数学建模中的数值方法

1、微分方程模型微分方程模型建立与求解建立与求解如物质流动与扩散问题膜和弦的振动问题力学和运动问题温度分布病毒传染种群变化1 1、用微分方程建模的大致步骤、思、用微分方程建模的大致步骤、思 路及注意点路及注意点2 2、微分方程求解方法概述、微分方程求解方法概述3 3、简单微分方程的、简单微分方程的matlabmatlab解法解法4 4、复杂方程的理论求解方法、复杂方程的理论求解方法5 5、模型参数辨识及函数拟合问题、模型参数辨识及函数拟合问题微分方程模型是建模中常见的建模方法大致建模思路是：大致建模思路是：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，建立模型的基本结构。然后根

2、据该结构，通过给定数据用参数辨识的方法来确定模型的参数，从而最终确定模型。步骤：（1 1）建立基本结构）建立基本结构，如是偏微分、还是常微分是一阶还是二阶；（2 2）参数辨识）参数辨识，如最小二乘法建立模型结构的大致思路：建立模型结构的大致思路：结合问题用微积分思想的实现。这个过程在建结合问题用微积分思想的实现。这个过程在建模中很多时候不需要自己完全的创新，更多是模中很多时候不需要自己完全的创新，更多是需要找到相关的模型做一些改进。（因此，需要找到相关的模型做一些改进。（因此，快快查查到相关研究是重要的，平时多积累查找文查查到相关研究是重要的，平时多积累查找文献资料的方法献资料的方法）注意：注

3、意：需要针对问题修改模型。需要针对问题修改模型。这是建模中最这是建模中最关键的一步，注意要有针对问题的结合分析，关键的一步，注意要有针对问题的结合分析，为什么用这个模型及为什么要做修改，为什么用这个模型及为什么要做修改，对模型对模型的借用方式应该是随内容的分析展开而自然的的借用方式应该是随内容的分析展开而自然的引入，不应该是没有分析强行拷贝。引入，不应该是没有分析强行拷贝。计算参数的方法：计算参数的方法：最小二乘法最小二乘法情况情况1 1：如果模型中待求解函数可由所提的数如果模型中待求解函数可由所提的数学模型通过学模型通过精确精确理论理论推导推导求解（含有未知参求解（含有未知参数），数），则可

4、利用此理论解和给定观测数值，再则可利用此理论解和给定观测数值，再借助借助最小二乘法进行参数计算最小二乘法进行参数计算；情况情况2 2：如果模型中待求解函数无法通过所提如果模型中待求解函数无法通过所提的数学模型精确求解，那就需通过数值方法获的数学模型精确求解，那就需通过数值方法获得模型的近似解（含有未知参数），然后再用得模型的近似解（含有未知参数），然后再用最小二乘法进行参数计算。最小二乘法进行参数计算。 重金属在土壤中的传播：重金属在土壤中的传播：（1 1）由于是在土壤中扩散，由土壤传播的特性）由于是在土壤中扩散，由土壤传播的特性（慢，相对于空气或液体中），因此，这个题更（慢，相对于空气或液体

5、中），因此，这个题更多的要求我们分析物质的空间分布，而不侧重各多的要求我们分析物质的空间分布，而不侧重各区域内重金属物质随机时间的变化规律。同时，区域内重金属物质随机时间的变化规律。同时，主要是数据中也没有给出我们关于时间的数据；主要是数据中也没有给出我们关于时间的数据；（2 2）物质污染扩散是源点浓度最大，然后向四）物质污染扩散是源点浓度最大，然后向四周空间区域扩散，梯次减小。周空间区域扩散，梯次减小。（3 3）假设物质是由高浓度区向低浓度区扩散）假设物质是由高浓度区向低浓度区扩散 最小二乘法：最小二乘法：111( ,), ( ,), (,)iiinnnu x y zu x y zu xyz

6、已知数据已知数据模型求解模型求解111(,), ( ,), (,)iiinnnu x y zu x y zu xyz如果模型正确的话，即模型能够准确刻画现象如果模型正确的话，即模型能够准确刻画现象，那也意味着，模型解和观测值之间的误差差，那也意味着，模型解和观测值之间的误差差异应该很小，因此，我们选择参数的方法为：异应该很小，因此，我们选择参数的方法为：21min ( ,)( ,)niiiiiiiu x y zu x y z待估计参数那现在的问题是：那现在的问题是：这样模型的精确解好求吗？这样模型的精确解好求吗？微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（组）解析解的命令（matlab）:d

