(完整版)高等数学笔记

1、1.1函数一、主要内容函数的概念1 .函数的定义：y=f(x),xCD定义域：D,值域：Z(f).2 .分段函数：f(x)xD1g(x)xD23 .隐函数：F(x,y尸04 .反函数：y=f(x)一x=()(y尸f-1(y)y=f-1(x)定理：如果函数：y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；那么它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的.函数的几何特性1 .函数的单调性：y=f(x),xD,x1xzCD当x1x2时,假设f(x1)f(x2),那么称f(x)在D内单调减少()；假设f(x1)f(x2),那么

2、称f(x)在D内严格单调减少().2 .函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3 .函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),xC(-8,+00)周期：T最小的正数4 .函数的有界性：|f(x)|0、aw1)4 .对数函数：y=logax,(a0、aw1)5 .三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6 .反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx复合函数和初等函数1 .复合函数：y=f(u),u=()(x)y=f4(x),xeX第一章函数、

3、极限和连续2 .初等函数：由根本初等函数经过有限次的四那么运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数 2.2限一、主要内容极限的概念1 .数列的极限：HmynA称数列%以常数A为极限；或称数列Vn收敛于A.n定理：假设Vn的极限存在Vn必定有界.2 .函数的极限：limf(x)A当x时,f(x)的极限：x|imf(x)Alimf(x)Ax当xx.时,f(x)的极限：limf(x)Axx.左极限：limf(x)A右极pM：limf(x)Axx.xxo函数极限存的充要条件：1.无穷大量：limf(x)称在该变化过程中f(x)为无穷大量.X再某个变化过程是指:x,x,x,x

4、xo,xxo,xxo2.无穷小量：limf(x)o称在该变化过程中f(x)为无穷小量.3.无穷大量与无穷小量的关系：定理：limf(x)Olim|,(f(x)O)4.无穷小量的比拟：limO,limO假设limO,那么称3是比a较高阶的无穷小量；假设limc(c为常数),那么称3与“同阶的无穷小量;假设lim1,那么称3与“是等价的无穷小量,记作：3“；假设lim-,那么称3是比“较低阶的无穷小量定理：limf(x)Ax为无穷大量和无穷小量limf(x)limf(x)AXX.X%定理：假设：1,22；那么：lim两面夹定理lim数列极限存在的判定准那么:设:yn%4(n=1、2、3)且:2.l

5、imynlimzna那么:nn函数极限存在的判定准那么：limxnn设：对于点xo的某个邻域内的一切点(点X0除外)有：g(x)f(x)h(x)且：limg(x)XXOlimh(x)XXOA那么:limf(x)AxX0极限的运算规那么假设：limu(x)A,limv(x)B那么：limu(x)v(x)limu(x)limv(x)limu(x)v(x)limu(x)limv(x)lim幽limu(x)公(limv(x)v(x)limv(x)B0)推论：limui(x)(x)un(x)limui(x)limu2(x)limun(x)两个重要极限1Tm0limcu(x)climsin0limu(x)

6、limu(x)nlimu(x)n(x)2limx(1X1.3连续主要内容1lim(1x)xx0函数的连续性1.函数在x0处连续：f(x)在x0 的邻域内有定义,1olimx0ylimf(xox)f(x.)0 x02olimf(x)xXOf(xo)左连续:limf(x)f(XO)xX0右连续:limf(x)xx0f(x0)2.函数在x0处连续的必要条件:定理：f(x)在x0 处连续f(x)在x0 处极限存在3 .函数在x0处连续的充要条件:4 .函数在a,b上连续:f(x)在a,b上每一点都连续.在端点a和b连续是指:a+0b-5 .函数的间断点：间断点有三种情况:3o)x(f在xo处有定义且x

7、imx0f(x)存在,两类间断点的判断:1.第一类间断点：limf(x)可去间断点：xx存在,limf(x)f(xo)理：xx0limf(x)xxolimf(x)xxof(xo)lim特点：xx0f(x)lim和x0f(x)“都存在.limxaf(x)f(a)左端点右连续;limxbf(x)f(b)右端点左连续.假设f(x)在Xo处不连续,那么Xo为f(x)的间断点.io)x(f在xo处无定义;limf(x)2.xx/不存在;limf(x)但xx0f(X0)0f(x)f(xo)或)x(f在xo处无定义.2.第二类间断点:limf(x)limf(x)xxo和xxo函数在xo处连续的性质1.连续函

