概率论与数理统计假设检验

1、2我认为这种新药的疗效比原有的药物更有效!构造假设构造假设选择统计量并计算选择统计量并计算作出决策作出决策我认为人口的平我认为人口的平均年龄是均年龄是5050岁岁 拒绝假设拒绝假设 别无选择别无选择! 确定确定 1. 问题背景假设检验是统计推断的基本问题之一, 主要是确定关于样本总体特征的判断是否合理.其基本思想是, 按照一定的规则(即检验准则), 根据样本信息对所做出的原假设H0 判断是否成立, 以决定是接受还是否定原假设H0. 假设检验的判断和结论是根据样本做出的, 故具有“概率性”, 从而要犯判断上的错误弃真错误和取伪错误. 假设检验分为参数假设检验和总体分布假设检验两类.由样本数据来做

2、出拒绝和接受原假设的判断, 计算量是相当大的. 下面我们用MATLAB 软件来解决这一问题.2. 实验目的与要求(1) 掌握 MATLAB 工具箱中关于假设检验的有关操作命令;(2) 熟练掌握对单个正态总体均值、方差的假设检验;(3) 掌握对两个正态总体均值、方差有关的假设检验;(4) 掌握两个未知总体分布类型对均值是否相等的假设检验;(5) 掌握对单个总体是否服从正态分布的假设检验;(6) 掌握对单个总体是否服从指定的理论分布的假设检验.求解参数假设检验问题的步骤: :(1) 根据问题提出合理的原假设H0和备择假设H1 ;(2) 给定显著性水平, 一般取较小的正数, 如0.05,0.01 等

3、;(3) 选取合适的检验统计量及确定拒绝域的形式;(4) 令P当H0为真拒绝H0= , 求拒绝域;(5) 由样本观察值计算检验统计量的值, 并做出决策: 拒绝H0或接受H0.0(0,1)xzNn (1) 设设 是来自正态总体是来自正态总体X X的一个简单随机样的一个简单随机样本，样本均值为本，样本均值为 ，根据单个总体的抽样分布结，根据单个总体的抽样分布结论，选用统计量论，选用统计量 12,nx xx11niixxn (2)选用统计量：选用统计量：0 (1)/xtt nsn假设双侧检验单侧检验左侧检验右侧检验原假设H0 : = 0H0 : 0H0 : 0备择假设H1 : 0H1 : 0临界值临

4、界值临界值临界值 样本统计量样本统计量拒绝拒绝H0拒绝拒绝H0置信水平置信水平双侧检验双侧检验临界值临界值样本统计量样本统计量拒绝拒绝H H0 0置信水平置信水平观察到的样本统计量临界值临界值样本统计量样本统计量拒绝拒绝H0置信水平置信水平观察到的样本统计量观察到的样本统计量假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0 ： = 0 0H1 ： 0 0H0 ： 0 0H1 ： 0 0统计量 已知：已知： 未知：未知：拒绝域P值决策拒绝拒绝H00 xzn 0 xtsn 1/2zz 1tt 1zz P1/2tt 1zz 1tt 一、总体标准差已知时的单个正态总体均值的一、总体标准差已知时的单个正态总体均

5、值的U检验检验调用格式：调用格式：h = ztest(x,m,sigma)h = ztest(.,alpha)h = ztest(.,alpha,tail)h = ztest(.,alpha,tail,dim)h,p = ztest(.)h,p,ci = ztest(.)h,p,ci,zval = ztest(.) ztest函数函数20( ,)XN 总体：12,nXXX样本：001000100010:, : .:, :, :HHHHHH假设：当当H=0表示接受原假设；表示接受原假设；当当H=1表示拒绝原假设。表示拒绝原假设。h=ztest(x,m,sigma)h=ztest(x,m,sigm

6、a,alpha)h,sig,ci=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)命令h,sig,ciztest(x,m,sigma,alpha,tail)表示通过tail 指定值控制可选择假设的类型, 以显著性水平为alpha 检验, 标准差为sigma 的正态分布样本x 的均值是否为m. 返回值hl表示在显著性水平为alpha 时拒绝原假设; h0 表示在显著水平为alpha 时不拒绝原假设. 返回值sig 为Z 的样本数据在x 的均值为 m 的原假设下较大或者在统计意义下较大的概率值.ci 返回置信度为100(1-alpha)%的真实均值的置信区间.在在Matlab中中U检验法由函

