物理波的能量2

1、一、波的能量波的能量体元内质量为体元内质量为12dmkdW=v2pdWdW=可以证明：可以证明：kdmdV取体积元取体积元dV，dm =dVAcos=yx()tu)xy(ttuv=AsinAsin=12dV222)x(tu10-310-3、波的能量、波的能量 波的强波的强度度质元的速度质元的速度 有一行波：有一行波： )(sin222uxtAVWWWpk总机械能为：总机械能为：讨讨论：论： 对某一个质元，对某一个质元， 任一时刻动能与势能都相等，任一时刻动能与势能都相等， 即动能与势能同时达到最大或极小即动能与势能同时达到最大或极小.即同相的随即同相的随 时间变化时间变化.这不同于孤立振动系统

2、。这不同于孤立振动系统。海军2-01横波（三个质点图） 同一位置同一位置，各体元的能量，各体元的能量随随 t 作余作余弦弦变化变化，说明，说明对于对于 某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入 过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程， 周而复始。媒质中并不积累能量。因而它是一个能量周而复始。媒质中并不积累能量。因而它是一个能量 传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动波动 的能量沿波速方向传播。的能量沿波速方向传播。同一时刻同一时刻，各体元的能

3、量，各体元的能量随随 x 作余作余弦弦变化变化，说明该体，说明该体 积元内与相邻部分不断有能量交换，即波动在传播过积元内与相邻部分不断有能量交换，即波动在传播过 程中，每一体积元不断地从波源方向接受能量，又不程中，每一体积元不断地从波源方向接受能量，又不 断向前放出能量。（传递能量）断向前放出能量。（传递能量） 动能与势能都是时间的周期函数；总能量也是时间动能与势能都是时间的周期函数；总能量也是时间 的周期函数。总能量是不守恒的。的周期函数。总能量是不守恒的。)(sin21212222tmAmvEk)(cos2121222tkAkxEpPEkEtYX 极大极大能量能量极小极小波动波动的能量与的

4、能量与振动振动能量是有区别的。能量是有区别的。孤立振动系统的质孤立振动系统的质 元动能最大时元动能最大时,势能最小势能最小,总机械能守恒总机械能守恒,不向外传播能量不向外传播能量.)(sin222uxtAVWWWpk能量随时间周期性变化能量随时间周期性变化,其周期为波动周期的一半其周期为波动周期的一半.例例1：一平面简谐波在一平面简谐波在 t 时刻的波形曲线如图，若此时时刻的波形曲线如图，若此时 A 点处质元的振动动能在增大，则点处质元的振动动能在增大，则 （ ）YXABC A、A点处质元的弹性势能在减小点处质元的弹性势能在减小B、 B点处质元的振动动能在增大点处质元的振动动能在增大C、波沿、

5、波沿 x 轴正方向传播轴正方向传播D、C点处质元的弹性势能在增大点处质元的弹性势能在增大D）（、）（、）（、）（、cmxtCOSyDcmxtCOSyCcmxtCOSyBcmxtCOSyA )10(10 )10(10 )10(10 )10(10 )(cmxp 例例2、已知已知 t=0.5S 的波形的波形 图如图，波速大小图如图，波速大小 C=10M/S，若此时若此时p 点处点处 质元的振动动能在逐渐增大，质元的振动动能在逐渐增大， 则波动方程为（则波动方程为（ ）y1020100B能量密度能量密度单位体积内的总机械能单位体积内的总机械能)(sin222uxtAwwwpkdVw=dW 平均能量密度

6、平均能量密度（对时间平均（对时间平均)dtuxtATwT)(sin12202 w 2A22=1二、能量密度能量密度)(sin222uxtAVWWWpk三、波的强度三、波的强度能流能流P :单位时间内单位时间内垂直垂直通过某一截面的通过某一截面的能量称为波通过能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。该截面的能流，或叫能通量。P = w S uuuS平均能流平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。能流在一个周期内的平均值。wP=Su波的强度波的强度 I（能流密度能流密度）:通过通过垂直垂直于波的传播方向的于波的传播方向的单位面积的平均能流单位面积的平均能流。称为平称为平均能流密度，通常称为均能流

7、密度，通常称为能流密度或波的强度。能流密度或波的强度。显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值声学中声强就是上述定义之一例声学中声强就是上述定义之一例能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。uAI2221uAwuSPI2221.t 时刻的波面时刻的波面t+t时刻的波面时刻的波面子波波源子波波源tu 用惠更斯原理确定下一时刻平面波的波前一、惠更斯原理惠更斯原理：惠更斯原理：波动所到达的媒质波动所到达的媒质中各点都可以看作为发射子波的中各点都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻，这些子波的波源，而后一时刻，这些子波的包

