离散型随机变量的分布列8

1、“随机试验随机试验”的概念的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：一般地，一个试验如果满足下列条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；不只一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果试验会出现哪一个结果这种试验就是一个随机试验，为了方便这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验起见，也简称试验问题问题1 1 某纺织公司的某次产品检验，在可某纺织公司的某

2、次产品检验，在可能含有次品的能含有次品的100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出4 4件，件，那么其中含有的次品数可能是哪几种结那么其中含有的次品数可能是哪几种结果？果？某射击运动员在射击训练中，其中某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可能出现命中的环数情况有哪某次射击可能出现命中的环数情况有哪些？些？ 问题问题2 2 （0 0环、环、1 1环、环、2 2环、环、1010环）共环）共1111种结果种结果（0 0件、件、1 1件、件、2 2件、件、3 3件、件、4 4件）共件）共5 5种结果种结果一、随机变量一、随机变量1 1、定义：、定义：随机试验的结果可以随机试验的结果可以用一个变量来

3、表示，则称此变量为用一个变量来表示，则称此变量为随机变量，常用、随机变量，常用、 等表示等表示总结随机变量总结随机变量的特点：的特点：(1)(1)可以用数量来表示；可以用数量来表示；(2)(2)试验前可以判断其可能出现的所有值；试验前可以判断其可能出现的所有值；(3)(3)在试验前不能确定取何值。在试验前不能确定取何值。2 2、随机变量的分类、随机变量的分类离散型随机变量：离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量随机变量. .连续型随机变量：连续型随机变量：对于随机变

4、量可能取的值，可以取某一区间对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量变量. .离散型随机变量与连续型随机变离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；都是用变量表示随机试验的结果； 但是离散型随机变量的结果可以按一但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出的结果不可以一一列出例例1写出下列随机变量可能取的值，并说明写出下列随机变量可能取的值

5、，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的随机变量所取的值表示的随机试验的结果结果(1)一袋中装有一袋中装有5只同样大小的白球，编只同样大小的白球，编号为号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取现从该袋内随机取出出3只球，被取出的球的最大号码数只球，被取出的球的最大号码数； (2)某单位的某部电话在单位时间内收某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数到的呼叫次数例例2抛掷两枚骰子各一次，记第一枚抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为掷出的点数的差为，试问：，试问：“ 4”表示的试验结果是什么？表示的试验结果是什么？例题3 某城市出租汽车

6、的起步价为某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出元，行驶路程不超出4km，则按则按10元的标准收租车费若行驶路程超出元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每，则按每超出超出lkm加收加收2元计费元计费(超出不足超出不足1km的部分按的部分按lkm计计)从从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机常某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，这个城市规定，每停车每停车5分钟按分钟按lkm路程计费路程计

7、费)，这个司机一次接送旅客的，这个司机一次接送旅客的行车路程行车路程是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量个随机变量 (1)求租车费求租车费关于行车路程关于行车路程的关系式；的关系式； (2)已知某旅客实付租车费已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际元，而出租汽车实际行驶了行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟几分钟?问题问题1：抛掷一个骰子，设得到的点数为：抛掷一个骰子，设得到的点数为，则，则的取值情况如何？的取值情况如何？ 取各个值的概率分别是什么？取各个值的概率分别是什么？p213456

8、616161616161问题问题2：连续抛掷两个骰子，得到的点数之和为：连续抛掷两个骰子，得到的点数之和为 ，则则取哪些值？各个对应的概率分别是什么？取哪些值？各个对应的概率分别是什么？p42356789101112361362363364365366365364363362361 表中从概率的角度指出了随机变量在随机试验表中从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，称为随机变量的概率分布。中取值的分布状况，称为随机变量的概率分布。二、离散型随机变量的分布列二、离散型随机变量的分布列123,ix xxxx1x2xipp1p2pi称为随机变量称为随机变量的概率分布，简称的概率分布，简