7、solve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量) 结 果：u = tg(t+c1) 解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x)解解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t) 结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z

8、= (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 对于偏微分方程而言，一般借助对于偏微分方程而言，一般借助matlabmatlab偏微分偏微分方程工具箱方程工具箱PDEtoolPDEtool，有可视化操作窗口，也可，有可视化操作窗口，也可以自己编制命令。但是缺点是，只能处理二阶以自己编制命令。但是缺点是，只能处理二阶问题。问题。 我们重点要说的是，这些命令不是万能我们重点要说的是，这些命令不是万能的，如果可以求解当然好，否则，可能的，如果可以求解当然好，否则，可能需要自己根据计算方法自己编写程序。需要自己根据计算方法自己编写程序。因此，明白一点原理是必要的。因此，明白一点原理是必要

9、的。()( ), ( )dduduprqufaxbdxdxdxu au b()()( , ),( , )( , )( , ),( , )uuppquf x yx yxxyyu x yx yx y微分方程的差分法，即用微分方程的差分法，即用差分式代替微分式差分式代替微分式 11211,112221,21,12,11,1,;,;,ThNNNNNNuuuuuuuuuu21hHugh也可得到也可得到通过上面过程，我们可以求解问题的真是解的通过上面过程，我们可以求解问题的真是解的近似解（含有未知参数）近似解（含有未知参数）通过调整该函数中待定系数，使得该函数与已通过调整该函数中待定系数，使得该函数与已知

10、点集的差别知点集的差别( (最小二乘意义最小二乘意义) )最小最小函数的插值与拟合函数的插值与拟合曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n n个点个点（x xi i, ,y yi i) ) i i=1,=1,n n, , 寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y y= =f f( (x x),), 使使 f f( (x x) ) 在某在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好 +x xy yy y= =f f( (x x) )(x xi,y yi)i i i 为点

11、为点（x xi i, ,y yi i) ) 与与曲线曲线 y y= =f f( (x x) ) 的的距离距离第一步: :先选定一组函数先选定一组函数 r r1 1( (x x), ), r r2 2( (x x), ,), ,r rm m( (x x), ), m m n n, , 令令 f f( (x x)=)=a a1 1r r1 1( (x x)+)+a a2 2r r2 2( (x x)+ +)+ +a am mr rm m( (x x) ) （1 1）其中其中 a a1 1, ,a a2 2, , ,a am m 为待定系数为待定系数第二步: : 确定确定a a1 1, ,a a2

12、2, , ,a am m 的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘准则）：使使n n个点个点（x xi i, ,y yi i) ) 与与曲线曲线 y y= =f f( (x x) ) 的距离的距离 i i 的平方和最小的平方和最小 记记 )2()()(),(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 问题：求问题：求 a a1 1, ,a a2 2, , ,a am m 使使 J J ( (a a1 1, ,a a2 2, , ,a am m) ) 最小最小超定方程组超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组：方程个数大于未知量个数的方程组11 1122111 1

13、22 ()mmnnnmmnr ar ar aynmr ar ar ay即即 Ra=y111112112,mnnnmmnayrrrRayrrray其中其中超定方程组一般不存在解的矛盾方程组超定方程组一般不存在解的矛盾方程组超定方程组一般不存在解的矛盾方程组超定方程组一般不存在解的矛盾方程组 如果有向量如果有向量a使得使得 达到最小，达到最小，则称则称a为上述为上述超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 212211)(imniimiiyararar 定理：定理：当当RTR可逆时，超定方程组（可逆时，超定方程组（3 3）存在最小二乘解，）存在最小二乘解，且即为方程组且即为方程组 RTRa=

14、=RTy的解：的解：a=(RTR)-1RTy 所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题求以下超定方程组的最小二乘解的问题111111()(),()()mnmnmnayrxrxRayrxrxay其中其中Ra=y1. 1. 通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f f( (x x) )；+f f= =a a1 1+ +a a2 2x xf f= =a a1 1+ +a a2 2x x+ +a a3 3x x2 2f f= =a a1 1+ +a a2 2x x+ +a a3 3x

