数值模拟技术3xin

1、第二章 平面线弹性问题的有限单元法第一节 有限单元法的基本思路第二节 位移模式及单元分析第三节 整体分析整体刚度矩阵及其修正第四节 小结及算例第一节 有限单元法的基本思路 平面线弹性问题的有限单元法是针对平面问题，依据弹性力学的基本方程所构造的有限单元法。（Finite Element Method_FEM) 有限单元法的基础：结构力学 对于岩土体这样的连续介质，怎样用结构力学的分析方法来解决它的弹性力学问题？ 其步骤如下： 1、将连续体离散化：即将连续的弹性体变换成一个离散的结构物（构件）。这个结构物（构件）是由有限多个有限大小的构件，在有限个连续点上联系起来而构成的。（如图）其中：这有限大

2、小的构件就称为单元； 有限个连续点就称为节点。 连续介质的单元离散化又称为单元剖分。 对于平面问题的单元形状，常用的有：三角形（如左图）、四边形（如右图） 注意：在进行剖分时1）注意单元大小：相邻单元反差不要太大；2）注意单元分布：不要出现严重畸形单元，在边界部位可有不同类型单元；3）节点连续形式。 剖分原则：在需连续部位详细划分。2、在剖分基础上，为便于区分个不同单元，须对各单元、节点进行整体编码。 在介质被离散化的情况下，每个单元都有相应的单元节点力、单元节点位移、单元应变和单元应力等物理量，以矩阵符号依次表示为： e属于编号为e的那个单元； 如图：三角形单元，其单元整体编号为e，节点编号

3、为i, j, m. i节点位移为： j节点位移为： m节点位移为： eeeeF, mmmjjjiiivuvuvu 单元e节点位移列阵： 按照结构力学思路，单元间的作用力是通过节点传递的，因此，需知道节点荷载，各节点荷载表示为： i节点荷载 j节点荷载 m节点荷载单元荷载列阵为： 如果是4节点四边形单元则单元节点位移矢量和节点荷载矢量均有8个分量。 Tmmjjiievuvuvu, TmmjjiieTmmmTjjjTiiiYXYXYXRYXRYXRYXR, 在应力分析课题中，采用结构力学的位移法，即取基本未知量是节点的位移。 未知量整体节点位移列阵为： 单元位移列阵以单元e为例为:u , v 求单

4、元应变的公式几何方程为： 从式中不难看出，知道单元位移就可求出单元应变。 Tjjvuvuvu,.,.,221, 1 单元。下，认为单元为常应变是单元位移。一般情况其中：vurxvyuyvxuxyyx, 求单元位移，需建立一个单元位移和节点位移未知量之间的关系。 然后，根据物理方程: 从上述分析可知，求单元应力、应变的关键问题是求节点位移与单元位移的关系。 ，代入上式即可。换为换为将上式中的）平面应变问题：）平面应力问题：是弹性矩阵，对于其中即可求出单元应力。2221121120001011EEEDD 要求单元内任一点的位移，即单元位移与节点位移之间的关系，对常应变单元可以采用“线性插值”的方法

5、，采用该方法，即设单元内任一点的位移为： 、单元的位移模式。称为插值函数或形函数其中：6262166212NvuvuvuvuNfmmjjiie 建立了单元位移与节点位移的关系后，即可由几何方程，求得应变。即 到此，我们已完成了一半的工作，还需求节点位移。求节点位移可采用两种方法：1）虚功原理；2）节点力平衡方程。下面以后者为例来建立节点力与节点荷载的关系。 间的关系。单元应力与节点位移之为应力转换矩阵，反映，即再由物理方程求得应力间的关系。单元应变与节点位移之为应变转换矩阵，反映SSBBee166313166313 单元组合体在外力（总体节点荷载）作用下处于平衡状态，则每个节点在节点力与节点荷

6、载作用下也应该处于平衡状态。因此，可利用节点力的平衡方程来建立两者之间的关系。 对于单元e，其节点荷载列阵为： 节点力列阵为： TYmXmYjXjYiXieTmmjjiieFFFFFFFYXYXYXR 对任意节点i，若被k个单元所共用，则其节点力是k个单元相应节点之和，其平衡方程为： 系节点力与节点位移的关为单元刚度矩阵，反映其中称为单元刚度方程。，有：对于任意单元写成列阵形式：eeeeikeeikeeYiikeeXiKKFeRFYFXF166616111 对整个研究区有： 形单元为例。线弹性常应变平面三角注意：以上所介绍是以。，最后求出，进而求由此方程，可以解出反映介质的力学特性。叠加得到的