9、称的分布列。的分布列。则表则表(1,2,)ix i ()iiPxp取每一个值取每一个值 的概率的概率 设离散型随机变量设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为1、概率分布（分布列）、概率分布（分布列）2.2.离散型随机变量的分布列性质：离散型随机变量的分布列性质： 一般地，离散型随机变量在某一范围内的概一般地，离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。率等于它取这个范围内各个值的概率之和。，321, 0).1( ipi1).2(321 ppp例、某一射手射击所得环数的分布列如下：例、某一射手射击所得环数的分布列如下：45678910p0.02 0.04 0.06 0.

10、09 0.28 0.29 0.22求此射手求此射手“射击一次命中环数射击一次命中环数77”的概的概率率 )()()(1kkkxPxPxP练习、随机变量练习、随机变量的分布列为的分布列为求常数求常数a。解：由离散型随机变量的分布列的性质有解：由离散型随机变量的分布列的性质有20.160.31105aaa解得：解得：910a35a（舍）或（舍）或-10123p0.16a/10a2a/50.3例例4一盒中放有大小相同的红色、绿一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半现从该盒中是绿球个数

11、的一半现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得分，取出黄球得0分，取出绿球分，取出绿球得得1分，试写出从该盒中取出分，试写出从该盒中取出一球所得分数一球所得分数的分布列的分布列 求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：1 1、找出随机变量、找出随机变量的所有可能的取值的所有可能的取值(1,2,);ix i 2 2、求出各取值的概率、求出各取值的概率();iiPxp3 3、列成表格。、列成表格。例题5()kkn knPkC p q 在一次随机试验中，某事件可能发生在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在也可能不

12、发生，在n次独立重复试验中次独立重复试验中这个事件发生的次数这个事件发生的次数是一个随机变量是一个随机变量 如果在一次试验中某事件发生的概率如果在一次试验中某事件发生的概率是是P，那么在，那么在n次独立重复试验中这个事次独立重复试验中这个事件恰好发生件恰好发生k次的概率是次的概率是:3.离散型随机变量的二项分布离散型随机变量的二项分布 其中其中k k=0,1,=0,1,n.p=1-q.,n.p=1-q.称这样的随机变量称这样的随机变量服从二项分布，记服从二项分布，记作作 , ,其中其中n n，p p为参数为参数, ,并记并记01knp00nnC p q111nnC p qkkn knC p q

13、0nnnC p q( ; , )kkn knC p qb k n p( , )B n p于是得到随机变量于是得到随机变量的概率分布如下：的概率分布如下：例题6（2000年高考题）某厂生产电年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中任意地现从一批产品中任意地连续取出连续取出2件，写出其中次品件，写出其中次品数数的概率分布的概率分布 例题7重复抛掷一枚筛子重复抛掷一枚筛子5次得到次得到点数为点数为6的次数记为的次数记为，求，求P(3) 例例1 1：一个口袋里有：一个口袋里有5 5只球只球, ,编号为编号为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,在袋中同在

14、袋中同时取出时取出3 3只只, ,以以表示取出的表示取出的3 3个球中的最小号码个球中的最小号码, ,试写试写出出的分布列的分布列. . 解解: : 随机变量随机变量的可取值为的可取值为 1,2,3.1,2,3.当当=1=1时时, ,即取出的三只球中的最小号码为即取出的三只球中的最小号码为1,1,则其它则其它两只球只能在编号为两只球只能在编号为2,3,4,52,3,4,5的四只球中任取两只的四只球中任取两只, ,故故有有P(=1)= P(=1)= =3/5;=3/5;3524/CC同理可得同理可得P(=2)=3/10;P(=3)=1/10.P(=2)=3/10;P(=3)=1/10. 因此因此

