二项式定理十大典型例题配套练习

1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年 级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容1 .二项式定理：(a b)n C：an C：an 1b L C；an rbr LC；bn(n N ),2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数 C： (r 0,1,2, , n).项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第 r 1项C；an rbr叫做二项式展开式的通项。用Tr 1 C：an rbr表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有 (n 1)项。顺序：注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。(a

2、b)n与(b a)n是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0,是降哥排列。b的指数从0逐项减到n ,是升哥排列。各项的次数和等于n.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C0,C：,C；, ,Cnr, ,Cn.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4 .常用的结论：令 a1bx(1x)nc 0c 1 xc 2x2Ic r xrIc nxn( n n)q aI, b x,(IX)C nC n XC n XLC n XLC n X ( n N)令 a1,b x,(1X)nC°C1XC2X2LC；xL( 1)nC；Xn(nN )5 .性质：二项式系数的对称性：与首末两端

3、“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn Cn , Cn Cn 1二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为 C0 C1 Cn L cn L C： 2n ,变形式 C： c2 L cn LCnn 2n 1。.下载可编辑奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中，令 a 1,b1 ,则 C0C：C：C3 L(1)nCnn(11)n0,从而得到：CnCnC4Cn2rC：C3 L C；112n2n 1奇数项的系数和与偶数项的系数和:(ax)nC0anx0C1an 1xC2an 2x2(ax)V/ na xV/ na xV/ n a x(xa)nC；a0xnC：axn1C；a2xn

4、2令x 1,贝1Ja0a1 a2 a3 Lan (an 0 nL Cna xLC：anx°1)n1a0 a1x_ .n anx L2 a2x2a2xnLanx1a1xa0令x1,则 a0 a1 a2 a3 L an (a 1)n得，a0a2a4Lan(a1)n(a1)奇数项的系数和)2得，a1a3a5Lan(a1)n(a1)"偶数项的系数和)2二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数如果二项式的哥指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数n是奇数时，则中间两项的二项式系数nCn2取得最大值。n 1 n 1Cn, C7同时取得最大值。系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，

5、一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别A 1 Ar为A,A2, ,An1,设第r 1项系数最大，应有，从而解出r来。Ar 1 A 2题型一：二项式定理的逆用；例：C1 Cn 6 C3 62 L Cn 6n 1 /R/ n n n° 0八 1 c八 2C2八 3 小3八 nn n »_.,6i 34 / , ,lx 、，/ rtL解：(1 6)CnCn 6Cn6Cn 6LCn6与已知的有一些差距，C1C2 公 C32n n 111 公 C22nn、Cn Cn6 Cn 6 LCn6(Cn 6 Cn 6LCn 6 )61(CnC； 6 C2 62LC；6n1) 1(1 6)n

6、11(7n 1)666练：Cl 3C2 9c3 L 3n 1C；解：设Sn_ 1_ 2Cn 3Cn9C3 L 3n 1C；,则3SnC；3 C：323 Q3n On01Q2 Q2C n 3 L C n 3 C n C n 3 C n 3C；33 L C；3n 1 (1 3)nSn(1 3)n 13题型二：利用通项公式求xn的系数;例:在二项式（4 13/Z）n的展开式中倒数第3项的系数为45,3 一求含有X的项的系数?解:由条件知cn2解得9（舍去）或n 10,由Tr 1CMx 4)10 r(x3)rC；°x10 r-4-2_r3 ,由题意1043,解得r 6,练:解:3则占有x的项

7、是第7项T6 1求(x22x3210x ,系数为210。9.9 -）9展开式中X的系数?Tr1 C；(x2)9( ) C；x182r( 1)rx 2x2一 9- 31321故x的系数为Cg( 1)一。22C9r( 2)rx18 3r令 18 3r 9,则 r 3题型三：利用通项公式求常数项;例:求二项式（X210 .的展开式中的常数项?解:Tr 1C1r0(x2)10 r520 - rr C；0(1)rx 2220r 8, 所以 T9c180(?45256练:求二项式（2x 工）6的展开式中的常数项?2x解:r 6 r r,1、rr r 6 r .1 . r 6Tr 1c6(2x) ( 1)(