8、迹便是新的波阵面。包迹便是新的波阵面。10-410-4、惠更斯原理惠更斯原理(Huygens, principle) 用惠更斯原理确定 下一时刻球面波的波前.子波波源子波波源t+t时刻时刻的波面的波面t 时刻时刻的波面的波面tu.二、用惠更斯原理解释衍射现象障碍物障碍物障碍物后的障碍物后的阴影部分阴影部分平面波平面波平面波波面平面波波面障碍后障碍后的波面的波面障碍后障碍后的波线的波线 波动在传播的路程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边波动在传播的路程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进，这种现象叫缘前进，这种现象叫波的衍射波的衍射或波的绕射。留在光学讲。或波的绕射。留在光学讲。nn12三、用惠

9、更斯原理解释折射定律u t1u2tBDsinsinir=CBABADAB1=u2u2=nn1=n12=u u 12ttCAii1ut2rr2121sinsinnuui两水波的叠加两水波的叠加SS12一、波的叠加原理一、波的叠加原理波的叠加原理波的叠加原理show3波的叠加原理波的叠加原理: 有几列波同时在媒质中传播时，它们的传有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。而发生影响。 能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂

10、的波分解为简谐波的组合。在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。振动方向相同二、波的干涉二、波的干涉相干波源：相干波源：若有两个波源，它们的振动方向相同、频率相若有两个波源，它们的振动方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为同、周相差恒定，称这两波源为相干波源。相干波源。稳定的波的叠加图样是指在媒质中某些位置的点振幅始终稳定的波的叠加图样是指在媒质中某些位置的点振幅始终最大最大,另一些位置振幅始终最小另一些位置振幅始终最小,而其它位置而其它位置,振动的强弱介振动的强弱介乎二者之间乎二者之间,保持不变保持不变, 称这种稳定的叠加图样为称这种稳定的叠加图样为干涉干涉现象现象1r2r1S2Sp

11、两波源的两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。波振幅相近或相等时干涉现象明显。相干条件：相干条件：相干波源相干波源产生的产生的相干波相干波的叠加的叠加设有两个频率相同的波源设有两个频率相同的波源 和和1S2S其振动表达式为：其振动表达式为：)cos(),(2020220tAtSy)cos(),(1010110tAtSy波的干涉之波的干涉之模拟演示图模拟演示图波的干涉之波的干涉之模拟演示图模拟演示图下面讨论干涉现象中的强度分布下面讨论干涉现象中的强度分布在在 P 点的合成振动为：点的合成振动为：)cos(21 tAyyycos22122212AAAAA其中：其中：由于波的强度正比于振幅，所以合

12、振动的强度为：由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：cos22121IIIII)(2)(121020rr 对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。干涉现象。 在在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。点的振动为同方向同频率振动的合成。)2cos(),(11011rtAtpy传播到传播到 P 点引起的振动为：点引起的振动为： )2cos(),(22022rtAtpy干涉相长的条件：干涉相长的条件：,.3 ,2 , 1 ,0,2kk21maxAAAA2121max2IIIIII干涉相消的

13、条件：干涉相消的条件：,.3 , 2 , 1 , 0,) 12()(2)(121020kkrr|21minAAAA2121min2IIIIII,.3 , 2 , 1 , 0,2)2(12 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(12kkrr相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉波程差波程差)(2)(121020rr ）的的是是（点点相相遇遇，下下列列说说法法正正确确、两两列列波波在在例例 3B则则这这两两列列波波是是相相干干波波。波波振振幅幅之之和和，点点的的振振幅幅正正好好等等于于两两列列、在在某某时时刻刻 B, 0ttA 。点点一一定定不不是是干干涉涉加加强强点点则则，点点的的质质

14、元元在在平平衡衡位位置置上上果果在在某某时时刻刻看看到到、两两列列波波是是相相干干波波，如如BBB 也也不不是是减减弱弱点点。点点一一定定既既不不是是加加强强点点，那那麽麽且且，平平衡衡位位置置为为点点的的质质元元距距果果在在某某时时刻刻看看到到、两两列列波波是是相相干干波波，如如BAyAyBC, maxmin 。度度大大者者，振振幅幅必必定定也也大大点点，两两列列波波中中，能能流流密密、在在BD、以以上上说说法法均均不不正正确确。E象象中中的的加加强强现现象象两两分分振振幅幅之之和和，如如拍拍现现可可以以等等于于后后，某某点点某某时时刻刻的的振振幅幅错错：两两列列非非相相干干波波合合成成 A