15、,的分布列如下表所示的分布列如下表所示 1 2 3 p 3/5 3/10 1/10例例2:12:1名学生每天骑自行车上学名学生每天骑自行车上学, ,从家到学校的途中有从家到学校的途中有5 5个个交通岗交通岗, ,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的, ,并且概并且概率都是率都是1/3.(1)1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数求这名学生在途中遇到红灯的次数的分的分布列布列. .(2)(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. .解解:(1)B(5,1/3),:(1)B(5,1/3),的分布列为的分布列为 P(

16、=k)= ,k=0,1,2,3,4,5. P(=k)= ,k=0,1,2,3,4,5.kkkC55)32()31(2)(2)所求的概率所求的概率:P(1)=1-P(=0)=1-32/243:P(1)=1-P(=0)=1-32/243 =211/243. =211/243.例例3 3：将一枚骰子掷：将一枚骰子掷2 2次次, ,求下列随机变量的概率分布求下列随机变量的概率分布. .(1)(1)两次掷出的最大点数两次掷出的最大点数;(2);(2)两次掷出的最小点数两次掷出的最小点数; ;(3)(3)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差. .解解:(1)=k

17、:(1)=k包含两种情况包含两种情况, ,两次均为两次均为k k点点, ,或一个或一个k k点点, ,另另一个小于一个小于k k点点, ,故故P(=k)= ,k=P(=k)= ,k=1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.3612662) 1(1 kk(3)(3)的取值范围是的取值范围是-5,-4,-5,-4,，4 4，5.=-5,5.=-5,即第一次即第一次是是1 1点，第二次是点，第二次是6 6点；点；，从而可得，从而可得的分布列是：的分布列是：(2)=k(2)=k包含两种情况包含两种情况, ,两次均为两次均为k k点点, ,或一个或一个k k点点, ,另另一一个大于个大于k k点

18、点, ,故故P(=k)= ,k=P(=k)= ,k=1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.36213662)6(1kk -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 0 01 12 23 34 45 5 p p3613623633643653663653643633623614.离散型随机变量的几何分布离散型随机变量的几何分布 例例8 8、在一袋中装有一只红球和九、在一袋中装有一只红球和九只白球。每次从袋中任取一球取后只白球。每次从袋中任取一球取后放回，直到取得红球为止，求取球放回，直到取得红球为止，求取球次数次数的分布列。的分布列。分析：分析：袋中虽然只有袋中虽然只有10个球，

19、由于每次任取一球，个球，由于每次任取一球，取后又放回，因此应注意以下几点：取后又放回，因此应注意以下几点：(1)一次取球两个结果：取红球一次取球两个结果：取红球A或取白球或取白球，且，且P(A)=0.1；(2)取球次数取球次数可能取可能取1，2，；(3)由于取后放回。因此，各次取球相互独立。由于取后放回。因此，各次取球相互独立。1 . 09 . 0)()()()()()(111 kkkAPAPAPAPAAAAPkP 某射手有某射手有5 5发子弹，射击一次命发子弹，射击一次命中的概率为中的概率为0.90.9如果命中了就如果命中了就停止射击，否则一直射击到子停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用

20、子弹数的分弹用完，求耗用子弹数的分布布如果命中如果命中2 2次就停止射击，否次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列用子弹数的分布列例题例题从一批有从一批有1010个合格品与个合格品与3 3个次品的个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，若各个产品被抽到的可能性相同，若每次取出的产品都不放回此批产品每次取出的产品都不放回此批产品中，求出直到取出合格品为止时所中，求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数的分布列需抽取的次数的分布列例题例例 (1) (1) 某人射击击中目标的概率是某人射击击中目标的概

21、率是0.20.2，射击中，射击中每次射击的结果是相互独立的，求他在每次射击的结果是相互独立的，求他在1010次射击中次射击中击中目标的次数不超过击中目标的次数不超过5 5次的概率（精确到次的概率（精确到0.010.01）。）。例例 (2) (2) 某人每次投篮投中的概率为某人每次投篮投中的概率为0.10.1，各次投，各次投篮的结果互相独立。求他首次投篮投中时投篮次数篮的结果互相独立。求他首次投篮投中时投篮次数的分布列，以及他在的分布列，以及他在5 5次内投中的概率（精确到次内投中的概率（精确到0.010.01）。）。温故知新温故知新如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那如果随机试验的结果可

