二重积分部分练习题

1、二重积分部分练习题作者：日期：题目部分，（卷面共有100题,405.0分，各大题标有题量和总分）一、选择（2 分）1 （16小题，共53.。分）（3分）2二重积分xydxdy (其中 D ：0 y x2, o x 1)的值为1(A)6,、1(B)121（D）4(3 分)3 若区域 D 为 0WyWx2, |x | 2，则 xy2dxdyD(A) 0；(B) 32364(C)T(D) 25 6（3分）4设D1是由ox轴,oy轴及直线x+y= 1所圈成的有界闭域，f是区域D: | x|十 |x2上连续，则二重积分f （x, y）dxdy可化累次积分为D0x21(C) 0dy1dx _f(x,y)d

2、yy2y f (x,y)dx(D)(B10dy1 y2x2dx x f (x,y)dyy f(x,y)dx（3分）7设f（x,y）为连续函数，则二次积分1 kdy 1 2 f (x, y)dx可父换积分次序为02y1. 2X(A) 0 dx 0 f(x,y)dy.J33 x21 dx 0 f (x,y)dy. 3. 3 x2dx f(x,y)dy、；20f (x, y)dxdy化成累次积分为D2cos(B) d 0 F(r, )dr 2cos(C) ：d 0 F(r, )dr万 2cos(D) 2 02 d 0 F(r, )dr其中 F (r, 8 ) =f( r cos 0 , r sin

3、0 )r.答（）（3分）1 O 若区域D为x?+ y ?W2x,则二重积分（x y）jxy2dxdy化成累次积分为2X、21(B) 02dx0f(x,y)dy1dx0f(x,y)dy213x2(C) ndx九f(x,y)dy02x(D) 2d2cosf(rcos,rsin)rdr0?n答()(3分)8设f(xy)为连续函数，则积分21x222x0dx0f(x,y)dy1dx0f(x,y)dy可交换积分次序为1y22y(A)0dy0f(x,y)dx1dy0f(x,y)dx1 x222x0dy0f(x,y)dx1dy0f(x,y)dx12y(C) 0dy_f(x,y)dx1 2x(D) 0dyx2

4、f(x,y)dx()(4分)9若区域D为(x-1)2+y2w1,则二重积分2cos(A)dF(r,)dr0022cos3(B)(cossin)drdr2cos3(c)202(cossin)d0rdr2cos3(D)22(cossin)drdr20答()y)dxdy其中D是(4分)11设I1ln(xy)7dxdy,I2(xy)7dxdy,I3sin7(xDDD,一一1由x=0,y=0,xy-,x+y=1所围成白区域，则II,I2,I3的大小顺序是(A)I1I2I3；(B)I3I2Ii；(C)IiI3I2；(D)I3VIiI2.答()(5分)12设Idxdy,则I满足|x|y|118sxsiny2

5、(A)2I2(B)2I331(C)DI(D)1I02答()八14(4分)13设xy其中D是由直线x=0,y=。/+J=彳及x+y=1所围成的区域，则2Ii,I2,I3的大小顺序为(A)13VI2Ii;(B)I1I2I3；(C)I1I3I2；(D)I3I1。),当a=时，a2x_y7dxdyD答（）二、填空（6小题，共21.0分）（4分）1设函数f（x,y）在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域Ao-i（i=1,2,-,n）,在每一个小区域Ao-i任意选取一点（马，刀i）,如果极限nlim0f（i,i）i（其中入是A（ii（i=1,2，,n）的最大直径）存在，则称此极1 1限值为的二重积分

6、。（4分）2若D是以（0,0）,（1,0）及（0,1）为顶点的三角形区域曲二重积分的几何意义知（1xy）=.D(3分)3设D:0yJa2x2,0x0,由二重积分的几何意义知2 22.axydxdy_.D(3分)4设D:x2+y20,则二重积分sin(x3y2)d。Dcc.2c，.，、一,，、h_.f_，X.,（4分）5设区域D是x2+y2w1与x+y2w2x的公共部分，试与出f（x,y）dxdy在极坐标D系下先对r2cos1_3dF(r,)dr3do23积分的累次2cos)dr2dF(r,)dr_.3x）,由二重积分的几何意义知(3分)6设D:0wxw1,0WyW2(1V1x2dxdy=三、计

