二重积分的概念与性质教案

1、7.1二重积分的基本概念(教案)主讲人：孙杰华教学目的：理解二重积分的概念、性质教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义.教学方法：讲授为主教学内容：一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积设有一空间立体C,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x.y),称这种立体为曲顶柱体.与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V:(1)用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域A叫，Ao2,1*,gn,以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体G分划成n个小曲顶柱体AC1,iQ2,

2、，&Cn.(假设叫所对应的小曲顶柱体为AQi,这里啊既代表第i个小区域，又表示它的面积值，nGi既代表第i个小曲顶柱体，又代表它的体积值.)，从而V=£ACi.id图7.1(2)由于f(x,y)连续，对于同一个小区域来说，函数值的变化不大.因此，可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体，于是,.一f(i,i)二i,(-(i,i).(3)整个曲顶柱体的体积近似值为nV八f(i,i)二i.i1(4)为得到v的精确值，只需让这n个小区域越来越小，即让每个小区域向某点收缩.为此，我们引入区域直径的概念：一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者所谓让区域向一点收缩性地变小，意指让区域

3、的直径趋向于零.设n个小区域直径中的最大者为九，则nV=limjf(i,i)：二i,(i,i).：二i.2 .二重积分的定义设f(x,y层闭区域D上的有界函数，将区域D分成个小区域；：二1,2H,',其中，Atii既表示第i个小区域，也表示它的面积，九i表示它的直径.mmmax7/&,)三也叼，作乘积f(J)仃i(i=1,2|,n),n作和式2“,2)%,i1n若极限ljmZf(l产i户存在，则称此极限值为函数f(x,y)在区域D上的二重积分，记作fff(x,y)d。.即Dnf(x,y)d。=Um£f产i)%D'QT其中：f(x,y)称之为被积函数，f(x,y

4、)d。称之为被积表达式，d。称之为面积元素，x,y称之为积分变量，D称之为积分区域3 .对二重积分定义的说明:n极限lim£f(。，、心巧的存在与区域D的划分及点(匕,)的选取无关。)0(2)仃中的面积元素da象征着积分和式中的Aoi .图7.2由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的，若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外，绝大多数的小区域都是矩形，因此，可以将d。记作dxdy(并称dxdy为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为fx,ydxdy.D(3)二重积分的存在定理若f(x,y取闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分存

5、在.注在以后的讨论中，我们总假定在闭区域上的二重积分存在.若f(x,y户0,二重积分表示以f(x,y)为曲顶，以D为底的曲顶柱体的体积.练习：利用二重积分的几何意义求Hja2-x2-y2d。,其中D:x2+y2Wa2。D二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质性质1(线性性)二fx,y-gx,yd；-：fx,yd-Tugx,yd,DDD其中：a,P是常数.性质2(对区域的可加性)若区域D分为两个部分区域D1,D2,则口f(x,y)db=Hf(x,y)d。十Hf(x,y)d。DDiD2性质3若在D上，f(x,y)三1,a为区域D的面积,则二-1de-=d二.DD几何意义：高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.练习：求55dxdy。x2y*性质4若在D上，f(x,y户中(x,y),则有不等式fx,yde一x,yd-DD特别地,由于一f(x,y)Mf(x,yf(x,y),有JJf(x,y)d。一川f(x,y)|d。.DD练习：P119,1性质5(估值不等式)设M与m分别是f(x,y)在闭区域D上最大值和最小值，。是M的面积，则me一fx,yd；：-M二.D练习：P119,3性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域