15、x2 2f f= =a a1 1+ +a a2 2/ /x xf f= =a ae ebxbxf f= =a ae e- -bxbx 2. 2. 将数据将数据 ( (x xi i, ,y yi i) )作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 f f( (x x) )1. 1. 作多项式作多项式f f( (x x)=)=a a1 1x xm m+ + +a am mx x+ +a am+1m+1拟合拟合, ,可利用已有程序可利用已有程序: :a=polyfit(x,y,m)2. 2. 对超定方程组对超定方程组)(11nmyaRnmmn可得最小二乘意义下的解可得最小二乘意义下的解，用，用yR

16、a输出拟合多项式系数输出拟合多项式系数a=a1, ,am , am+1 ( (数组数组) )）输入同长度输入同长度的数组的数组x x，y y拟合多项拟合多项式次数式次数即要求即要求 出二次多项式出二次多项式: :3221)(axaxaxf中中 的的),(321aaaA 使得使得: :最小 )(1112iiiyxf例题例题 对下面一组数据作二次多项式拟合对下面一组数据作二次多项式拟合1 1）输入以下命令）输入以下命令：x=0:0.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;R=(x.2) x ones(11,1)

17、；A=Ry211211111 1xxRxx此时解法解法1 1用解超定方程的方法用解超定方程的方法2 2）计算结果）计算结果： = -9.8108 20.1293 -0.03170317.01293.208108.9)(2xxxf1 1）输入以下命令：）输入以下命令： x=0:0.1:1;x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) A=poly

18、fit(x,y,2) z= z=polyval(A,xpolyval(A,x);%);%计算点计算点x x的函数值的函数值 plot(x,y,k+,x,z,rplot(x,y,k+,x,z,r) %) %作出数据点和拟合曲线的图形作出数据点和拟合曲线的图形2 2）计算结果：）计算结果： = -9.8108 20.1293 -0.0317= -9.8108 20.1293 -0.0317解法解法2 2用多项式拟合的命令用多项式拟合的命令00.20.40.60.81-20246810120317.01293.208108.9)(2xxxf1. 1. lsqcurvefitlsqcurvefit已知

19、数据点数据点： xdataxdata= =（xdataxdata1 1,xdata,xdata2 2,xdataxdatan n）, , ydataydata= =（ydataydata1 1,ydata,ydata2 2,ydataydatan n） 用用MATLABMATLAB作非线性最小二乘拟合作非线性最小二乘拟合 MATLAB MATLAB提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefitlsqcurvefit和lsqnonlinlsqnonlin两个命令都要先建立两个命令都要先建立M M文件文件fun.mfun.m，在其中定义函数，在其

20、中定义函数f f( (x x) )，但，但两者定义两者定义f f( (x x) )的方式是不同的的方式是不同的, ,可参考例题可参考例题.21( ,) niiiF x xdataydata最小lsqcurvefitlsqcurvefit用以求含参量用以求含参量x x（向量）的向量值函数（向量）的向量值函数 F(x,xdataF(x,xdata)=)=（F F（x,xdatax,xdata1 1）,F,F（x x，xdataxdatan n）T T中的参变量中的参变量x(x(向量向量),),使得使得 输入格式为输入格式为: : (1) x = x = lsqcurvefitlsqcurvefit

21、 (fun,x0,xdata,ydata); (fun,x0,xdata,ydata); (2) x =x =lsqcurvefitlsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options);(fun,x0,xdata,ydata,options); (3) x=x=lsqcurvefitlsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options,grad);(fun,x0,xdata,ydata,options,grad); (4) x,optionsx,options=lsqcurvefitlsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,

22、);(fun,x0,xdata,ydata,); (5) x,options,funvalx,options,funval=lsqcurvefitlsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,);(fun,x0,xdata,ydata,);(6) x,options,funval,Jacobx,options,funval,Jacob=lsqcurvefitlsqcurvefit(fun,x0,xdata, (fun,x0,xdata, ydataydata,);,);funfun是一个事先建立的是一个事先建立的定义函数定义函数F(x,xdata) 的的M M文件文件, , 自

23、变量为自变量为x和和xdataxdata说明:x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options);x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options);迭代初值迭代初值已知数据点已知数据点选项见无选项见无约束优化约束优化2 2、lsqnonlinlsqnonlin 1) x=x=lsqnonlinlsqnonlin（funfun，x0 x0）； 2)x=x=lsqnonlinlsqnonlin（funfun，x0 x0，optionsoptions）； 3)x= x= lsqnonlinlsqnonlin（funfun，x0 x0，