7、数检验法由函数ztest来实现。调用格式如下来实现。调用格式如下0, ,(, , ,)H P CI zvalztest XTail 当当Tail=0时，备择假设为时，备择假设为“ ”；当当Tail=1时，备择假设为时，备择假设为“ ”；当当Tail=-1时，备择假设为时，备择假设为“ ”；000h,sig=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) x = 97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103;% 调用调用ztest函数作总体均值的双侧检验，函数作总体均值的双侧检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，

8、均值的置信区间值，均值的置信区间muci，检验统计量的观测值，检验统计量的观测值zval h,p,muci,zval = ztest(x,100,2,0.05)% 调用调用ztest函数作总体均值的单侧检验函数作总体均值的单侧检验 h,p,muci,zval = ztest(x,100,2,0.05,right)例例2 某电子元器件生产厂对一批产品进行检测，使用寿命不某电子元器件生产厂对一批产品进行检测，使用寿命不低于低于2000小时为合格品。该电子元器件的使用寿命服从正态小时为合格品。该电子元器件的使用寿命服从正态分别，标准差为分别，标准差为100小时。从该批产品中随机抽取了小时。从该批产品

9、中随机抽取了120个产个产品进行检测，测得样本均值为品进行检测，测得样本均值为1960小时，在小时，在 的显著的显著性水平下检验该批电子元器件的质量是否符合要求。性水平下检验该批电子元器件的质量是否符合要求。0.01解：解：由题意总体服从正态分布，由题意总体服从正态分布， 02000,100,样本均值样本均值 ，样本容量，样本容量1960 x 120.n 4.3821zz 拒绝域拒绝域= -2.33所以拒绝原假设，即电子元件的质量不符合标准。所以拒绝原假设，即电子元件的质量不符合标准。0 2000H：1 2000H：(1)0-19602000/100/ 120 xZn(2)1z(3)1zz (

10、4)算法 1、定义参数,mean,mu,sigma,n,alpha,model分别代表样本均值，总体均值，标准差，样本容量，显著性水平，检验模式包括：左侧，双侧，右侧2、根据检验模式定义出拒绝域；3、根据上述参数计算4、判断sample是否在第2步定义的拒绝域，如果在就拒绝原假设返回值0，否则返回值1.5、根据第四步结果做出结论，0拒绝原假设，1接受原假设。()/meanmusamplesigman在在Matlab中中t检验法由函数检验法由函数ttest来实现。调用格式如下来实现。调用格式如下, ,(, ,)H P CIttest X MTailh, sig=ttest(x, m, alpha

11、, tail)h=ttest(x, m)h=ttest(x, m, alphal)h, sig, ci=ttest(x, m, alpha, tail)命令h, sig, ci=ttest(x, m, alpha, tail)表示在给定显著水平为alpha 的基础上进行t 假设检验, 检验正态分布样本x 的均值是否为给出的m, m 的缺省值是0. 返回的h 值等于1 表示在显著水平为alpha 时拒绝原假设; 返回的h 值等于0 表示在显著水平为alpha 时不拒绝原假设. 返回的 sig 表示在x 的均值等于m 的原假设下较大或者统计意义下较大的概率值.ci 返回一个置信度为 100(1-a

12、lpha)的均值的置信区间.二、总体标准差未知时的单个正态总体均值的二、总体标准差未知时的单个正态总体均值的t检验检验调用格式：调用格式：h = ttest(x)h = ttest(x,m)h = ttest(x,y)h = ttest(.,alpha)h = ttest(.,alpha,tail)h = ttest(.,alpha,tail,dim)h,p = ttest(.)h,p,ci = ttest(.)h,p,ci,stats = ttest(.) ttest函数函数2( ,)XN 总体：12,nXXX样本：001000100010:, : .:, :, :HHHHHH假设：% 定义

13、样本观测值向量定义样本观测值向量 x = 49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9;% 调用调用ttest函数作总体均值的双侧检验，函数作总体均值的双侧检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，均值的置信区间值，均值的置信区间muci，结构体变量，结构体变量stats h,p,muci,stats = ttest(x,50,0.05)例例4 某电视机厂采用了新的生产技术生产显像管，质监部门某电视机厂采用了新的生产技术生产显像管，质监部门随机抽取了随机抽取了20个样本，测得样本的平均寿命为个样本，测得样本的平均寿命为31850小时，小时，样

14、本标准差样本标准差1300小时。已知，在采用了新技术前生产的显像小时。已知，在采用了新技术前生产的显像管的平均寿命为管的平均寿命为3万小时，显像管的寿命服从正态分布，问：万小时，显像管的寿命服从正态分布，问：在在 的显著性水平下，问：新技术采用前与采用后生的显著性水平下，问：新技术采用前与采用后生产的显像管的平均寿命是否有显著差异。产的显像管的平均寿命是否有显著差异。0.05解：解： 未知，所以采用未知，所以采用 t 检验检验 1/2(1)tn(3)1/2tt 拒绝域拒绝域00 ：H10 ：H(1)03185030000/1300/20 xtsn(2)(4)1/2tt =6.36=2.0930

