二次函数与不等式

1、抛物线与不等式一.选择题1.（2014?南宁）如图，已知二次函数（）C.a>0A.a>1B.-1<a司D.Tvav2(2)y=-x2+2x,当-1vxva时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是2.（2014?黄石）二次函数y=ax2+bx+cB.x>3（a利的图象如图，则函数值y>0时，x的取值范围是（C.-1<x<3D.xvT或x>33. （2014?义乌市）如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y4成立的x的取值范围是（4.（2013?槐荫区二模）如图，直线C.xD.x<-1或x总y=x与抛物线y=x2-x-3交于A、B两点

2、，点P是抛物线上的一个动点,P作直线PQ，x轴，交直线y=x于点Q,范围是（A.2（6）5.（2012?石家庄二模）如图，一次函数x1或,1设点P的横坐标为m,则线段或<xy1=mx+n（m加）与二次函数y2=ax1vx0过点的取值+bx+c（a加）的图象相父于两点PQ的长度随m的增大而减小时m21,5）、B（9,3）,请你根据图象写出使y1为2成立的x的取值范围（A. - 1a却二.解答题B. Tv9C. - 1<x<9D. x<- 1 或 x步6. （2013?香洲区二模）先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题例题：解一元二次不等式x2-3x+2>0./

3、解：令y=x2-3x+2,画出y=x2-3x+2如图所示，由图象可知：当x<1或x>2时，y>0.所以一元二次不等式x23x+2>0的解集为xv1或x>2.填空：（1）x2-3x+2<0的解集为;（2）x2-1>0的解集为用类似的方法解一元二次不等式-x2-5x+6>0.7. (2010?淮北模拟)如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案)8.(2005?滨州)(I)请将下表补充完整;判别式=b2-4ac二次函

4、数y=ax2+bx+c(a>0)图象>0二0<0无实数根有两个相等的实数根一元二次方程有两个不相等的实数根ax2+bx+c=0(a>0)的I./根x潼一，°fJKx=-(xivx2)使y>0的x的取值范围xvxi或x>x2xW一不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集不等式ax2+bx+cv0(a>0)的解集(n)利用你在填上表时获得的结论，解不等式-x2-2x+3v0;(m)利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；(IV)试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c>0(

5、a加)时的解题步骤.x都有y注x；0V xv2时，总9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为实数且a用)满足条件：/对任意实数有yJ(x+1),成立.(1)求a+b+c的值；(2)求a-b+c的取值范围.10 .已知函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答卜列问题.(1)当x取何值时y=0.(2)方程x2-2x-3=0的解是什么？(3)当x取何值时，y<0?当x取何值时，y>0?(4)不等式x2-2x-3V0的解集是什么？/11 .(2008?株洲)如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,J的图象为h-4L-2),点B的坐标为(3,-1),二次函数(1)平移抛物

6、线-11,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的抛物线的一个解析式(任写一个即可)(2)平移抛物线11,使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为的坐标；(3)设P为y轴上一点，且Saabc=Saabp,求点P的坐标；(4)请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线12上是否存在点Q,12,如图2,求抛物线12的函数解析式及顶点C>AQAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q/共有几个可能的位置(保留作图痕迹)；若不存在，请说明埋Ay*八二下7/n；)j:由.图图12.把抛物线y=x2向右、向下平移，使它经过点A(1,0)且与x轴的另一个交点C,如图所示.(1)求/ABC的度数；(2)设D

7、是平移后抛物线的顶点，若BDLBC,试确定平移的方法.B在A的右侧，与y轴父十点13 .把抛物线y=-2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，问所得的抛物线与x轴有没有交点，若有，求出交点坐标；若没有，说明理由.14 .(2014?南安市一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2.点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90得点D,点D随点P的运动而运动，连接DP、DA.(1)请用含t的代数式表示出点

8、D的坐标；(2)求t为何值时，4DPA的面积最大，最大为多少？(3)在点P从。向A运动的过程中，4DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4)请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.15 .如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD=DC=4厘米，BC=8厘米，在等腰4PQR中，/QPR=120°,底边QR=12厘米，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合.如果等腰4PQR以2厘米/秒的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰4PQR重合部分的面积记为S平方厘米.(1)当t=2时，求S的值；(2)当64局0时，求S与t的函

9、数关系式，并求出S的最大值.16 .如图，在矩形ABCD中，B(16,12),E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8.当F运动到什么位置时，AAEF的面积最小，最小为多少？1B7.8.ax2+bx+c=0 (a>0)的根使y>0的x的取值范围(2)解解一x2x2 - 1=0 得，x1二 - 1, x2=1 ,所以，不等式x2 1 >0 的解集为 xv 1 或 x>1;令 y= x2 5x+6 ,-5x+6=0得，xi= - 6, x2=1 ,所以一元二次不等式-故答案为：(1) 1vxv2; (2) xv- 1 或 x>1.解：(1)把点A (1, 0)

10、, B (3, 2)分别代入直线0=1+m , "m= - 1, b= - 3, c=2,所以(2x2- 3x+2 >x - 1,解得:解：(I )判别式 =b2- 4ac二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象xv 1 或 x>3. >0二次方程不等式 ax2+bx+c>0 ( a> 0) 不等式 ax2+bx+c< 0 ( a> 0)的解集xvx1或x>x2的解集x1Vxx2x25x+6>0 的解集为一6vxv1.y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得: y=x - 1, y=x2- 3x+2 ; 二0 <0