8、2x)( 1)C62(2)x2r(1)3C320练:若（x2 1）n的二项展开式中第5项为常数项，则n x解:T5 Cn(x2)n 4(1)4 C：x2n12,令 2n 12 0,得 n 6. x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式（4 次）9展开式中的有理项?11解：Tr i C；(X2)9r( X3)r27 rr r «-27r(1)CgxF,令2_L Z,(0 r 9)得 r 3或 r 9,6所以当 r 3时，27 r 4, T4 ( 1)3C93X484x4,6当 r 9 时，27 r 3, T10 ( 1)3C；x3x3。6题型五：奇数项的二项式系数和二

9、偶数项的二项式系数和；4 F 1例:解:若(«亍)n展开式中偶数项系数和为256,求n.x21a0,a1, an设(Jx2=)n展开式中各项系数依次设为3 x2令x1,则有 a。a1 an 0,，令x 1,则有a。aa2a3(1)nan2n,将-得：2(a1a3 a5)2n, a1a3 a52n 1,有题意得，2n 125628,n 9。练：若(J1的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。0242r132r 1n 1_ n 1解：QCn Cn Cn Cn Cn Cn LCn2,21024 ,解得 n 11所以中间两个项分别为 n 6,n 7, T5 1 C5(产)6

10、(产 )5 462 x 4, T6 1 462 x布题型六：最大系数，最大项；1例：已知(一2x)n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项 2的系数是多少？解：QCn4 Cn5 2C5, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14,当n 7时，展开式中二项式系数最大的项是丁4和T5 T4的系数 C；(l)423 35, T5的系数C74(-)324 70,当n 14时，展开式中二项式系数最大222的项是 T8,T8的系数C74(1)727 3432。练：在(a b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的哥指数是偶数 2n,则中间一

11、项的二项式系数最大，即T2nTn 1,也就是第n 1项。n 12练:在(： 步)n的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?解:练:只有第5项的二项式最大，则 n 1 5,即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于c"）222写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项?解:因为二项式的哥指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值,从而有T4C3a4b3的系数最小，T5 C4a3b4系数最大。1c练:若展开式刖二项的二项式系数和等于79 ,求（2x）n的展开式中系数最大的项?20_ 1_ 21121 1212解:由 Cn

12、 Cn Cn 79,解出 n 12,假设 Tr1 项最大，Q (- 2x)(-) (1 4x)Ar 1 ArC1r24rC11214r 1Ar 1 Ar 2C1r24rC1214r 1，化简得到 9.4 r 10.4,又 Q0 r 12, r 10,展开式中系数最大的项为 Tii,有 T11 (1)12C112)410x10 16896x1010练:在（1 2x）的展开式中系数最大的项是多少?解:假设Tr1项最大，QTr 1 C；0 2rxrArArAC r 2 rc r12 r1rC10C1011解得Ar2C；02rCiO2r,2(11r 1r) r - _ _),化简得到 6.3 k 7.

13、3,又Q0 r 10,2(10 r)r 7 ,展开式中系数最大的项为T8C7027x715360x7.题型七：含有三项变两项，25例：求当（x 3x 2）的展开式中x的一次项的系数?解法:(x2 3x 2)5 (x2 2) 3x5, T-C；(x2 2)5 r (3x)r ,当且仅当 r1时，Tr1的展开式中才有x的一次项，此时Tr 1 T2 C5（x2 2）43x,所以x得一次项为C5c4243x它的系数为C5C4243 240 。解法:2555_05_14(x23x 2)5(x 1)5(x2)5(C；x5C5x450 51 4C5)(C5)X5 C5x42C525)45 544故展开式中含

14、x的项为C5xC52 C5x2240x,故展开式中x的系数为240.练：求式子（x13,一，-1 2）的常数项?解：收42）3（炯木）公一一一r,.r6,设第r 1项为常数项，则Tr 1 C6（ 1） x1 r6_r 6 2r(力)(1) C61x,得3 _ 36 2r 0, r 3,T3 1 (1) CQ 20.题型八：两个二项式相乘；例：求(1 2x)3(1 x)4展开式中x2的系数.解：Q(1 2x)3的展开式的通项是 C (2x)m Cm 2m xm,0,因此(1 2x)3(1 x)4(1 x)4的展开式的通项是 c4 ( x)nc41n xn,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,

