

0，列出关于

x的方程，求出

x的值.由题意可得：x2

-

1

=

0，x

+

1≠

0.解得

x

=

1.1分式有意义的条件是分母不为

0；分式无意义的条件是分母的值为

0；分式的值为

0

的条件是分子为

0

且分母不为

0.归纳总结针对训练2.若分式

的值为零，则

a的值为

.21.若分式

无意义，则

x

的值为

.-3考点二分式的性质及有关计算B例2如果把分式中的

x和

y的值都变为原来的3倍，那么分式的值（）A.变为原来的3倍

B.不变C.变为原来的D.变为原来的针对训练3.下列变形正确的是()C例3已知

x=

，y=

，求

的值.【解析】本题中给出了字母的具体取值，一般应先化简分式再代入求值.把

x

=，y

=代入得解：原式=原式

=对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.归纳总结针对训练4.有一道题:“先化简，再求值：

，其中

.”小玲做题时把错抄成，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?解：因为

所以小玲的计算结果也正确.例4解析：本题若先求出

a

的值，再代入求值，显然比较复杂；但是如果将分式

的分子、分母颠倒过来，即求

的值，再利用完全平方公式变形求解就简单多了．归纳总结

利用

x和

互为倒数，构造已知条件与所求代数式的关系，并运用整体代换，可使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．5.已知

x2

-

5x

+

1

=

0，求

的值.解：因为

x2

-

5x

+1

=

0，

得

即所以针对训练

=(25-2)2-2

=527.

考点三分式方程的解法例5解下列分式方程：

解：(1)方程两边同乘以最简公分母(x+1)(x-1)，得

x+1+x-1=0.解得

x=0.

检验：当

x=0时，(x+1)(x-1)≠0，

所以原方程的根是

x=0.

【解析】分式方程两边同乘以最简公分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到

x的值，再检验即可确定出分式方程的解．解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解．注意解分式方程一定要验根.归纳总结(2)方程两边同乘以最简公分母

x+1，得

x-4=2x+2-3.解得

x=-3.

检验：当

x=-3时，

x+1≠0，

所以原方程的根是

x=-3.

解：方程两边同乘以最简公分母为(x+2)(x﹣2)，得(x﹣2)2-(x+2)(x﹣2)=16.

展开，得﹣4x+8=16.

解得

x=﹣2.

检验：当

x=﹣2时，(x+2)(x﹣2)=0.

所以

x=﹣2不是原方程的根，原方程无解．针对训练考点四分式方程的应用例6从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；解：根据题意得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米.(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．解析：设普通列车的平均速度是

x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．解：设普通列车的平均速度是

x

千米/时，则高铁的平均速度是2.5x

千米/时，根据题意得

解得

x＝120.

检验：

x＝120是原方程的根，且符合题意.则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．答：高铁的平均速度是300千米/时．.7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖

x

米，则依题意列出正确的方程为（

）A.B.C.D.C针对训练8.某商店第一次用

600元购进

2B铅笔若干支，第二次又用

600

元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的

倍，购进数量比第一次少了

30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元.解：设第一次每支铅笔进价为

x元，根据题意，得解得x=4.检验：

x=4是原方程的根，且符合题意.答：第一次每支铅笔的进价为

4元.考点五本章数学思想和解题方法主元法例7已知

，求

的值.【解析】将条件等式变形为用

b来表示

a的形式，可得

，再代入所求分式中约分即可求值.解：因为

，

所以

.所以

已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值，这种方法即是主元法.

此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元，并将辅元用含有主元的代数式表示，这样就达到了减元的目的，可以化繁为简，化难为易.归纳总结解：由

，得