15、点不是加强点。点不是加强点。不能说明不能说明点不是减弱点，但由点不是减弱点，但由只能说明只能说明错：错：B maxminAyBAyC 定定也也大大则则为为正正确确。中中能能流流密密度度大大，振振幅幅必必两两列列相相干干波波大大造造成成的的。若若此此问问改改为为能能流流密密度度大大可可以以是是频频率率波波可可以以频频率率不不同同，幅幅平平方方和和频频平平方方，两两列列错错：能能流流密密度度正正比比于于振振 DE例例4、 两相干波源和相距，的位相比两相干波源和相距，的位相比的位相超前，在两波源的连线上，外侧的位相超前，在两波源的连线上，外侧（例如点）两波引起的两简谐振动的位相差是：（例如点）两波引

16、起的两简谐振动的位相差是：1S2S41S2S21SP 2320DCBA1S2SP解：位相差解：位相差24221212rr故选（）。故选（）。例例5、以以P 点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写 出波动方程。出波动方程。yxPoudyp=Acost)(2Acosdt)(2y=o+uAcosdt)(2=+uyxu解：解：p=2例例6、波速波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。时刻的波形如图所示。写出波动方程。写出波动方程。t = 0(o点点)=Ay022v00y0= 0v002=p得：得：3=0得：得：uy(m)p4532ox (

17、m)=t0(p点点)p=20d0p=2d2=235()34 (m)=2 =2u200=24004S1()y=04 cos)(2003t3)(200cos4 uxty例例7 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x 轴正向传播，振幅轴正向传播，振幅 A =0.lm，频，频率率n =l0Hz，当，当t =1.0s时时x =0.1m处的质点处的质点a的振动状态的振动状态为为:此时此时x =20cm处的质点处的质点 b 的振动状态为：的振动状态为：求波的表式。求波的表式。05.0cmby=dydtbv=b 00ay=dydtav=a解：解：沿轴正向传播的波动方程为：沿轴正向传播的波动方程为：n2Atycos=2

18、x+0.2=2(1)=0.05200.1tycos=0.4+b0.4=3(2)由式由式(1) 、 (2)可得：可得：=0.24m=340.24200.1tycos=2+34mx=0200.1tycos=0.2+a例例8 一列沿一列沿x 正向传播的简谐波，已知正向传播的简谐波，已知 t1= 0时和时和 t2= 0.25s时的波形如图所示。试求：时的波形如图所示。试求： (1)P点的振动表式点的振动表式;(2)此波的波动表式此波的波动表式; (3)画出画出 o 点的振动曲线点的振动曲线。x/cmoy / c m0.20.45ut1=0t2=0.25sP.解：解：A =0.2cm0.4534=0.6

19、cm=1HznT=1s= 40.25 u=0.6cm/s=n+0.2tcos=2yx20.6t =0 x =0y =0v02=+2310 x0.2tcos=22+0.2tcos=2yO2+0.33100.2tcos=2yP20.2tcos=21、2、3、100.05tycos()=4 xA =0.05m=5Hzn=0.5mu=0.55=2.5m/sn解：解：n2Atycos()=2x与与比较得比较得(1)(1)求此波的振幅、波速、频率和波长。求此波的振幅、波速、频率和波长。(2)求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。(3)求求x = 0.2m处的质

20、点在处的质点在t =1s时的相位，它是原点处时的相位，它是原点处 质点在哪一时刻的相位质点在哪一时刻的相位?(4)分别画出分别画出t = 1s,1.25s,1.50s各时刻的波形。各时刻的波形。x, y 的单位为的单位为 m, t 的单位为的单位为s。100.05tycos()=4 x例例9 一横波沿绳子传播时的波动表式为一横波沿绳子传播时的波动表式为t =1s=440.2=9.2=10t9.2x =0.2m(3)x =0在原点处在原点处t =0.92sx/moy/m0.05t =1.25st =1st =1.5s=amA20.05(10)2=0.5m/s22 (2)=umA=0.0510=0

21、.5m/s(4)x=0t =020.03tycos()=22.5020.03tycos=22.52 x0.2450.03tcos=250 x650.03tcos=210 x6()y=02=解：解：例例10 一平面简谐纵波沿线圈弹簧传播，设波沿着一平面简谐纵波沿线圈弹簧传播，设波沿着x 轴正轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为，振动频率为2.5Hz，弹簧中相邻两疏部中心的距离为，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm。当。当 t =0时，在时，在x =0处质元的位移为零并向处质元的位移为零并向x 轴正向运动。轴正向运动。试写出：试写出：该波的波动表式。该波的波动表式。43tycos=a+3tycos=204x解：解：(1