7、算（78小题，共331.0分）（3分）1设f（x,y）为连续函数，交换二次积分2y0dyivf（x,y）dx2y的积分次序。（3分）2设f（x,y）为连续函数，交换二次积分22x0dxxf(x,y)dy的积分次序。（3分）3设f（x,y）为连续函数，交换二次积分00idy -yf(x，y)dx102dy2yf（x，y）dx的积分次序。（3分）4设f（x,y）为连续函数，交换二次积分11e10dxi/f(x,y)dx1dxlnxf(x,y)dy的积分次序。（4分）5计算二重积分2、（xy）dxdyD其中D:0wywsinx,Ox乳.（3分）6计算二重积分xydxdyD其中D是由曲线y=x2，直线

8、y=0,x=2所围成区域。（3分）7计算二重积分xydxdyD其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。（3分）8计算二重积分xydxdyD其中D：x0）所围成的区域。（4分）20计算二次积分33x0dx0（2xy）dy（4分）21计算二重积分xydxdyD其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。（4分）22计算二重积分22（xyx）dxdyD其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。（4分）23计算二重积分（x1）ydxdyD其中D是由曲线x1Jy,y=1x及y=1所围成的区域。（4分）24计算二重积分1.-4dxdyd1x其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（

9、4分）25计算二重积分xy2dxdyD其中D为立二，4-寸与x=0所围成的区域。（4分）26计算二重积分xdxdyD1o其中D是由抛物线yx2及直线y=x+4所围成的区域。2（4分）27计算二重积分exydxdyD其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）28计算二重积分22-dxdydy其中D是由曲线xy=1,y=x?与直线x=2所围成的区域。（5分）29计算二重积分24ysin（xy）dxdyD其中D是由x=0,yJ-，y=x所围成的区域。（4分）30计算二重积分2（xy）dxdyD其中D:0WyWsinx,2/2、xycos(xy)dxdyD其中D:,0y0,yx.（4分）3

10、8利用极坐标计算二重积分，y,arctg-dxdyDx其中D:a2wx2+y20,y0,a0,x=0处广义。（5分）39试求函数f（x,y）=2x+y在由坐标轴与直线x+y=3所围成三角形内的平均值。（6分）40试求函数f（x,y）=x+6y在由直线y=x,y=5x和x=1所围成三角形内的平均值。（4分）41由二重积分的几何意义，求1)dxdy（4分）42计算二重积分xdxdyD其中D:x2+y2y2.原式=12y21dyy2xdx01(2y2y4)dy2215(3分)43计算二重积分x2edxdyD其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。1x2edx2x(xexx3dyx3ex)d

11、x2e1(4分)44xdxdyD计算二重积分其中D:x2+(y-1)21,x2+(y-2)20.2dy024yy22xdx.2yy20ydy2（5分）45计算二重积分xy2dxdyD其中D:x2+y2W5,x1y2.（5分）46计算二重积分xydxdyD其中D是由（X2）y2=1的上半圆和x轴所围成的区域。.4x x2 30ydy3xdxi31x(4xx23)dx（4分）47计算二重积分xy2x2dxdyD其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。（3分）48计算二重积分x3y2dxdyD其中D:xy20.（5分）52计算二重积分xdxdyD22其中D:x72r1a2b2（5分）53计

12、算二重积分4x2y2dxdy其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。(5分)54计算二重积分yexydxdyD其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。(5分)55计算二重积分xy2dxdyD其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p(p0)所围成的区域。(6分)56计算二重积分2(xy)dxdyDD是由抛物线y=x2和y2=x所围成的区域。(6分)57计算二重积分xeydxdyD其中D是由抛物线y=/；(x1)和直线y=x,y=2所围成的区域。(5分)58计算二重积分,xyy2dxdyD其中D是以O(0,0),A(10,1)和B(1,1)为顶点的三角形区域。(5分)5