15、所以拒绝原假设，即平均寿命有显著差异。所以拒绝原假设，即平均寿命有显著差异。算法 1、定义参数,mean,mu,n,alpha,model分别代表样本均值，总体均值，样本容量，显著性水平，检验模式包括：左侧，双侧，右侧2、根据检验模式定义出拒绝域；3、根据上述参数计算4、判断sample是否在第2步定义的拒绝域，如果在就拒绝原假设返回值0，否则返回值1.5、根据第四步结果做出结论，0拒绝原假设，1接受原假设。()/meanmusamplesn 当两个正态总体均服从正态分布且方差当两个正态总体均服从正态分布且方差 未知但相未知但相等时，进行两个总体均值之差的检验采用统计量。等时，进行两个总体均值

16、之差的检验采用统计量。 2212, (2)11wXYTt mnSmn选用统计量：选用统计量：调用格式：调用格式：h = ttest2(x,y)h = ttest2(x,y,alpha)h = ttest2(x,y,alpha,tail)h = ttest2(x,y,alpha,tail,vartype)h = ttest2(x,y,alpha,tail,vartype,dim)h,p = ttest2(.)h,p,ci = ttest2(.)h,p,ci,stats = ttest2(.) ttest2函数函数211(,)XN 总体1：112,nXXX样本1：01211201211201211

17、2:, :, :, :HHHHHH假设：222(,)YN 总体2：212,nY YY样本2：h, sig, ci=ttest2(x, y, alpha,tail)h, sig, ci=ttest2(x, y, alpha)h, sig, ci=ttest2(x, y)命令h, sig, ci=ttest2(x, y, alpha, tail)表示在tail 指定可选择假设类型, 显著水平为alpha的情况下, 对两个正态分布样本x 和y 是否具有相同的均值进行t 检验; 返回值hl 表示在显著水平为alpha 时拒绝原假设, 返回值h0 表示在显著水平为alpha 时不拒绝原假设; 返回值ci

18、 表示置信度为100(1-alpha)%的均值真实差的置信区间; 返回值sig 为样本x 的均值等于样本y 的均值的原假设下较大或者统计意义下较大的概率值.在在Matlab中由函数中由函数ttest2来实现。调用格式如下：来实现。调用格式如下：, ,2(, , ,)H P CIttestX YTail当当H=0表示接受原假设；表示接受原假设；当当H=1表示拒绝原假设。表示拒绝原假设。当当Tail=0时，备择假设为时，备择假设为“ ”；当当Tail=1时，备择假设为时，备择假设为“ ”；当当Tail=-1时，备择假设为时，备择假设为“ ”；121212% 定义甲机床对应的样本观测值向量定义甲机床

19、对应的样本观测值向量 x = 20.1, 20.0, 19.3, 20.6, 20.2, 19.9, 20.0, 19.9, 19.1, 19.9;% 定义乙机床对应的样本观测值向量定义乙机床对应的样本观测值向量 y = 18.6, 19.1, 20.0, 20.0, 20.0, 19.7, 19.9, 19.6, 20.2; alpha = 0.05; % 显著性水平为显著性水平为0.05 tail = both; % 尾部类型为双侧尾部类型为双侧 vartype = equal; % 方差类型为等方差方差类型为等方差% 调用调用ttest2函数作两个正态总体均值的比较检验，函数作两个正态总

20、体均值的比较检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，均值差的置信区间值，均值差的置信区间muci，结构体变量，结构体变量stats h,p,muci,stats = ttest2(x,y,alpha,tail,vartype)例例6、首先用产生正态分布随机数命令生成两组均值、首先用产生正态分布随机数命令生成两组均值分别为分别为1 和和2, 标准差标准差均为均为4 的正态分布样本的正态分布样本xx 和和yy, 用双样本均值用双样本均值t 检验函数检验函数ttest2 来检验两个样本来检验两个样本的均值是否相等的均值是否相等.xx=normrnd(1,4,1 100); %生成生成=1,