8、数的四那么运算:lim(x)(xo),limxxou(xo)那么：limf(x)flim(x)f(xo)xxoxxo3.反函数的连续性：特点:至少有一个为OO,lim或xxof(x)一lim无穷间断点：xx0f(x)lim和xX0f(x)至?j至少有一个为ooJimf(x)设xxof(Xo)叫g(x)g(xo)1.limf(x)xx.g(x)f(xo)g(xo)2olimf(x)xxog(x)f(xo)g(xo)3.2.f(x)lim-xxog(x)复合函数的连续性：f(x0)g(xo)limg(x)oxxoyf(u),u(x),yf(x)f(u)f(xo)1yf(x),xf(x),yf(Xo

9、)3.介值定理:,使得f()c,limf(x)f(xo)Xxolimfyyo1(y)f1(yo)f(x)在a,b上连续f(x)f(x)在a,b上连续在(a,b)内至少存在一点函数在a,b上连续的性质i.最大值与最小值定理：7推论:f(x)在a,b上迄卖,且f(a)与f(b)异号4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的.第二章一元函数微分学2.1导数与微分一、主要内容导数的概念1 .导数：1Hmf(xox)f(x0)Hmf(x)f(Xo)x0 xx0 xxx0 xx0定理：f(x)在x0的左(或右)邻域上连续在其内可导,且极限存在；那么：f(x0)limf(x)xx.(或：f(x0

10、)limf(x)Xx03.函数可导的必要条件：定理：f(x)在x0处可导f(x)在x0处连续4 .函数可导的充要条件：定理：yxx0f(x0)存在f(x)f(x),在(a,b)内至少存在一点f()0.f(x)在Xo的某个邻域内有定义,2,左导数:yxxof(x0)dydxxx0f(x)f(x.)f(x0)lim-xx0 xx0右导数：f(x)ximx.f(x)f(x0)xx08且存在.5.导函数：yf(x),x(a,b)f(x)在(a,b)内处处可导.yf(Xo)6.导数的几何性质：yf(X0)是曲线yf(x)上点XMx0,y0处切线的余率.oxo求导法那么1.根本求导公式：2.导数的四那么运

11、算：10(uv)uv20(UV)UVUV(V0)3.复合函数的导数:yf(U),U(x),yf(x)注意f(x)与f(x)的区别:f(x)表示复合函数对自变量x求导；f(x)表示复合函数对中间变量(x)求导.4.高阶导数：f(x),f(x),或f(3)(x)f(n)(x)f(n1)(x),(n2,3,4)函数的n阶导数等于其n-1导数的导数.微分的概念1.微分：f(x)在x的某个邻域内有定义,yA(x)xo(x)dydxdydududx,或f(x)f(x)(x)309那么称yf(x)在x处可微,记作:dyA(x)x2.导数与微分的等价关系:H：f(x)A(x)3.微分形式不变性：dyf(u)d

12、u不管u是自变量,还是中间变量,函数的微分dy都具有相同的形式.4 2.2中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理：f(x)满足条件：10在a,b上连续；20在(a,b)内可导30f(a)f(b).yf()在(a,b)内至少存在一点使得f()0.其中：A(x)与x无关,o(x)是比x较高lim阶的无穷小量,即：x00(x)dyA(x)dx(x0)定理：f(x)在x处可微f(x)在x处可导,10IIa.2.拉格朗日定理：f(x)满足条件：limf(x)0 xailimg(x)0 xa注意：1法那么的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限.2.假设不满足法那么的条件,不能使用法

13、那么.0_即不是o型或型时,不可求导.f(x)2o在点a的某个邻域内可导,且g(x)0；3oxf(x)g(x)A,(或)lim那么：xa()f(x)g(x)limxa(f(x)g(x)A,10在a,b上连续,20在(a,b)内可导;在(a,b)内至少存在一点,使得:f(b)f(a)o罗必塔法那么：(0,型未定式)定理f(x)和g(x)满足条件:ii3.应用法那么时,要分别对分子、分母求导,而不是对整个分式求导.4.假设f(x)和g(x)还满足法那么的条件,可以继续使用法那么,即:limxa(f(x)g(x)limxa(f(x)假设函数是oo形,化成o或型；假设是1采用对数或指数变形,化成导数的

14、应用i.切线方程和法线方程:设：yf(x),切线方程:yo法线方程:yo2.曲线的单调性:f(x)g(x)型可采用代数变,oO,ooo或一型.M(xo,y)f(Xo)(Xf(xo)(a,b)f(x)Ox(a,b)(xlimxa(型可xo)f(x)g(x)(f(xo)0)f(x)在(a,b)内单调增加;f(x)在(a,b)内单调减少;12f(x)0 x(a,b)在(a,b)内严格单调增加;f(x)0 x(a,b)在(a,b)内严格单调减少3 .函数的极值：极值的定义：f(x)(a,b)x0(a,b)设在内有定义,是内的一点；假设对于x0的某个邻域内的任意点xx0,都有：13f(x0)f(x)或f