13、9计算二重积分(12x216x3y3)dxdyD其中D是由x=1,y=xy=-所围成的区域。(8分)60计算二重积分x2y2dxdyD其中D是以O(0,0),A(1,1)和B(1,1)为顶点的三角形区域。(3分)61计算二重积分sinx.dxdyDx其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。(4分)62计算二重积分sinx,dxdyDx其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。(5分)63计算二重积分22ln(1xy)dxdyD其中D:x2+y2W4,x0,y0.(5分)64计算二重积分,x2y2dxdyD其中D：x2+y22X,x2+y24X.(5分)65计算二重积分x2y2dxd

14、yD其中D：x2+y?w2x.(4分)66利用极坐标计算二重积分z22、sin(xy)dxdyD其中D:n2Wx2+y20,y0.(7分)68设区域D：x2+y20),计算二重积分f(x,y)dxdy22ex y 其中f (x, y)0D当x0,y0其它点（4分）69利用极坐标计算二重积分ydxdyD其中D：x2+y2Wa2,x0,y0.（a0）（3分）70利用极坐标计算二重积分,22、1(xy)dxdyd3其中D:1wx2+y21,x2+y20.7.、，2（5分）73计算二重积分xyeyd淇中区域D为x2+y2W1在第一象限部分。D（5分）74将二重积分f（x,y）d化为在极坐标系中先对r积

15、分的累次积分，其中D:OWDxw73，0Wyw1.（6分）75利用极坐标计算二重积分xdxdyD其中D:x2+y2w2x,x2+y2x.（5分）76计算二重积分其中D:ywxw6y2,oy0.（6分）77计算二重积分22ln（1xy）dxdyD其中D：x2+y2wR（R0）,x0,y0.（5分）78利用极坐标计算二重积分sinx2y2dxdyD其中D:1wx2+y2w4,x0,y0.一一一一一-答案部分，（卷面共有100题，405.0分,各大题标有题量和总分）一、选择（16小题，共53.0分）（2分）1答案B.（3分）2答案B.（3分）3答案A.（3分）4答案（B）.（3分）5答案（C）.（3

16、分）6答案C.（3分）：7答案B.（3分）8答案C（4分）9答案C.（3分）10答案D.（4分）11答案C.（5分）12答案A.（4分）13答案B.（3分）14答案（A）.（3分）15答案C.（4分）16答案B.二、填空（6小题，共21.0分）（4分）1答案函数f（x,y）在D上（4分）2答案16（3分）3答案1 一3一兀a6（3分）4答案0.（4分）5答案记F（r,0）=f（rcos0,rsin0）r,2cos12cos3dF（r,）dr3d0F（r,）dr2dF（r,）dr233（3分）6答案13三、计算（78小题，共331.0分）（3分）1答案12x22原式二0dxxf（x,y）dy1d

17、xxf（x,y）dy（3分）2答案原式=20dyy41f（x,y）dx2dy2y21f（x,y）dx2y（3分）原式=30dx1答案2x:x22f（x,y）dy(3分)4答案1eyJ原式=0dy1yf(x,y)dx(4分)5答案原式sinx20dx0(xy)dy(xsin xi3dx-sin3x)349(3分)6答案原式2x201216xdx0ydy25xdx03（3分）7答案原式dx*xydy3x2、xdx023847(3分)8答案原式2页1 xdxxydy2 3.xdx1334（3分）9答案原式0dxxcos(xy)dy0(sin(x)sin2x)dx（4分）1O答案原式3 133213y

18、(y1)yydy3c2c1.12y2y-dy310(3分)11答案原式04 dx11 xcos2xydy4sin2xdxo12(3分)12答案原式1x=0dy0(xy)dx-(x 02y)2ydy；(2y21y2)dy12或解原式11=0dxx(xy)dy11320(2x2x)dx12(3分)13答案原式15x0dxx(x6y)dy1 2076xdx25132 xxdxiydyx2221x(x1)dxx1582ln2（3分）15答案原式412xdxydy2 xx43xdx3 29（3分）16答案原式1 1x4dxydy001 220(1x)dx23（3分）17答案原式xydy14xdx0122

