线性代数-课后作业及参考答案

1、?线性代数?作业及参考答案1 单项选择题1.设行列式=m，=n，那么行列式等于 A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，那么A-1等于 A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，那么A *中位于1，2的元素是 A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，那么必有 A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.3×4矩阵A的行向量组线性无关，那么秩AT等于 A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，那么 A.有不全为0的数1，2，s

2、使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使11+1+22+2+ss+s=0 C.有不全为0的数1，2，s使11-1+22-2+ss-s=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，那么A中 A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，那么以下结论错误的选项是 A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax

3、=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，那么必有 A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，以下陈述中正确的选项是 A.如存在数和向量使A=，那么是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，那么是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，那么1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，那么必有 A. k3B. k<3 C. k=3D.

4、 k>312.设A是正交矩阵，那么以下结论错误的选项是 A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.那么 A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同15.设有矩阵×，×，×，那么以下运算有意义的是。；。16.假设方阵与方阵等价，那么。秩秩；detdet；detdet；存在可逆矩阵，使。17.假设阶方阵的行列式等于零，那么。中至少有一行是其余行的线性组合；中每一行都是其余行的线性组合；中必有一行是零行；的列向量组线性无关；18.

5、假设维向量组，线性无关，那么。组中增加一个向量后也线性无关；组中去掉一个向量后也线性无关；组中只有一个向量不能由其余向量线性表出；。19.假设方程组存在根底解系，那么等于。；。20.假设×矩阵的秩，那么方程组的根底解系所含向量个数等于。；。21.设为×矩阵，那么非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是。方程组只有零解；的列向量组线性无关，而的列向量组线性相关；向量可由的列向量组线性表出；。22.det中项的系数是。；。2、 填空题1. .2.设A=，B=.那么A+2B= .3.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式i,j=1,2,

6、3,那么(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .4.设向量2，-3，5与向量-4，6，a线性相关，那么a= .5.设A是3×4矩阵，其秩为3，假设1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，那么它的通解为 .6.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，那么齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系中含有解的个数为 .7.设向量、的长度依次为2和3，那么向量+与-的内积+，-= .8.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，A有2个特征值-1和4，那么另一特征值为 .9.设矩

7、阵A=，=是它的一个特征向量，那么所对应的特征值为 .10.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，那么其标准形为 .11.假设向量组，线性相关，那么。12.设、均为阶方阵，det，det，那么det。13.设，那么。14.设，为的伴随矩阵，那么det。15.设，那么。16.元齐次线性方程组存在非零解的充要条件是。17.矩阵的秩等于。三计算题1.设A=，B=.求1ABT；2|4A|.2.试计算行列式.3.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.4.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；假设是，那么求出组合系数。5.设矩阵

8、A=.求：1秩A；2A的列向量组的一个最大线性无关组。6.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.7.试用配方法化以下二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。8.矩阵满足：，求矩阵。9.计算10.假设向量组，的秩为，求的值。11.求以下向量组的一个最大无关组，并用最大无关组线性表出组中其余向量：，。 12.求以下方程组的通解：四、证明题1.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且E-A-1=E+A+A2.2.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个根底解系.试证明11=0+1，2=0+2均是

9、Ax=b的解； 20，1，2线性无关。3.设，是齐次线性方程组的根底解系。证明：，也是的根底解系。?线性代数?作业参考答案一、单项选择题1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D 15.C16.A 17.A 18.B 19.D 20.C 21.B 22.A二填空题1. 62. 3. 44. 105. 1+c(2-1)或2+c(2-1)，c为任意常数6. n-r7. 58. 29. 110. 11. 12. 、均为阶方阵，13. 14. 15. 16. 秩17. 23 计算题1.解1ABT=.2|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|

10、=64·-2=-1282.解 =3.解 AB=A+2B即A-2EB=A，而A-2E-1=所以 B=(A-2E)-1A=4.解一 所以4=21+2+3，组合系数为2，1，1.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解2，1，1T，组合系数为2，1，1.5.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.1秩B=3，所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是6.解 A的属于特征值=1的2个线性无关

11、的特征向量为1=2，-1，0T， 2=2，0，1T.经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=也可取T=.7.解 f(x1，x2，x3)=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设， 即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .8.解：。9.解：。10.向量组，的秩为。11.解：用，为列向量作矩阵， 2 3 4中非零行的首非零元位于第，列，所以，是向量组，的一个最大无关组。在中，有32，所以，在中有。12.解：，非齐次通解为，任意，令，得非齐次特解：，。导出组的通解为，任意，一个根底解系为：，非齐次结构解为：，其中，为任意数。四、证明题1.证 由于E-AE+A+A2=E-A3=E，所以E-A可逆，且E-A-1= E+A+A2 .2.证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.1A1=A0+1=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b的2个解。2考虑l00+l11+l22