15、(x0)f(x)那么称f(x0)是f(x)的一个极大值(或极小值)极值存在的必要条件：x0f(x)称为的极大值点(或极小值点)定理：10.f(x)存在极值f(x0)20.f(x0)存在.f(x0)0 x0称为f(x)的驻点极值存在的充分条件：定理一：10.f(x)在x0处连续；20.f(x0)0或f(x0)不存在;30.f(x)过x0时变号.f(x0)是极值；x0是极值点.1410.f(x0)0,x0,f(x0)称20f(x)过x0时变号.为f(x)的拐点.5.曲线的渐近线：水平渐近线：假设xlimf(x)AyA是f(x)或limf(x)A的水平渐近线.x铅直渐近线：定理二：注意：假设假设x渐

16、增通过x渐增通过x0时,x0时,f(x0)f(x)由(+)变(-)；为极大值；f(x)-)变(+)；那么f(x0)为极小值.10.f(x0)0；20.f(%)存在.f(x0)是极值；X0是极值点O假设f(x0)0,那么f(x0)为极大值；假设f(x0)0,那么f(x0)为极小值.f(x)f(x)0,xa,bf(x)在(a,b)内是上凹的(或凹的),(U)0,xa,bf(x)在(a,b)I内是下凹的(或凸的)15假设Jmf(x)xC是f(x)xC或limf(x)的铅直渐近线.xC第三章一元函数积分学 1.1不定积分一、主要内容重要的概念及性质：f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量.3 .不

17、定积分的性质：1原函数：设：f(x),F(x),xDF(x)f(x)那么称F(x)是f(x)的一个原函数,并称F(x)C是f(x)的所有原函数其中C是任意常数.2不定积分：函数f(x)的所有原函数的全体,称为函数f(x)的不定积分；记作:f(x)dxF(x)C其中：f(x)称为被积函数；16f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)C或：df(x)f(x)Cfi(x)f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx一分项积分法kf(x)dxkf(x)dx4.根本积分公式：换元积分法：L第一换元法：(又称“凑微元法)f(t)dtF(t)C令t(x)F回

18、代t(x)常用的凑微元函数有：,1一、dx-d(ax)1oa(x)C1d(axab)(a,b 为常数)a0)(k为非零常数)f(x)(x)dx凑微元f(x)d(x)172o1/1mm1xdxdxm1a(m1)d(axm1b)exdx3od(ex)-d(aexb)aaxdx高d(ax),(a0,a1)d(lnx)5osindxd(cosx)cosxdxd(sinx)6o22secxdxd(tanx)cscxdxd(cotx)x2xd(arcsinx)d(arccosx)1dx1x22.第二换元法：f(x)dxd(arctanx)d(arccotx)f(t)d(t)f(t)dxF(t)C1819F

19、1(x)C反代t1(x)第二换元法主要是针对含有根式的被积函数,其作用是将根式有理化.一般有以下几种代换：10 xtn,n为偶数时(当被积函数中有Jx时)20 xasint,或xacosx,0t万r22当被积函数中有aax时3oxatant,或 xacott,0t5,0t 万22当被积函数中有aax时4oxasect,或xacsct,0t万,0t万:22(当被积函数中有xxa时)分部积分法：1 .分部积分公式：udvuvvduuvdxuvuvdx2.分部积分法主要针对的类型：,t20Pxsinxdx,Pxcosxdx21P(x)exdxP(x)lnxdxP(x)arcsinxdx,P(x)ar

20、ccosxdxP(x)arctanxdx,P(x)arccotxdxeaxsinbxdx,eaxcosbxdx其中：P(x)naoxn1a1xan(多项式)3.选u规律:在三角函数乘多项式中,令P(x)其余记作dv;简称“三多项选择多在指数函数乘多项式中,令P(x)其余记作dv;简称“指多项选择多在多项式乘对数函数中,令lnx其余记作dv;简称“多对选对.在多项式乘反三角函数中,选反三角函数为u,其余记作dv;简称“多反选反在指数函数乘三角函数中,可任选一函数为u,其余记作dv;简称“指三任选简单有理函数积分:f(x)1.有理函数：P(x)Q(x)其中P(x)和Q(x)是多项式.2.简单有理函

21、数:22定积分含四步：分割、近似、求和、取极限.定积分的几何意义：是介于x轴,曲线直线x=a,x=b之间各局部面积的代数和.2 .f(x)在a,b上有有限个第一类间断点;3 .f(x)在a,b上单调有界;那么：f(x)在a,b上可积假设积分存在,那么积分值与以下因素无关：f(x)P(x)f(x)P(x)Ix2f(x)P(x)(xa)(xb)f(x)(xP(x)a)2b3.2定积分一.主要内容(一).重要概念与性质f(x)1.定积分的定义:baf(x)dxMi1y=f(x),x轴上方的面积取正号,x轴下方的面积取负号.2.定积分存在定理:设：yf(x)a,b假设:f(x)满足以下条件之一：1.f