24、optionsgradoptionsgrad）； 4)xx，options=options=lsqnonlinlsqnonlin （funfun，x0 x0，）； 5)xx，optionsoptions，funvalfunval=lsqnonlinlsqnonlin（funx0funx0，）；说明：x= x= lsqnonlinlsqnonlin （funfun，x0 x0，optionsoptions）；）；funfun是一个事先建立的定义是一个事先建立的定义函数函数f(x)的的M M文件，文件，自变量为自变量为x x迭代初值迭代初值选项见无选项见无约束优化约束优化100200 300400

25、50060070080090010004.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59jt3( 10 )jc 100.0221min( , , )ejktjjF a b kabc例题例题 用下面一组数据拟合用下面一组数据拟合 中的参数中的参数a a，b b，k k0.0.2( )ektc tab该问题即解最优化问题：该问题即解最优化问题： 1 1）编写）编写M M文件文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中其中 x(1)=

26、a; x(2)=b；x(3)=k;2）输入命令）输入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59;x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata)f= curvefun1(x,tdata) F(x，tdata)= ，x=(a，b，k)1010.020.02T(e,e)ktktabab解法解法1 1. 用命令用命令lsqcurvefit1）编写编写M M文件文件 curvefun2.m function f=cur

27、vefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90, 6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdata2）输入命令）输入命令: x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqnonlin(curvefun2,x0)f= curvefun2(x)解法解法 2 2 用命令用命令lsqnonlinlsqnonlina=0.0063, b=-0.0034, k=0.2542 根据给定的数据（有限数据点），去找符合该数据规律特征的原始函数的特

28、征（全局特征），除了通过机理分析以外，我们还可以通过插值的方法。一维插值的定义一维插值的定义已知已知 n+1个节点个节点(,) (0,1, ,jjxyjn 其中其中jx互不相同，不妨设互不相同，不妨设01,nxxx求任一插值点求任一插值点)(*jxx 处的插值处的插值.*y0 x1xnx0y1y节点可视为由节点可视为由)(xgy 产生产生,g表达式复杂表达式复杂,或无封闭形式或无封闭形式,或未知或未知.*x*y 构造一个构造一个(相对简单的相对简单的)函数函数),(xfy 通过全部节点通过全部节点, 即即()(0,1,)jjfxyjn再用再用)(xf计算插值，即计算插值，即).(*xfy 0

29、x1xnx0y1y*x*y 称为拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数0( )( )nniiiP xL xy 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,yn 求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下其中Li(x) 为n次多项式：01110111()()()()()( )()()()()()iiniiiiiiiinxxxxxxxxxxL xxxxxxxxxxx拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值0111111()(),(),0,nnjjjjjjjjjjjjjjLxy lxxxxxxxx

30、xxlxxxxxx其 他计算量与n无关;n越大，误差越小.nnnxxxxgxL0),()(limxjxj-1xj+1x0 xnxy比分段线性插值更光滑比分段线性插值更光滑xyxi-1 xiab数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性光滑性的阶次越高，则越光滑是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值最邻近插值最邻近插值立方插值立方插值用用MATLAB作插值计算作插值计算一维插值函数：一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法

31、被插值点被插值点插值节点插值节点xi处的处的插值结果插值结果nearest 最邻近插值；最邻近插值；linear 线性插值；线性插值；spline 三次样条插值；三次样条插值；cubic 立方插值；立方插值； 缺省时缺省时 分段线性插值分段线性插值注意：所有的插值方法都要注意：所有的插值方法都要求求x是单调的，并且是单调的，并且xi不能够不能够超过超过x的范围的范围例题：从例题：从1 1点点1212点点的的1111小时内，每隔小时内，每隔1 1小时测量一次小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：温度，测得的温度的数值依次为：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，30

32、30，2222，2525，2727，2424试估计每隔试估计每隔1/101/10小时的温度值小时的温度值hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); plot(hours,temps,+,h,t,r:)xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)0246810125101520253035HourDegrees Celsiusxy机翼下轮廓线例题例题. . 已知飞机下轮廓线上数据如下，求已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变每

33、改变0.1时的时的y值值051015-20020lagrange051015024piecewise linear051015024spline第一种（网格节点）第一种（网格节点）第二种（散乱节点）第二种（散乱节点） 已知已知 m n个网格节点个网格节点 (,) (1,2,.,;1,2, )ijijxyzim jn其中其中(,)ijx y互不相同，不妨设互不相同，不妨设bxxxam 21dyyycn 21 构造一个二元函数构造一个二元函数),(yxfz 通过全部已知节点通过全部已知节点,即即再用再用),(yxf计算插值，即计算插值，即).,(*yxfz (,), (0,1,;0,1,)ijij

