伴随矩阵法求逆矩阵

1、伴随矩阵法求逆矩阵伴随矩阵法求逆矩阵1 定理定理 设设 为为 阶方阵，那么阶方阵，那么 .nBA、BAAB BAABBAAB 很明显很明显 推论推论 设设 都为都为 阶方阵，那么阶方阵，那么nnAAA,21.2121nnAAAAAA 2定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.A3, AAAAOO nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1

2、112121111AAaAaAannnnnnnn 2211性质性质.EAAAAA 证明证明02122121211 nnAaAaAa故故EAAA 同理可得同理可得EAAA 4定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA 5EAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕证明证明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即即有有, 11 EAA故故. 0 A所所以以,0时时当当 A6.,0,0称称为为非非奇奇异异矩矩阵阵时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA 奇

3、异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.非非奇奇异异矩矩阵阵为为是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是由由此此可可得得AA7, 1 EBA, 0 A故故,1存存在在因因而而 A于于是是EBB BAA1 ABA1 证证毕毕 .1 ABEBAEABBnnA，则则或或使使，阶阶方方阵阵阶阶方方阵阵，如如果果存存在在是是设设推论推论1证明证明EA1 1 A8推论推论2.,11 AAA则则有有可可逆逆若若证证明明EAA 111 AA.AA11 因此因此推论推论3设设 为为 阶方阵，若阶方阵，若 不可逆，不可逆，那么那么 都不可逆都不可逆.BA、BAAB、An证证明明不可逆，不可逆，因为因为

4、A, 0 A故故BAAB . 0 因此因此.也也不不可可逆逆所所以以AB9,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A.?,法法求求逆逆矩矩阵阵若若可可逆逆，用用伴伴随随矩矩阵阵是是否否可可逆逆下下列列矩矩阵阵BA例例4 , 0 .A可可逆逆所所以以1011,331212321 A, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A, 3333221 A, 0313122 A, 1312123 A, 1213231 A, 4223132 A, 3122133 A, 4 A.315404133411*1 AAA1151531132 B由由于于.B不不

5、可可逆逆故故, 0 12.1151531132 B.1541det,31det,1 AAAAnA求求为为其其伴伴随随矩矩阵阵阶阶方方阵阵为为设设例例:解解:,31 A由于由于故故 可逆，可逆，A,EAAA 又由又由1 AAA可知可知,311 A AA1541det1故故 1131154detAA 1det A1)1( AnAn1)1( 3)1( n13,0都都是是可可逆逆方方阵阵和和其其中中设设CBCDBA .,1 AA并求并求可逆可逆证明证明例例证证, 可可逆逆由由CB, 0 CBA有有.可逆可逆得得A,1 YWZXA设设.000 EEYWZXCDB则则 .,ECYOCWODYBZEDWBX

6、 .,1111OWDCBZCYBX13 .,ECYOCWODYBZEDWBX .,1111OWDCBZCYBX.11111 CODCBBA因因此此14Crame法则法则1如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 2.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得

7、到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 13证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n4,111111 nkkjknnkkjknjnkkjk

8、jnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ; 0的的系系数数均均为为而而其其余余jixi .jD又又等等式式右右端端为为于是于是 2当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0 D 25由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价, 2 1故故.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211也是方程组的也是方程组的 解解. 16例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 . 0674, 522, 963, 852

9、43214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 712772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 860412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx9定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的

10、系数行列式 则则 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 D定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. . 110)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 只有零解只有零解. . 2 20 D11定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 2有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .120 D以上两个定理说明系数行列式以上两个定理说明系数行列式是齐次线性方程组有非零解的必要条件，事是齐次线性方程组有非零解的必要条件，事实上，这一条件也是充分的实上，这一条件也是充分的 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .即系数行列式即系数行列式0 D这一结论已在这一结论已在Ch2中证明过中证明过.例例2 问问 取何