22、以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做么这样的变量叫做随机变量随机变量随机变量常用希腊随机变量常用希腊字母字母 、 等表示等表示 1、随机变量随机变量的概念：的概念：理解：理解：1 1、将随机事件的结果、将随机事件的结果数量化数量化2 2、随机变量、随机变量的每一个取值对应于的每一个取值对应于随机试验的某一个随机试验的某一个事件。事件。随机变量随机变量不但有范围不但有范围，而且还要有，而且还要有取值的概率。取值的概率。对对的取值的取值x1,x2, x3 是和随机事件是和随机事件A1,A2,A3一一对应的。一一对应的。P(=xi)=P(Ai) 提醒：要明确提醒：要明确“=k”所对应的具体事件。所

23、对应的具体事件。取每一个取每一个xi（i1，2，）的概率）的概率P（xi）pi，则称表：，则称表：x1x2xipp1p2pi为随机变量为随机变量的概率分布，简称为的概率分布，简称为的分布列的分布列.2、离散型随机变量的分布列及性质、离散型随机变量的分布列及性质:一般地，设离散型随机变量一般地，设离散型随机变量可能取的值为：可能取的值为： x1，x2，xi，理解：分布列反映了随机变量的取值与其概率的理解：分布列反映了随机变量的取值与其概率的一一对应关系；从整体上反映了随机变量取值的一一对应关系；从整体上反映了随机变量取值的变化规律。变化规律。取每一个取每一个xi（i1，2，）的概率）的概率P（x

24、i）pi，则称表：，则称表：x1x2xipp1p2pi为随机变量为随机变量的概率分布，简称为的概率分布，简称为的分布列的分布列.2、离散型随机变量的分布列及性质、离散型随机变量的分布列及性质:一般地，设离散型随机变量一般地，设离散型随机变量可能取的值为：可能取的值为： x1，x2，xi，离散型随机变量离散型随机变量分布列的性质：分布列的性质： (1)pi0,i=1,2,3, (2)p1+p2+p3+=1(3) 列成表格。列成表格。(2)求出各取值的概率求出各取值的概率P(=xi)=Pi (1)找出随机变量找出随机变量的所有可能的值的所有可能的值xi3、求离散型随机变量、求离散型随机变量的概率分

25、布的步骤的概率分布的步骤: 提醒：提醒：在写出在写出的分布列后的分布列后,要及时检查所有要及时检查所有的概率之和是否为的概率之和是否为1 4、常用分布列：、常用分布列：(1) B(n,p)，P(=k)=n)n)0,1,2,0,1,2,(k(kp)p)(1(1p pC Ck kn nk kk kn n(2)服从几何分布服从几何分布P(=k)=) )k k1 1, ,2 2, ,( (k k p pp p) )( (1 11 1- -k k例例1：已知随机变量：已知随机变量只能取三个值：只能取三个值：x1、x2、x3，其概率依次成等差数列，求公差其概率依次成等差数列，求公差d的取值范围的取值范围解

26、：设解：设的分布列为：的分布列为： x1 x2 x3 padaa+d由离散型随机变量分布列的基本性质知：由离散型随机变量分布列的基本性质知：a-d+a+a+d=10a-d0a+d3 31 1d d3 31 1解解得得：点评点评:利用分布列的两个性质可利用分布列的两个性质可验证验证某个数列某个数列Pi是是否能成为某一离散型随机变量分布列中随机变量否能成为某一离散型随机变量分布列中随机变量取值的概率取值的概率,也可以也可以确定确定离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列中未知的概率值中未知的概率值典例学习：典例学习：例例2：已知随机变量：已知随机变量的分布列为：的分布列为： -2 -1 0 1

