光栅严格藕合波理论分析

1、光栅严格藕合波理论分析用严帛耦件波理论处理比冊衍射电磁场边值问题，给出了Maxwell方程组的精确執分析求解思路主要包括三牛步霧；（I）由Maxwell®本方程组求得入射区和透射鱼电毬场解的屋达式；（2）光橱区域内介业常数及电醴场作傅里叶级数展开.推导出鴇育波微力方程级：<3）在不同区城边界卜.运用电磁场边界条件*通过一定的数学方法求得各级衍射波的振幅及忻射效率图2-1光栅平面衍射示意图图2-1光栅平面衍射示意图平面波衍射足战简单的模型，对于平面波衍射.入射面垂ri于允栅平而、入射的偏振光可以分解为TE波和TM波两种情况来考虑.且透射和反射的衍射波都住于入射面内。U卜绐HTE波

2、的计算公式。对f如图2-1所示的矩形光册结构，X。为入射区"折射率为mt»沖为透射区丫折射率为机；（i<Z«l为光栅区.将英介电常数作傅里叶展卄得式屮j为傅里叶展开系数，M代表衍射级次帥=0,土】，±4*+M）.对于如图21所示的对称结构.(jrmjrm(2-2)(2-3)(2-4)得比严一J邑工Umexp(-也M)(2-5)式中/为占宽比，即一个光栅周期内.折射率为心的结构所占的比例.对于TEftt振，电场矢量平行于栅线方向，入射电场对以表示为E叶、=cxpl-z/ijCsinOx+cos0x)式中Ro为入射光在真空中的波矢。入射区及透射区的电场

3、分别为E貯E“+工R”,expTg丿-J)民，二工几cxp-dRgX-心"(z-d)J=0|H|sin。-牛釘A+£)”；伙”/k0)2l/k()n,>=或3-呻(J/k0)2一n；,kw>konr式中Rm是入射区反射的第m级衍射波电场幅度,Tm是透射区向前传输的第m级衍射波电场幅度。由Maxwell方程，町得入射区及透射区的磁场表达式为H=(/6/)Vx£,其中“为磁导率，为角频率。在光栅区(Ovv)电场和磁场按空间谐波作傅里叶展开,式中6为真空介电常数，S“(z)和“左)为第加阶空心谐波场的归一化振幅.且和乞、满足Maxwell方程dEBHQH(2

4、6)将式(25)代入式(26),得槪合波方程(2-7)'as/0z八5、U0丿写成矩阵恪式为>进一步推导为(d2sy/dz91)=(A)s>9A=其中zQ/z：/为单位矩阵，(为对角阵，对角元素为匕心E,虻用本征值法求解矩阵人的特征值&特征向昴W,矩阵Q为对角阵，其Mu"工川Mu"工川对角元素为特征値的正平方根。因为人是对阵矩阵或哈密顿矩阵，因此求解过程郴对简单。V=WQ,光棚区的电场和磁场空间谐波振轴乂町以写为Jc：exp(-心/)+<exp切.(z-</)(2-8)乩一4cxp(一仏z)+cmexp心(z-d)式中二和仃由边界条件

5、确定，由于边界处电场和磁场分最连续，所以在输入边界(z=0)M4o+心=工点；+仃exp(-心d)M(2-9)i叫cos0£。-伙山心)心=K+Uexp(-切,0m=l写成矩阵形式就是如osg几j“如osg几j“(f(2-10)同理.£z-d处仃M(2-11)乙二工血：exp(-切/)+iw=l«M心30)几=2vmcxp(-V/,)-G；l写成矩阵形式就是(2-12)同时求解(2-10),(2-12)式得式中:QQ严/0-00、5、'0'%0R00/QQ“%WX(2-13)wx、一忆W、一匕02严(巩cos0戈J.需要注意的是.对方程(213)式

6、求解.涉及到矩阵求逆的问题.而(2-13)式左边的系数矩阵在有些情况F(如光栅柵线较深、周期较小等)为奇异矩阵，得不到止确的结枭。因此需要对其进行LU或QR分解，确保解的稳定正确性。同时也不能够将(2-12)式中的，和L用厂來表示，并代回(210)式直接求解7和乩这是由于对角矩阵X的灯片cos0灯片cos0值很小，从而可能导致和Q©出现冬列。衍射效率定义为(2-14)由能量守恒定律可知,计算的反射和透射的衍射效率之和应等于1,这也可以用來对算法进行检验。但计更结果的稳定打否与计算选取的空间谐波次数仃关，一般对于不同情况.必须人到一定程度.计算结果才能收敛。2.2光栅衍射效率与槽深、占

7、宽比的关系由2章节中的严格耦介波理论分析、处理光栅衍射问题的结论.己得到光柵衍射效率的关系函数，借助Malhb编写的对应衍射效率计算程洋，得到了+1级衍射效率DE与槽深d、占宽比/的关系图，如图22图25所示，为后续微结构光学表而研磨加工的工艺实验提供了理论依据。其中柑关参数设定如卜.(入射介质为空z()：入射波波长k=405nm：空气折射率=1：玻璃折射率n=1.459；光在空气中入射角48°；空频g=4()()mm"；槽深"范围:2060nm；占宽比/范围：0010.005403050、0.015楷深5m)2001占宣比TE波10.020.0150.0110.

8、020.0150.010.020.0150.005-0.025-棺深(nm丿占宽比TM波图22TE波.TM波衍射效率与槽深、占宽比的关系曲面001aaaoaaaaa(al)枷芳与运0.0140016SOnm3Snm40nm45nm81020304彘06070809图23d为定值时.衍射效率与占宽比的关系曲线“.二二.04050007505560253035402530354045505560冷伽n)图24/为定值时.衍射效率与槽深的关系曲线C01201020J0>*50：6oK0*85占覓比00100235<0<5505560图25tf=40nm时，TE波与TM波的衍射效率曲

9、线（左）:,/=0.6时，TE波与TN1波的衍射效率曲线（右）从图22图25中可以昔出，在空频e=400inm憎深d为20-60nin.占宽比/为0.1-0.9范用内：（1）TE波与TM波的衍射效率曲线（曲面）基本一致，但是，TM波的衍射效率均要略高于TE波的衍射效率，在图2-5中将TE波9TM波的衍射效率绘制在同一坐标图中，可以非常明显地看出两者衍射效率的高低:（2）不论TE波还是TM波，当d为定值时，它们的衍射效率与占宽匕的关系曲线呈现出类似正态分布的曲线，在>0.5附近存在某个值“，肖比“时，衍射效率达到峰值，肖/v“时，衍射效率随占宽比增大而增大,当/>“时，衍射效率随占宽比增大而减小:（3）当/为定值时，TE波、TM波的衍射效率与槽深呈现单调关系，随着槽深的增加而增加。2.3BSG衍射效率不均匀性产生的原因BSG的衍射效率基本均匀一致，但实际苗况卜，BSG的衍射效率并不均匀，其不均匀产生