19、ox(1x)dx（4分）18答案原式2x21xdx1ydyx(x41、，2)dxx12103ay22adyya(x丫：(2ay2a2y1a3)dy314a4(4分)20答案原式932(3xx)dx22272（4分）21答案原式3xdxix1 ydyx3/ 3 i(x1)dx x110-ln32（4分）22答案原式y2 x)dxdy2y2ndyy(x022193y024136(4分)23答案原式11y0ydy1、y(x1)dx1 1/2城20y(yy)dy124（4分）24答案原式01x4xdxdy01x4dx11d(x2)201x4(4分)25答案原式2 2.4-y22ydyxdx2220y(

20、4y)dy6415(4分)26答案原式4x42xdx1x2dy24.2,13.2(x4x2x)dx18（4分）27答案原式1x0exdx0eydyx(e1)dx(4分)28答案1父点为(1,1)2,(2,4)2原式=1x2x；dxx234(5分)29答案原式402ydy0ysin(xy)dx402y(122.cosy)dy（4分）30答案原式_sinx202dx0(xy)dy2(xsinx-sin3x)dx03（5分）31答案原式02 dx2,2、，x ycos(xy )dyKX-2sin4xdx0216（4分）32答案交点为（0,0）,（1,1）原式1-7、ydy丫2xdx/（y,yy4,y

21、）dy655（4分）33答案y|二y.由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上积分的4倍，在第一象限|原式a4 ax0b a2 x2a ydy22x )dxab222(a0a4ab23（4分）3原式4答案1xdxo10x(x161x2xdy,1x1)dx（5分）35答案原式r2dracos1-a33a302(1（22）3cos)d（4分）36答案原式22.rdro2（5分）37答案原式rdrdD22(41)rd32364（4分）38答案原式rdrd82一(1161rdra2a2(5 分)39答案f (x,y)dD(2xDy)dxdy33 x (2x y)dy30 2x(3x)2(3

22、2 4x) dx272而D的面积2所求平均值=（6分）4 0答案13.5xf (x,y)dxdy 0dx x (xby)dy2_2(4x72x)dx763而D的面积15x=dxdy0x14xdx022所求平均值二1223（4分）41答案原式=,1x2x2y212yx2y2dxdyi2321-3（4分）42答案（3分）43答案（4分）44答案交点为（2,2 .y dy（5分）45答案1）与（2,1）.5y22xdxy2（43y2 y4）dy1y262105（5分）46答案（4分）47答案0131.y-22 .dy x y x dxy3dy12（3分）48答案原式=2.尸3ydyR2-y2x dx

23、（5分）原式=（4分）50答案2x2dx12 2/1 x （Xx 1 .12dyx y1 ）dxxR2y2对于x3dx被积函数x，为奇函数R2y2，积分为零。故原式=0.49答案2xxdxx2_2dy1 万xy2 x1 （arctan-）dx1,8arctanIn一2 54（4分）51答案2axdx*ady00a222xvxdx023-a3D域位于第一象PM中的部分Di上的积分的4倍，在第一象限x| =（5分）52答案由对称性知，此积分等于x.bab2-y24dybxdx00.2-a2220b2（b2y2）dy4a2b3（5分）53答案2 2x22dx4xydy3 2xdx084（5分）54答

24、案ln3In 2In34dy 2 yexydxIn 24y 2y.（e e ）dy1334（5分）55答案?i2P2Pydy亡xdx2p-2p212V_y（-pf）dy2P28p2825p21（6分）56答案12.xiyxdx2dyxdy2dx0x20y20(x2.xx4)dx0(y.yy3)dy33140(6分)57答案21212xy-dyeydxy(yeyye)dy3e2(5分)58答案；dy,jxyy2dx01v7(xy/1y0ydy312018ydy（5分）59答案101010dx _(12x2 16x3y3)dy12x2(x3.x(12x2.x 8x53/ 122、4x (x x ) dx4x15)dx5814(8分)60答案dxx,x2y2dy2xxdx)x.y-arcsin一1-x2dx026(3分)61答案1 sin xdxdysinxdx（4分）621sinxdx0x1xsinxdx答案2dyosinl（5分）COSl63答案02d2、.ln（1r）