全同粒子体系的波函数泡利原理

1、 7.7 全同粒子体系的波全同粒子体系的波 函数函数 泡利原理泡利原理01110222()()()()()()iiijjjHqqqHqqq 一 、两个粒子体系0102()()HHqHqjiE(7.7-1)(7.7-2)当第一个粒子处于i态，第二个粒子处于j态时，体系的能量波函数为1212(,)()()ijq qqq(7.7-3)(7.7-4)相应的本征方程1212( ,)( ,)Hq qEq q1212(,)()()jiq qqq(7.7-5)当第一个粒子处于当第一个粒子处于j态，第二个粒子处于态，第二个粒子处于i态时，波函数为态时，波函数为(7.7-6)具有同样的本征能量具有同样的本征能量i

2、jE表示体系能量本征值是简并的表示体系能量本征值是简并的,称为交换简并称为交换简并 注意：注意： 是否具有交换对称性？是否具有交换对称性？ 当当 时，时， 具有交换对称具有交换对称 对应玻色子对应玻色子 当当 时，（时，（7.7-4）与（）与（7.7-6）虽是本征方）虽是本征方程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件波函数的条件 （1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称的，所以当是对称的，所以当 时，归一化的对称波函数时，归一化的对称波函数构成如下构成如下 当当 时时 12(,)q q12

3、(,)q qijijij1212211(,)()()()()2Sijijq qqqqqij1212(,)()()Siiq qqq （2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对称的，归一化的反对称波函数构成如下称的，归一化的反对称波函数构成如下由上式可以看出，当由上式可以看出，当 时，则时，则 ，所以两个费米子，所以两个费米子处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态有两个或两个以上的费米子处于同一状态 12122112121(,)()()()()

4、2()()1()()2Aijijiijjq qqqqqqqqqij0A N个全同粒子体系的波函数个全同粒子体系的波函数 设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量 不显不显含时间，以含时间，以 和和 表示表示 的第的第i个本征值和本征函数，则个本征值和本征函数，则N个全同粒子体系的哈密顿量为个全同粒子体系的哈密顿量为对应本征值对应本征值 的本征态的本征态体系的本征方程为体系的本征方程为 0H0Hii0001021( )()()( )NNiiHH qH qHqHqijNE1212(,)()()()NijkNq qqqqqHE 由此可见，在粒子无相互作用的情况

5、下，只要求得单粒由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解了。了。 但但 并不满足全同粒子体系波函数交换对称并不满足全同粒子体系波函数交换对称性的要求，还须作变换。性的要求，还须作变换。 （1）对于）对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒子态，则组合中的每一项都是子态，则组合中的每一项都是N个单粒子态的一种排列，用个单粒子态的一种排列，用 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为 ，所以玻色子系统的

6、对称波函数是所以玻色子系统的对称波函数是12(,)Nq qqPP!N121( ,)(1)(2)()!SNijkPq qqPNN （2）对于）对于N个费米子，若它们分别处于个费米子，若它们分别处于 态，则态，则反对称的波函数为反对称的波函数为 , ,i jk121212()()()()()()1!()()()iiiNjjjNAkkkNqqqqqqNqqq 如果交换任何两粒子在行列式中就是两列相互调换，就使得行列式改变符号，所以（7.7-8）式是反对称的。三、泡利不相容原理 如果N个单粒子态 中有两个单粒子态相同，则（7.7-8）行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示不能有两个或两个以上的费

7、密子处于同一状态。这个结果称为泡利不相容原理kji, 体系波函数可以写成坐标与自旋分离变量体系波函数可以写成坐标与自旋分离变量的形式的形式对于费米子，故对于费米子，故 必须是反对称的，这就要必须是反对称的，这就要求求 （1） 是对称的，是对称的， 是反对称的；是反对称的；或或 （2） 是反对称的，是反对称的， 是对称的。是对称的。12121212( , ,)( ,) (,)zzzzr r SSr rSS 在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，例例1 由四个全同玻色子组成的体系由四个全同玻色子组成的体系,每个粒子有四个每个粒子有四个可能的单粒子态可能的单粒子态,

8、ijkl i12341243143232411()()()()4()()()()()()()()()()()()Siiijiiijiiijiiijqqqqqqqqqqqqqqqq 当三个粒子处于态当三个粒子处于态一个粒子处于一个粒子处于态态j写出体系的归一化波函数写出体系的归一化波函数若是四个费米子若是四个费米子,写出体系的归一化波函数写出体系的归一化波函数解：玻色子组成对称波函数解：玻色子组成对称波函数费米子体系,每个粒子有四个可能的单粒子态,ijkl 1234123412341234()()()()()()()()1()()()()4!()()()()iiiijjjjkkkkllllqqq

9、qqqqqqqqqqqqq费米子体系的归一化波函数费米子体系的归一化波函数123, 111221223132112221121132311221323122()();()();()();1()()()() ;21()()()() ;21()()()() ;2qqqqqqqqqqqqqqqqqq例例2 由两个全同粒子组成的体系由两个全同粒子组成的体系,设三个单粒子态分别为设三个单粒子态分别为求体系所有可能的状态。求体系所有可能的状态。（1）粒子为玻色子）粒子为玻色子（2）粒子为费米子）粒子为费米子（3）粒子为经典粒子）粒子为经典粒子解：玻色子组成对称波函数解：玻色子组成对称波函数,有六种有六种费米子组成反对称波函数费米子组成反对称波函数,有有3种种1122211211323112213231221()()()() ;21()()()()