34、fxyzimjn第一种：第一种：第二种（散乱节点）：第二种（散乱节点）： yxO已知已知n个节点个节点),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同， 构造一个二元函数构造一个二元函数),(yxfz 通过全部已知节点通过全部已知节点,即即),1 ,0(),(nizyxfiii 再用再用),(yxf计算插值，即计算插值，即).,(*yxfz 注意：注意：最邻近插值一般不连续具有连续性的最简单的插值是分片线性插值 最邻近插值最邻近插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数

35、值即为所求将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为： 分片线性插值分片线性插值xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4插值函数为：11()jjijiiyyyxxyxx1213211( , )()()jiiijjyyxxf x yfffffxxyy第二片(上三角形区域)：(x, y)满足11()jjiiiiyyyxxyxx插值函数为：1413411( , )()()jijjijyyxxf x yfffffyyxy注

36、意注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内显然，分片线性插值函数是连续的；分两片的函数表达式如下：第一片(下三角形区域)： (x, y)满足双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成双线性插值函数的形式如下：( , )()()f x yaxb cyd其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数 双线性插值双线性插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O要求要求x0, ,y0单调；单调；x，y可取可取为矩阵，或为矩阵，或x取行取行向量，向量，y取为列向量，取为列向量，x,y的值分别不能超出的值

37、分别不能超出x0, ,y0 0的范围的范围z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值点插值方法用用MATLAB作网格节点数据的插值作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值nearest 最邻近插值；最邻近插值；linear 双线性插值；双线性插值；cubic 双三次插值；双三次插值；缺省时缺省时 双线性插值双线性插值. .例题：测得平板表面例题：测得平板表面3 35 5网格点处的温度分别为：网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 84 8484 82 85

38、86 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面试作出平板表面的温度分布曲面z= =f( (x, ,y) )的图形的图形输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲线图.2以平滑数据,在 x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图. 1

39、234511.522.53606570758085901234511.522.5360657075808590通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较x=0:400:5600;x=0:400:5600;y=0:400:4800;y=0:400:4800;z=370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;.z=370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;. 510 620 730 800 850 870 850 78

40、0 720 650 500 200 300 350 320;. 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;. 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;. 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;. 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550;. 740 880

41、1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550;. 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 750;. 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 750;. 880 1060 1230 1390 1500 880 1060 1230 1390 1500 15001500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 950;. 1400 9

42、00 1100 1060 950 870 900 930 950;. 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100;. 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100;. 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200;. 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1

43、550 1380 1070 900 1050 1150 1200;. 1430 1430 14301430 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1460 1500 1550 1600 1550 1600 16001600 16001600 1550 1500 1550 1500 15001500 1550 1550 15501550;.;. 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500;. 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300

44、 1200 980 850 750 550 500;. 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350;. 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350;. 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210;. 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380

45、300 210;. 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150; 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150; figure(1); figure(1); meshz(x,y,zmeshz(x,y,z) ) xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Zxlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)xi=0:50:5600;xi=0:50:5600;yiyi=0:50:4800;=0:50:4800;f

46、igure(2)figure(2)z1i=interp2(x,y,z,xi,yi,nearest);z1i=interp2(x,y,z,xi,yi,nearest);surfc(xi,yi,z1i)surfc(xi,yi,z1i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Zxlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)figure(3)figure(3)z2i=interp2(x,y,z,xi,yi);% z2i=interp2(x,y,z,xi,yi);% 缺省时为双线性缺省时为双线性surfc(xi,yi,z2i)surfc(xi,yi,z2i)xlabel(X),

47、ylabel(Y),zlabel(Zxlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)figure(4)figure(4)z3i=interp2(x,y,z,xi,yi,cubic);z3i=interp2(x,y,z,xi,yi,cubic);surfc(xi,yi,z3i)surfc(xi,yi,z3i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Zxlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)figure(5)figure(5)subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10);% subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10);% 画等高线画等高线subplot(1,3,2),contour(xi,yi,z2i,10);subplot(1,3,2),contour(xi,yi,z2i,10);subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10);subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10);figure(6)figure(6)subplot(1,3,1),contourf(xi,yi,z1i,10);% subplot(1,3,1),contourf(xi,yi,z1i,10);% 画等高面画等高面subplot(1,3,2),