4-3第二类换元积分法

1、1 4-3不定积分的积分方法不定积分的积分方法 (二二)21 、直接积分法、直接积分法2、第一换元积分法、第一换元积分法 dxxxf)()( )()(xuduuf dxxxf)()( )()(xuduuf 以上公式能否从左到右用以上公式能否从左到右用?复习复习 Cxxdxcoslntan Cxxdxsinlncot xdxcsc.cotcsclnCxx .tanseclnsec Cxxxdxdxxa 221.arctan1Caxa 请熟记公式请熟记公式:Caxaxadxax ln211223问题问题?1 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令tx 1

2、,212tdtdxtx 则则txdxxx 1 1 dttdttdttt222221Ctt 3322Cxxxt 3) 1(3212 12.第二换元积分法第二换元积分法4 CxFdtttfdxxfxt )( )()()(1)(1 则有则有换元公式换元公式:定理定理( (第二换元积分法第二换元积分法) )CtFdtttf )()()( 若若.)()(, 0)(,)(1的的反反函函数数是是且且具具有有连连续续的的导导数数其其中中txxtttx 说明说明1.积分程序积分程序: dxxf)(dtttf )()( CxF )(1 CtF )(tx 换换元元积积分分)(1xt 回回代代说明说明2.第一换元积分

3、法是选择新的积分变量第一换元积分法是选择新的积分变量,而此积分而此积分 是被是被积函数作相反方式的换元积函数作相反方式的换元.5例例1 1 求求.11dxx 解解 令令tx tdtdxtx22 则则 原式原式于是于是 dttt 12 dttt111211 2dttdt Ctt )1ln(22.)1ln( 2Cxx nnbaxtbax 时时，为为去去掉掉根根式式常常常常令令含含6例例2 2 求求.13dxxx dttdxtx566 则则 dtttt2356dttt 163 dttt11)1(63dtttt11) 1(62 Ctttt 1ln23 623.)1ln(6632663Cxxxx 解解

4、令令tx 6 原式原式于是于是 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.7例例3 3 求求.1dxxx 解解 令令tx 1tdtdxtx212 则则 原式原式于是于是 tdttt212 dttt11122211 22dttdt Ctt )arctan( 2.)1arctan1( 2Cxx 8 原式原式于是于是 例例4 4 求求).0(22 adxxa解解 令令taxsin tdtadxcos tdta22cos dtta22cos12Ctta 2sin2122tax22xa .)(arcsin2222Caxaaxaxa 2,2t9例例5 5 求求

5、解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt tanseclntax22ax .ln22Caaxax 2,2t dxax221.ln22Caxx 10例例6 6 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt tanseclntax22ax .ln22Caaxax dxax221.ln22Caxx 11说明说明: :以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的

6、也目的也是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 注意注意:应灵活运用三角代换应灵活运用三角代换.以上规律以上规律并不是绝对的并不是绝对的.12例例7 7 求求解解).0(122 adxxa dxxa221)()(112axdax Cax arcsin dxxa221Cax arcsin13例例8 8 求求解解).0()(1222 adxax令令taxtan tdtadx2sec tdtata244secsec1 tdta23cos1d

7、tta )2cos1(2113tax22ax Ctta )2sin21(213 2,2t.)(arctan21223Cxaaxaxa 原式原式于是于是 14例例9 9 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dtt 122Ctt 11ln ,1ln2 tx 原式原式于是于是 Cxxa 11ln21dtax221Ceexx 1111ln可运用此公式15说明说明:当分母的次数较高时当分母的次数较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例1010 求求dxxx )4(16令令tx1 ,12dttdx 原式原式dtttt 26141 dttt6541Ct |41|ln2416.|ln41)4ln(2416Cxx 解解 6641)(61ttd16基基本本积积分分表表2 2;coslntan)14( Cxxdx;sinlncot)15( Cxxdx;tanseclnsec)16( Cxxxdx;cotcsclncsc)17( Cxxxdx)0( ;arctan11)18(22aCaxadxxa ;arcsin1)20(22Caxdxxa .ln1)21(2222Caxxdxax ;ln211)19(22Caxa