11、全体实数无解(n)由原不等式，得 x2+2x- 3>0, ,=4+12>0,解方程 x2+2x - 3=0 ,全体实数无解得不相等的两个实数根分别为抛物线与不等式参考答案与试题解析；2D3D4D5A.解答题6.解：(1)解x"3x+2=0得x1=1,x2=2,所以，不等式x23x+2<0的解集为1<x<2;9.(a-1) (x- 1)2码，因为0vxv2, (x-1)用，故x1=-3,x2=1,a=1>0,，原不等式的解集为：xv-3或x>1;(若画出函数y=x2+2x-3的图象，并标出与x轴的交点坐标而得解集的，同样可以)/(出)如x2+x

12、+1>0等，(只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可)；/(IV)(1)先把二次项系数化为正数；(2)求判别式的值；(3)求方程ax2+bx+c=0的实数根；(4)写出一元二次不等式的解集.解：(1)由题意可知对任意实数x都有y2,当x=1时，y或；且当0vxv2时，总有yi(x+1)'成立，故当x=1,yK,当x=1时，y=2,故二次函数y=ax2+bx+c经过(1,2)点，a+b+c=2;22)ax2+bx+c2x,ax2+(b2)x+c主，由(1)知b=2ac,代入得=(a+c)24ac池(ac)20,所以 c=a, b=2 - 2a.再列得 ax2+bx+c(x+1)

13、2 2,把c=a,b=2-2a代入可得(a工)x2-2(a-)x+a22根据图象法可得此抛物线要永远在y=2x这条一次函数上方满足a>0.综上所述,a的取值范围是0va<,a-b+c=4a-2,把a的取值范围代入可得-2va-b+c码.10.解：(1)由图象知，函数y=x2-2x-3与x轴的交点为(-1,0),(3,0),所以当x=-1或3时，y=0;(2)由图象知，x22x3=0的解为x1=-1,x2=3;(3)(4) 解： 得到由图象知，当-1vx<3时，yv0,当xv-1或x>3时，y>0;不等式x2-2x-3v0的解集为-1Vx<3.(1)让抛物线过

14、点A,即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=-1,不过点B,则把点B的坐标代入3b+c布，依此两个要求，随便找一个数即可.故平移后的抛物线的一个解析式D0黜1答国J-2= -(2)设12的解析式为+bx+c,联立方程组,解得:,则12的解析y= - x一 1二一 9+3b+c2式为y=-x2+1-12x-点C的坐标为(9 ，力)416(3)如答图1,过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为 D、E、F,则AD=2 , CF=-L , BE=1 ,ISy=-x2+2x-3或y=-x2+4x-5等(满足条件即可)；5-|),设点P的坐标为(0, h),Saabc=Sa abp=当点P位于点G

15、的上方时,综上所述所求点P的坐标为(55，点P的坐标为(0,25独、16)FGjfh,同理h二一S，点P的坐标为(0, 2161625、0,-羽或(0,E3_IE4'DE=2,DF=,FE=,得：SzABC=S梯形ABEDS梯形BCFES梯形ACFD=延长BA父y轴于点G,直线、4,41&AB的解析式为y=x-春，则点G的坐标为(0,22当点P位于点G的下方时，PG二一£H,连接AP、BP,则Saabp=Sabpg-Saapg=2(4)作图痕迹如答图2所示.12.若AB为等腰三角形的腰，则分别以若AB为等腰三角形的底边, 由图可知，满足条件的点有 解：(1)设 B (

16、a, 0),抛物线与y轴的交点坐标则作A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4,Q1、Q2、Q3、Q4,共4个可能的位置.(a> 1),则平移后抛物线解析式为y= (x-1) (x-a) =x2- ( a+1)x+a，C (0, a),即 OB=OC=a , / ABC=45 °& 一 口(2)根据题意，得 |AB|二a-1, Z ABD= Z CBD - ZABC=45 °,D 点坐标为(11-),即)，代入抛物线y= (x-1) (x-a)中，得(T) (a+1a)=13.14.解得a=3, .

17、 D (2, - 1),故抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线. 解：所得的抛物线与 x轴有交点.y= - 2x2+4x+1= - 2 (x- 1) 2+3,平移后的解析式是：y= - 2 (x+1)2. 令 y=0 ,得-2 (x+1) 2=0, x1=x2= - 1 .，交点坐标为(-1,0).解：(1) .点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点 A匀速运动，.-.OP=t,而OC=2,P (t, 0),设CP的中点为F,则F点的坐标为(上，1), z2将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,其坐标为(t+1 ,工)；2(2)D

18、点坐标为(t+1 ,OA=4 ,SdpaJaP d22 2(4 t)叱(4t t2)12 4(t - 2) 2+1 4.当(3)t=2时，S最大=1 ； 能构成直角三角形.当/ PDA=90 时，PC/ AD ,由勾股定理得，PD2+AD 2=AP 2,即(上)2+1+ (4-1-1) + 2222= (4-t)解得，t=2或t=-6 (舍去). t=2 秒.当/ PAD=90。时，此时点 D在AB上,DO515.在RtAQMC中，有 MC=2 , QM=2近，可以Samqc=|qM?MC=>2/3 >2=2/-3 (cm 2);可知，COPspad,三二三PDPA'也2-RlTfa,PA=1,即t+1=4,t=3秒.综上，可知当t为2秒或3秒时，4DPA能成为直角三角形.(4)根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2而,，点D运动路线的长为2/5.解：(1)由题意得：当t=2时，Q点远动到BC中点处，如图所示，