第三章矩阵的初等变换与线性方程组[]

1、 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 3.2 初等矩阵初等矩阵3.3 矩阵的秩矩阵的秩3.4 线性方程组的解线性方程组的解3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换引例引例求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342)1()1(2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342)(1B2 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324

2、324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(2B5 221 33 422 , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx1342)(3B32 443 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx1342)(4B于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx 30340111cx即即.为为任任意意常常数数其其中中c小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法.2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看

3、作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；ij（与相互换）（与相互换）（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（以换（以换 ）iik（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍j（以替换）（以替换）ik i3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的ji)(A若若),(B)(B则则);(Aji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik k )(A若若),(Bji)(B则则).(Ak ji 由于三种变换都是可逆的，所以变换前由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这的方程组与变换后的方程组是同

4、解的故这三种变换是同解变换三种变换是同解变换.定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等

5、行变换初等行变换统统称为称为初等变换初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同且变换类型相同jirr ;jirr 逆变换逆变换kri 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA；反反身身性性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对称性对称性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传传递递性性（等价关系的性质：等价关系的性质：.BABA行行（列列）等等价价与与，就就称称矩矩阵阵成成矩

6、矩阵阵变变换换变变经经有有限限次次初初等等行行（列列）如如果果矩矩阵阵用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）： 97963422644121121112B21rr 23 r197963211322111241211B 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 331000620000111041211B 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 5 00000310003011040101B 21rr 32rr 对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方

7、程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c.54都都称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵和和矩矩阵阵BB特点：特点：1）可划出一条阶）可划出一条阶梯线，线的下方全梯线，线的下方全为零；为零；2）每个台阶）每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元5 00000310003011040101B .1 5的的其其他他元元素素都都为为零零列列，且且这这些些非非零零

8、元元所所在在的的零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为即即非非还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵，行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵B.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的行最简形矩阵再经过初等列行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形变换，可化成标准形nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯

9、一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm3.2 3.2 初等矩阵初等矩阵定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以数数乘乘某某行行或或某某列列；以以数数对对调调两两行行或或两两列列；kk. 30. 2. 1对调两行或两列对调两行或两列、1，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)rr(j , iEji 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 j 02乘乘某

10、某行行或或某某列列、以以数数 k).()(0 kiEkriki矩矩阵阵，得得初初等等行行乘乘单单位位矩矩阵阵的的第第以以数数 1111)(kkiE行行第第i上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)kcc(jiEk)krr(ijEkijji 1111)(kkijE行行第第i行行第第j 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换

11、，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换 定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵.,2121llPPPAPPP 使使.,: BPAQQnPmBAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要

12、条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论求逆矩阵的方求逆矩阵的方法法)A,E()E,A(r1 , 1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换.1 CAY即即可可得得作作初初等等行行变变换换，也也可可改改为为对对),(TTCA),)( ,(),1TTTTCAECA （列变换列变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA3.3 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念.,Anm的的秩秩非非零零行行的的行行数数称称为为矩矩阵阵数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变

13、变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵 ., 12阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵阶行列式，阶行列式，的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在不改不改元素元素处的个处的个），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩阵矩阵在在定义定义kAkAknkmkkkAnm . 个个阶阶子子式式共共有有的的矩矩阵阵knkmCCkAnm . )(0102等等于于零零并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩的的秩秩，记记作作称称为为矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵，那那末末于于）全全等等阶阶子子式式（如如果果

14、存存在在的的话话，且且所所有有式式阶阶子子的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵定定义义ARArADrDkA .)( 子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法、 . ,1 BRARBA 则则若若定

15、定理理初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩阵阵设设AAA,41461351021632305023 例例 41461351021632305023 A解解：4241rrrr 141332rrrr 1281216011791201134041461 233rr 244rr 84000840001134041461 34rr 00000840001134041461 由

16、阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR . 的的一一个个最最高高阶阶子子式式求求 A , 3)( AR . 3阶阶的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为知知A阶阶子子式式共共有有的的 3A . 403534个个 CC 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A阶梯形矩阵为阶梯形矩阵为的行的行则矩阵则矩阵记记),(),(42154321aaaBaaaaaA 000400140161, 3)( BR .3阶非零子式阶非零子式中必有中必有故故 B.4个个且且共共有有的的前前三三行行构构成成的的子子式式计计算算B623502523 1106502523 116522 .

17、016 则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.A3.4 线性方程组的解线性方程组的解个个方方程程的的线线性性方方程程组组个个未未知知数数设设有有mn)(bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn122112222212111212111 bAxx)( 为为未未知知元元的的向向量量方方程程式式可可以以写写成成以以向向量量1bAxn 元线性方程组元线性方程组定理定理);b,A(R)A(R)i ( 无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是;n)b,A(R)A(R)ii( 件件是是有有唯唯一一解解的的充充分分必必要要条条.n)b,A(R)A(R)i

18、ii( 条条件件是是有有无无限限多多解解的的充充分分必必要要 .nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理0由上述定理可得齐次和非齐次线性方程组解的定理由上述定理可得齐次和非齐次线性方程组解的定理 .b,ABAbxAnnm的的秩秩阵阵的的秩秩等等于于增增广广矩矩矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有解解元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理 例例1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx 341122121221A1312