27、 2 3 P12121 112123 312124 412121 112122 212121 11P的分布列为：的分布列为： 1 1解：解：分别求随机变量分别求随机变量1= ,2=2的分布列。的分布列。2 21 11 1- -2 21 1- -0 02 21 11 12 23 312121 112123 312124 412121 112122 212121 1点拔：若点拔：若=a+b（其中（其中a、b是常数），是常数），则则P(=xi)=P(=axi+b)例例2：已知随机变量：已知随机变量的分布列为：的分布列为： -2 -1 0 1 2 3 P12121 112123 312124 4121

28、21 112122 212121 1的分布列为：的分布列为： 2 2解：解：分别求随机变量分别求随机变量1= ,2=2的分布列。的分布列。2 21 112124 4点拔：点拔：随机变量的取值应无重复数字。随机变量的取值应无重复数字。2p014912124 412123 312121 1例例3：一袋中装有：一袋中装有5个白球，个白球，3个红球，现从袋中个红球，现从袋中往外取球，每次取出往外取球，每次取出1个，取球后，记下球的个，取球后，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止。次时停止。停止时取球的次数停止时取球的次数是一个随机变量，是一个随机变量，试求试求=

29、12时的概率。时的概率。析：析：“ =12”表示什么事件？表示什么事件？“ =12”表示表示“在前在前11次取球中有次取球中有9次取到红球，次取到红球，且第且第12次必取到红球。次必取到红球。点拔：点拔：1、准确理解、准确理解随机变量的取值随机变量的取值所表示的所表示的具体事件。具体事件。2、理清知识间的相互联系。、理清知识间的相互联系。83)85()83()12(29911CP12399118353)12(CP或例例4：抛掷三枚骰子，当至少有一个：抛掷三枚骰子，当至少有一个5点或点或6点出点出现时，就说这次试验成功。则在现时，就说这次试验成功。则在5次试验中成功次试验中成功次数次数 B(5,

30、 )27271919课堂小结课堂小结准确准确理解理解随机变量取值所对应的具体事件随机变量取值所对应的具体事件及准确及准确求出求出相应概率值是求随机变量的相应概率值是求随机变量的分布列的分布列的关键关键。；。；返回返回写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果：示的随机试验的结果：（1）从）从10张已编号的卡片（从张已编号的卡片（从1号到号到10号）中任取号）中任取1张，张，被取出的卡片的号数被取出的卡片的号数（2）一个袋中装有）一个袋中装有5个白球和个白球和5个黑球，从中任取个黑球，从中任取3个，个，其中所含白

31、球数其中所含白球数（3）抛掷两个骰子，所得点数之和）抛掷两个骰子，所得点数之和（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数（5）某一自动装置无故障运转的时间）某一自动装置无故障运转的时间（6）某林场树木最高达）某林场树木最高达30米，此林场树木的高度米，此林场树木的高度（1、2、3、n、）（2、3、4、12）（取内的一切值）（取内的一切值）,0（取内的一切值）（取内的一切值）30,0（1、2、3、10）（0、1、2、3、4）离散型连续型返回返回某人去商场为所在公司买玻璃水杯若干只，公司要求至少要买50只，但不得超过80只商场有优惠规定：一次购买这

32、种小于或等于50只不优惠，大于50只的，超出部分按原价的7折优惠，已知原来的水杯价格是每只6元这个人一次购买水杯的只数是一个随机变量，那么他所付的款额是否也是一个随机变量呢？这两个随机变量有什么关系？7 . 06)50(6502163002796 返回返回课堂练习掷两枚均匀硬币一次，则正面个数与反面个数之差的可能的值有袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为，则所有可能值的个数是个；“”表示42、0、2“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次、第二次都抽2号9 所谓随机变量，即是随机试验的试验结果所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关和实数之间的一个对应关系，这种对应关系