22、(x)连续,a,bOax1x2xi-1Eixi23bb1与积分变量形式无关,即f(x)dxf(t)dt;aa2与在a,b上的划分无关,即a,b可以任意划分；3与点i的选取无关,即i可以在Xii,Xi上任意选取.积分值仅与被积函数f(x)与区间a,b有关.3.牛顿莱布尼兹公式：假设F(x)是连续函数f(x)在a,b上的任意一个原函数:bh那么：J(x)dxF(x)aF(b)F(a)*牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心定理,其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题.4.原函数存在定理：假设f(x)连续,xa,b,x那么：(x)f(t)dt,xa,ba(x)是f(x)在a,

23、b上的一个原函数,x且：(x)(af(t)dt)f(x)5.定积分的性质：设f(x),g(x)在a,b上可积,那么：bb1akf(x)dxkaf(x)dx242f(x)dxf(x)dxabm(ba)f(x)dxM(ba)a其中m,M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值b3f(x)g(x)dxaa4af(x)dx0bbaf(x)dxag(x)dxb5af(x)acf(x)dxabcf(x)dx(acb)b估值定理:bytMmf(x)0abx0abx*259积分中值定理：假设f(x)连续xa,b,那么：必存在一点a,b,使bf(x)dxf()(ba)a二定积分的计算：1.换元积分设fx连续xa

24、,b,xt假设t连续,t且当t从变到时,t单调地从a变到b,()a,()b,b一一贝hf(x)dxf(t)a2.分部积分bbudvuvaa3.广义积分4.定积分的导数公式川/x-1-(af(t)dt)xf(x)a(t)dtbvdua0f(x)dxf(x)dxf(x)dx26-n(x)2f(t)dtxf(x)(x)a2(x)31(x)f(t)d.f2(x)i(x)(三)定积分的应用i.平面图形的面积：2(x)fi(x)i(x)1由yf(x)0,xa,xb,(ab)与x轴所围成的图形的面积yf(x)bsaf(x)dx2由yif(x),y2g(x),(f与xa,xb所围成的图形的面积bsf(x)g(

25、x)dxa3由xi(y),x2(y),(与yc,yd所围成的图形的面积dsc(y)(y)dy4.求平面图形面积的步骤：1.求出曲线的交点,画出草图；2.确定积分变量,由交点确定积分上下限；3.应用公式写出积分式,并进行计算.2.旋转体的体积27得旋转体的体积:1曲线yf(x)0,与xa,x及x轴所围图形绕x轴旋转所28b.2VxJ2(x)dxa0ab2.由曲线x(y)0,与y得旋转体的体积：d2Vy2(y)dyc第四章多元函数微积分初步 4.1导数与全微分一.主要内容：.多元函数的概念3 .二元函数的定义：zf(x,y)(x,y)D定义域：Df4 .二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面.

26、而一元函数是平面上的曲线.二元函数的极限和连续：1.极限定义：设z=fx,y满足条件：1 在点x0,y0的某个领域内有定义点x,y可除外2limf(x,y)AxXOyyo那么称 zf(x,y)在(x0,y0)极限存在)且等于 A292.连续定义：设z=f(x,y)满足条件:1 在点(xo,y0)的某个领域内有定义.2limf(x,y)f(Xo,y0)XX0yyo那么称 zf(x,y)在(x0,y0)处连续.偏导数：定义：f(x,y),在(x0,y0)点f(x0 x,y)f(x,y)fx(x0,y0)lxm0 xf,y.)limof(x0,y0y)f(x0,y0)y0yfx(x0,y0),fy(

27、x0,y0)分别为函数f(x,y)在(x,y)处对x,y的偏导数.zf(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：f(x,y)zfx(x,y)Zxxxf(x,y)zfy(x,y)-zyyy.全微分：1.定义：z=f(x,y)30右zf(xx,yy)f(x,y)AxByo()其中,A、B与x、y无关,o()是比n1y2较高阶的无穷小量.那么：dzdf(x,y)AxByf(x,y)在点(x,y)处的全微分.313.全微分与偏导数的关系定理：假设fx(x,y),fy(x,y)连续,(x,y)D.那么：zf(x,y)在点(x,y)处可微且dzfx(x,y)dxfy(x,y)dy.复全函数的偏导数：1.设：zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)zfu(x,y),v(x,y)那么：二二上二xuxvxzzuzvyuyvy32那么或所dxFy(七).二阶偏导数：2zzfxx(x,y)()xxx2fyy(x,y)21)yyy2zzfxy(x,y)()xyyx2