7、。由所有单刚矩阵对应项为总体刚度矩阵，它是为节点位移列阵；其中整体平衡方程nnnnnnnKRK2222222 通过以上分析，可总结出有限元分析思路，它分两部分： 1、单元分析：A、研究位移模式问题Ne B、荷载列阵Re; C、应力转换矩阵Se; D、应变转换矩阵Be; E、单元刚度矩阵Ke. 2、整体分析：A、建立整体节点荷载列阵Ke; B、建立整体刚度矩阵 C、求解大型线性方程组。 具体步骤如下： 1、研究区域的离散化； 2、选择位移模式； 3、计算等效节点荷载； 4、单元分析Be, Se, Ke 5、集合所有单元的刚度方程，建立整个结构的平衡方程； 6、引入位移边界条件，修正总体平衡方程；

8、 7、解方程，求未知节点位移及单元应力。第二节 位移模式及单元分析一、位移模式与解答的收敛性 位移模式：假定的单元内任一点位移与坐标x,y的某种函数关系式，用以描述单元内部的位移形态。 选取依据：单元节点数及其自由度。 有限元分析的 关键：适当选择位移模式，以保证单元内部的变形协调及相邻单元间的变形协调。 若此条件得到满足，则有限元的解将随离散化网格单元尺寸的缩小，不断收敛于精确解。 对于常应变三角形单元（图式），其三个节点为I, j, m.为求此单元内任一点（x,y)的位移u,v. 首先，假定：u,v是坐标x,y的线性函数，即选取位移模式。 由于，该三角形有6个自由度，所以位移函数只能包含6

9、个待定系数。由于单元位移函数不仅适用于单元内部点，而且也适用于单元节点，因此可以将某节点坐标代入上式所得到的位移值u,v，就应该等于该节点的两个位移分量。即：yxyxvyxyxu6541321,mmmjjjiiimmmjjjiiiyxvyxvyxvyxuyxuyxu654654654321321321 解上述两方程，可得：应沿逆时针排列。为正，节点为保证或是三角形单元的面积。其中，mjicbcbyxyxyxvcvcvcvbvbvbvavavaucucucubububuauauajmmjmmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjii,111212121621

10、5214213212211 上式中a,b,c是只与节点坐标有关的常数，称为节点坐标差值。其值为：mmjjiimmjjiimmmmjjjjiiiimmmmjjjjiiiimmmmjjjjiiiijmimiiimmiivNvNvNvuNuNuNuycxbaNycxbaNycxbaNvycxbavycxbavycxbavuycxbauycxbauycxbaucbamjimjixxcmjiyybyxyxa则上式可写成：设：的式子，可得：的式子代入求单元位移将求的值。外两组进行轮换，从而得到另表示其中记号2121212121,上式写成矩阵形式：可以看出：当ui=1或I=1,其它节点位移分量为0时，u(x

11、,y)=Ni(x,y)或v(x,y)=Ni(x,y).可见，函数Ni表示当节点I发生单位位移时在单元内部产生的位移分布形态。 的函数。简称形函数，均是坐标称为位移的形态函数，的位移形态，形函数矩阵，反映单元其中令：mjimjimjimmjjiimjimjiNNNNNfNNNNNNNvuvuvuNNNNNNvuf,0000000000 位移模式收敛条件： 1）位移模式应包含单元的刚体位移。即包含与本单元形变无关，而由其它单元发生形变所引起的位移； 2）位移模式应包含单元的常量应变。 所谓常量应变即与坐标位置无关，在单元内各点相同的应变。 3）位移模式应保证相邻单元在公共边界处位移的连续性。 1）

12、，2）为收敛的必要条件，3）为充分条件。可以证明，我们所选的三角形单元的位移模式满足上述条件： （1）若单元发生刚体唯一：水平位移uo，垂直位移vo，绕Z轴的转角为wo，则单元任一点（x,y)的位移为： （2）由几何方程可得：。包含于线性位移模式中即刚体位移状态已全部式中写为：可将单元位移表达式改20400226422213535353535vuxxyvyyxuyvvyuuoooo含于线性位移模式中。可见全部常量应变已包5362xyyx （3）因为所选的是线性位移模式，所以单元上任一直线在位移后仍为直线。如图相邻单元二、由节点位移求应变应变转换矩阵已知单元内任一点的位移与节点位移的关系利用几何

13、方程：mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNumjiiiiicyNbxNxvyuxyyvyxux,22导数其中形函数对坐标的偏从而可得：写成矩阵形式：B为应变转换矩阵，其中各元素是仅与三角形单元几何性质有关的常量。可推知应变分量为常量，即三角形单元为常应变单元。mmjjiimmjjiiyxmmjjiiymmjjiixucucucvbvbvbvcvcvcububub21212121 单元应变公式。简写成：Bvuvuvubccbccbccbbbmjimmjjiimmmjjjiiimjixyyx00000021三、由节点位移求应力应力转换矩阵已知应变时，可利用物理方程求应力：S的特点：1