15、2,3, 4,令 m n 2,则 m 0 且 n 2,m 1且 n 1,m 2且 n的展开式中x2的系数等于c020C4(1)2c321C： ( 1)1C；22C：( 1)06.练:求(1 Vx)6(1 J=)10展开式中的常数项 x解:(1 Vx)6(1 J)10展开式的通项为c6n 、xmx3nG0x 4c6n c；4m 3nx 12m 0j m 3 m 6其中 m 0,1,2, ,6,n 0,1,2,10，当且仅当4m 3n,即 或 或n 0,n 4,n 8,时得展开式中的常数项为C； C1c0 C3 C10 C6 C804246.练：已知(1 x x2)(x 4)n的展开式中没有常数项

16、,n N*且2 n 8,则n . x解：(x工)n展开式的通项为Cn xnr x3r Cn xn 4r，通项分别与前面的三项相乘可得 xCn xn4r,Cn xn 4r 1,Cn xn4r 2,Q 展开式中不含常数项,2 n8n 4r且n 4r 1且n 4r 2,即 n 4,8且n 3,7且n 2,6,n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x 历2006的二项展开式中，含对勺奇次曷的项之和为S,当x 时,S .解： 设(x 72) 2006=a0 ax1 a2x2 %x3 L a2006x2006 (x '/2) 2006=a0 ax1a2x2 a3x3 La2006

17、x2006 得2(a1x a3x3 a5x5 L a2005x2005) (x V2)2006 (x 石)2006(x 匹2006展开式的奇次事项之和为S(x) 1(x 扬2006 (x C)2006当 x.2时,S（2）2卜2 产（.，、.，产3 2oo62 223008题型十：赋值法;例:1 n设一项式（3 3/x -）n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为xs,若解:练:解:练:解:练:解:p s 272，则n等于多少?若(33 x 1) xn 4.aoa1x4n，又 p2a2xn anxs 272 ,即 4nn的展开式中各项系数之和为C；(3 jx)3 (3若(1 2x)2

18、oo9 ao，有 Paoaian, S2n272(2n 17)(2 n 16)64,则展开式的常数项为多少?n1f= 的展开式中各项系数之和为2nx64 ,所以n540.12a1xa2x3a3x2oo9La2oo9 x(xCnC：2n ,o解得2n 16或2n则展开式的常数项为17（舍去）,令x 1,可得ao亘a2 22 22在令x o可得a。1,因而曳2。、5八5八4右(x 2)a5x adx3 a3x令x0得ao32,令x1得aoa a2a3a4a§31.题型十一：整除性;例：证明:32n 2 8n 9(n2n 2证：3CnCna2oo9 22oo9a2222 a2xa10,aa

19、22 a2oo9 22oo91axa2 a3N ）能被64整除_n1_ n 1_8n99n 18n9(81) 8n18n 1C： 18n18n 1 Cn 18n221.a4a5n 1 Q2 n Q1 n 1Cn 1 8 C n 18 Cn 18 nCnn；82 8(n 1) 1 8n 9由于各项均能被64整除 32n 2 8n 9（n N*）能被64整除R),则与a2oo922oo9a2a31,C； 18na?22ao11 QnCn 1 8饕的值为2 2UU9n 1 Q2Cn 1 81、(x 1)11展开式中x的偶次项系数之和是10241、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是, f(

20、1)(2)11/222、C0 3C；32C23ncn2、4n3、20的展开式中的有理项是展开式的第项.3、3,9,15,21 4、(2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令 x=1 ,则所求和为351与(1-x) 9展开式中的项c4( x)45、求(1+x+x 2)(1-x) 10展开式中x4的系数.5、(1 x x2)(1 x)10(1 x3)(1 x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的作积，第一个因式中的一 x3与(1-x) 9展开式中的项C9( x)作积，故x4的系数是C9 C4 135.6、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 10展开式中x3的系数.10116、(1 x) (1 x)2(1 x)1°(1 x)1 (1x) =-)区，原式中x3实为这分子中的x4,则所1 (1 x)x求系数为c7i- 7、若f(x) (1 x)m (1 x)n