21、 =4 的一组正态随机数的一组正态随机数.yy=normrnd(2,4,1 100); %生成生成=2, =4 的一组正态随机数的一组正态随机数.h,sig,ci=ttest2(xx,yy,0.05)例例7 设有甲、乙两种零件彼此可以代用，但乙零件比家零件制造简单，设有甲、乙两种零件彼此可以代用，但乙零件比家零件制造简单，造价低，经过试验获得它们的抗压强度数据如下表造价低，经过试验获得它们的抗压强度数据如下表(单位：单位：kg/cm2)甲种零件甲种零件 88 87 92 90 91乙种零件乙种零件 89 89 90 84 88 87 已知甲、乙两种零件的抗压强度分别服从正态总体已知甲、乙两种零

22、件的抗压强度分别服从正态总体 和和 ，问能否保证抗压强度质量下，用乙种零件代替甲种零件？问能否保证抗压强度质量下，用乙种零件代替甲种零件？ 21(,)N 22(,)N (0.05)012:H112:H解：解：根据题意构造假设：根据题意构造假设：Matlab求解：求解： x=88 87 92 90 91;y=89 89 90 84 88 87;H,P,CI=ttest2(x,y,0.05,-1) 输出：输出：H = 0P =0.9000CI = -Inf 4.1077三、总体均值未知时的单个正态总体方差的卡方检验三、总体均值未知时的单个正态总体方差的卡方检验调用格式：调用格式：H = varte

23、st(X,V)H = vartest(X,V,alpha)H = vartest(X,V,alpha,tail)H,P = vartest(.)H,P,CI = vartest(.)H,P,CI,STATS = vartest(.). = vartest(X,V,alpha,tail,dim) vartest函数函数2( ,)XN 总体：12,nXXX样本：222200102222001022220010:, :, :, :HHHHHH假设：% 定义样本观测值向量定义样本观测值向量 x = 49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9; var0 =

24、 1.5; % 原假设中的常数原假设中的常数 alpha = 0.05; % 显著性水平为显著性水平为0.05 tail = both; % 尾部类型为双侧尾部类型为双侧% 调用调用vartest函数作单个正态总体方差的双侧检验，函数作单个正态总体方差的双侧检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，方差的置信区间值，方差的置信区间varci，结构体变量，结构体变量stats h,p,varci,stats = vartest(x,var0,alpha,tail)四、总体均值未知时的两个正态总体方差的比较四、总体均值未知时的两个正态总体方差的比较 F 检验检验调用格式：调用格式：H =

25、vartest2(X,Y)H = vartest2(X,Y,alpha)H = vartest2(X,Y,alpha,tail)H,P = vartest2(.)H,P,CI = vartest2(.)H,P,CI,STATS = vartest2(.). = vartest2(X,Y,alpha,tail,dim) vartest2函数函数211(,)XN 总体1：112,nXXX样本1：222201211222220121122222012112:, :, :, :HHHHHH假设：222(,)YN 总体2：212,nY YY样本2：% 定义甲机床对应的样本观测值向量定义甲机床对应的样本观

26、测值向量 x = 20.1, 20.0, 19.3, 20.6, 20.2, 19.9, 20.0, 19.9, 19.1, 19.9;% 定义乙机床对应的样本观测值向量定义乙机床对应的样本观测值向量 y = 18.6, 19.1, 20.0, 20.0, 20.0, 19.7, 19.9, 19.6, 20.2; alpha = 0.05; % 显著性水平为显著性水平为0.05 tail = both; % 尾部类型为双侧尾部类型为双侧% 调用调用vartest2函数作两个正态总体方差的比较检验，函数作两个正态总体方差的比较检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，方差之比的置信区间

27、值，方差之比的置信区间varci，结构体变量，结构体变量stats h,p,varci,stats = vartest2(x,y,alpha,tail)1、某橡胶的伸长率、某橡胶的伸长率 ,现改进橡胶配方，对现改进橡胶配方，对改进配方后的橡胶取样分析，测得其伸长率如下改进配方后的橡胶取样分析，测得其伸长率如下 0.56 0.53 0.55 0.55 0.58 0.56 0.57 0.57 0.54已知改进配方前后橡胶伸长率的方差不变，问改进配方后橡已知改进配方前后橡胶伸长率的方差不变，问改进配方后橡胶的平均伸长率有无显著变化？胶的平均伸长率有无显著变化？2(0.53,0.015 )XN(0.05)2、某车间用一台包装机包装糖，包得的袋装糖重是一个随机、某车间用一台包装机包装糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤公斤,标标准差为准差为0.015 。某日开工后检验包装机是否正常，随机地抽取。某日开工后检验包装机是否正常，随机地抽取所包装的糖所包装的糖9袋，称得净重为（公斤）：袋，称得净重为（公斤）：0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512问机器是否正常？问机器是否正常？