14、）与座标有关；2）与E，u有关。S可写成分块矩阵形式：S=Si，Sj，Sm对于平面应力问题：平面应变问题：将 应力转换矩阵_SSBDDee iiiiiiEibcccbbS2121122即可11,2EE从上式可以看出： 1）在同一单元中应力分量也是常量； 2）相邻单元具有不同的应力，因而在其公共边上会有应力突变。 这种应力突变将随单元面积的缩小而急剧减少。不影响解答的收敛性。四、节点位移表示节点力单元刚度矩阵1、单元刚度方程的建立 单元刚度方程可由虚功原理导出。 由于有限元分析中单元所受荷载都移置到节点上，因此单元所受外力仅为节点力。 若用 则外力虚功W为： 虚变形功v为： 由虚功原理可得： 表

15、示节点力表示虚应变，表示虚位移，eeeF* 1*tdxdyFtdxdyvFWTeeTeTeeTe设虚位移与实位移有相同的位移模式，则：由于虚位移中的元素为常数，可将其放到积分号外。同时左乘 ： 则（3）式可简化为： 3122*dxdytBDBtdxdyBDBFBDSBeTTeeTeeTeeeee式：代入将 e* 4eeeeTeKFtdxdyBDBF可简写为：单元刚度方程注意:(1）上式中Ke是平面问题中计算单元刚度矩阵的一般形式；（2）对常应变三角形单元，K可简化为： 将B、D代入（5）式中，可得到单刚矩阵的具体表达式，Ke可写成分块矩阵形式： ，与单元的位置无关。性常数形态、大小、方位和弹阶

16、方阵，决定于单元的为665KtBDBKTe 即可。，换平面应变问题，只须替对平面应力问题：EmjismjirbbcccbbcbccbccbbKKKKKKKKKKKsrsrsrsrsrsrsrsrAtEersmmmjmijmjjjiimijiie,.76212121211422.单元刚度矩阵的物理意义将（4）式写成下面形式： 单刚矩阵的2*2阶子矩阵Krse表示节点s（s=i,j,m)产生单位位移时，在节点r（r=i,j,m)上所需施加的节点力的大小。 mmmjmjimimmjmjjjijijmimjijiiiimjimmmjmijmjjjiimijiimjiKKKFKKKFKKKFKKKKKK

17、KKKFFF据矩阵乘法可得：8 将（8）式中各列阵进一步展开，则有：其中各个元素的物理意义为： 。，无横线表示铅直方向中的横线表示水平方向其中srmjissrsss rrymjisssrssrrxkmjirvkukFmjirvkukF,。加的水平节点力的大小所须施移时，在节点在垂直方向产生单位位表示节点如：点力的大小。点力与垂直节上分别需施加的水平节位移时，在节点产生单位在水平方向、铅垂方向表示节点ijkmjirrmjisskkkkj irss rsrsr),(),(,3.单元刚度矩阵的特性（1）对称性：（2）奇异性： 物理意义：若仅知节点力，不知约束条件，则单元除产生本身的形变外，还可产生任

18、意的刚体位移。这部分刚体位移分量按给定的节点力是无法唯一确定的。（3）分块性。 i jj ii jixjj iiyjiiyjjxkkkFvkFuvFuF,1;,19时时意义可知，上式中：由单元刚度矩阵的物理0eK五、荷载向节点的移置单元荷载列阵 移置原因：有限元讨论的是节点的受力、平衡和位移。 移置原则：静力等效原则。 静力等效原则： （1）对于弹性体，原荷载与节点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。 （2）原荷载与节点荷载在任一轴上的投影之和及对任一轴的力矩之和都相等，具相同的主矢量和主矩。 荷载分类：（1）集中力；(2)体积力：重力、地震力 (3)面力：构造应力、自重应力、风力。1、集中力的移

19、置 如图，将集中荷载移置到节点上后形成的节点荷载列阵用Re表示： 假设(1)M点发生的虚位移： (2)各节点与之相应产生虚位移为由静力等效原则： TmmjjiieYXYXYXR Tvuf* *mmjjiievuvuvu PNPNPfRNfPfRTTeTeTeTeeTeTe*两边同乘 则上式变为：2、体力的移置 设单元内分布体力的密度为 在单元内取一小的微分体，体积为tdxdy,t为厚度将rtdxdy当作一集中力P，由（10）有： 1*Te 通用表达式。集中荷载向节点移置的该式为单元内任一点的扩展后为：1110TymxmyjxjyixiTmmjjiieTePNPNPNPNPNPNYXYXYXRPNR Tyxrrr 用公式。为体力向节点移置的通12tdxdyrNRTe3、面力的移置 图示，设在单元ij边上作用分布面力 在ij边上取微段tds，作用于此段上的荷载为将其作为集中荷载，则可由(10)式积分得：4、线性位